सरल रेखाएँ

रेखा की ढाल

यदि $ \theta $ वह कोण है जो एक रेखा $ x $-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में बनाती है, तो $ \tan \theta $ का मान रेखा की ढाल कहलाता है और इसे $ m $ द्वारा निरूपित किया जाता है।

बिंदुओं $ \mathrm{P}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ और $ \mathrm{Q}\left(x_{2}, y_{2}\right) $ से होकर जाने वाली रेखा की ढाल इस प्रकार दी जाती है

$ m=\tan \theta=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $

दो रेखाओं के बीच का कोण

ढालों $ m_{1} $ और $ m_{2} $ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण $ \theta $ इस प्रकार दिया जाता है

$ \tan \theta= \pm \dfrac{\left(m_{1}-m_{2}\right)}{1+m_{1} m_{2}} $

यदि हम दो रेखाओं के बीच न्यून कोण लें, तो $ \tan \theta=\left|\dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\right| $

यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो $ m_{1}=m_{2} $।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो $ m_{1} m_{2}=-1 $।

तीन बिंदुओं की संरेखता

यदि तीन बिंदु $ \mathrm{P}(h, k), \mathrm{Q}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ और $ \mathrm{R}\left(x_{2}, y_{2}\right) $ इस प्रकार हैं कि $ \mathrm{PQ} $ की ढाल = QR की ढाल, अर्थात् $ \dfrac{y_{1}-k}{x_{1}-h}=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $ या $ \quad\left(h-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)=\left(k-y_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right) $ तो उन्हें संरेखीय कहा जाता है।

रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप

(i) यदि कोई रेखा दूरी $ a $ पर है और $ x $-अक्ष के समानांतर है, तो रेखा का समीकरण $ y= \pm a $ है।

(ii) यदि कोई रेखा $ y $-अक्ष के समांतर $ y $-अक्ष से $ b $ दूरी पर है, तो इसका समीकरण $ x= \pm b $ है।

(iii) बिंदु-ढाल रूप : एक रेखा जिसकी ढाल $ m $ है और जो बिंदु $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ से होकर जाती है, का समीकरण $ y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right) $ द्वारा दिया जाता है।

(iv) दो-बिंदु रूप : एक रेखा जो दो बिंदुओं ( $ x_{1}, y_{1} $ ) और $ \left(x_{2}, y_{2}\right) $ से होकर जाती है, का समीकरण

$ y-y_{1}=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right) $

द्वारा दिया जाता है।

(v) ढाल-अंतराल रूप : एक रेखा जो $ y $-अक्ष पर अंतराल $ c $ बनाती है और जिसकी ढाल $ m $ है, का समीकरण

$ y=m x+c $

द्वारा दिया जाता है।

ध्यान दें कि $ c $ का मान धनात्मक या ऋणात्मक होगा जैसे अंतराल $ y $-अक्ष के धनात्मक या ऋणात्मक भाग पर बनता है, क्रमशः।

(vi) अंतराल रूप : एक रेखा जो $ x $- और $ y $-अक्ष पर क्रमशः अंतराल $ a $ और $ b $ बनाती है, का समीकरण $ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 $ द्वारा दिया जाता है।

(vii) सामान्य रूप : मान लीजिए एक अनुप्रस्थ रेखा निम्नलिखित आंकड़ों के साथ जानी जाती है:

(a) मूलबिंदु से रेखा पर लंब (सामान्य) $ p $ की लंबाई।

(b) कोण $ \omega $ जो सामान्य $ x $-अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बनाता है। तो ऐसी रेखा का समीकरण $ x \cos \omega+y \sin \omega=p $ द्वारा दिया जाता है।

रेखा का सामान्य समीकरण

कोई भी समीकरण जिसका रूप $ \mathrm{A} x+\mathrm{B} y+\mathrm{C}=0 $ हो, जहां A और B एक साथ शून्य नहीं हैं, रेखा का सामान्य समीकरण कहलाता है।

$ \mathbf{A x}+\mathbf{B y}+\mathbf{C}=\mathbf{0} $ के विभिन्न रूप

रेखा के सामान्य रूप को नीचे दिए गए विभिन्न रूपों में परिवर्तित किया जा सकता है:

(i) ढाल-अंतरपीड़ रूप: यदि $ \mathrm{B} \neq 0 $, तो $ \mathrm{A} x+\mathrm{B} y+\mathrm{C}=0 $ को $ y=\dfrac{-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} x+\dfrac{-\mathrm{C}}{\mathrm{B}} $ या $ y=m x+c $ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $ m=\dfrac{-\mathrm{A}}{\mathrm{B}} $ और $ c=\dfrac{-\mathrm{C}}{\mathrm{B}} $

यदि $ \mathrm{B}=0 $, तो $ x=\dfrac{-\mathrm{C}}{\mathrm{A}} $ जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जिसकी ढाल परिभाषित नहीं होती और $ x $-अंतरपीड़ $ \dfrac{-C}{A} $ है।

(ii) अंतरपीड़ रूप: यदि $ \mathrm{C} \neq 0 $, तो $ \mathrm{A} x+\mathrm{B} y+\mathrm{C}=0 $ को $ \dfrac{x}{\dfrac{-\mathrm{C}}{\mathrm{A}}}+\dfrac{y}{\dfrac{-\mathrm{C}}{\mathrm{B}}} $ $ =1 $ या $ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 $ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $ a=\dfrac{-\mathrm{C}}{\mathrm{A}} $ और $ b=\dfrac{-\mathrm{C}}{\mathrm{B}} $।

यदि $ \mathrm{C}=0 $, तो $ \mathrm{A} x+\mathrm{B} y+\mathrm{C}=0 $ को $ \mathrm{A} x+\mathrm{B} y=0 $ के रूप में लिखा जा सकता है जो मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा है और इसलिए इसकी अक्षों पर शून्य अंतरपीड़ होते हैं।

(iii) सामान्य रूप: समीकरण $ \mathrm{A} x+\mathrm{B} y+\mathrm{C}=0 $ का सामान्य रूप $ x \cos \omega+y \sin \omega=p $ है, जहाँ

$ \cos \omega= \pm \dfrac{\mathrm{A}}{\sqrt{\mathrm{~A}^{2}+\mathrm{B}^{2}}}, \sin \omega= \pm \dfrac{\mathrm{B}}{\sqrt{\mathrm{~A}^{2}+\mathrm{B}^{2}}} \text { और } p= \pm \dfrac{\mathrm{C}}{\sqrt{\mathrm{~A}^{2}+\mathrm{B}^{2}}} . $

नोट: चिह्नों का उचित चयन किया जाना चाहिए ताकि $ p $ हमेशा धनात्मक रहे।

एक बिंदु की रेखा से दूरी

बिंदु $ \mathrm{P}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ की रेखा $ \mathrm{A} x+\mathrm{B} y+\mathrm{C}=0 $ से लंबवत दूरी (या सरल दूरी) $ d $ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ d=\dfrac{\left|\mathrm{A} x_{1}+\mathrm{B} y_{1}+\mathrm{C}\right|}{\sqrt{\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}}} $

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी

दो समानांतर रेखाओं $ y=m x+c_{1} $ और $ y=m x+c_{2} $ के बीच की दूरी $ d $ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ d=\dfrac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{1+m^{2}}} $

लोकस और लोकस का समीकरण:

एक बिंदु जो कुछ दी गई परिस्थितियों के अंतर्गत चलता है, वह जो वक्र वर्णित करता है उसे उसका लोकस कहा जाता है। एक बिंदु P जिसके निर्देशांक ( $ h, k $ ) हैं, का लोकस खोजने के लिए, उस परिस्थिति को व्यक्त करें जिसमें $ h $ और $ k $ शामिल हैं। यदि कोई चर हो तो उसे समाप्त करें और अंत में $ h $ को $ x $ से और $ k $ को $ y $ से प्रतिस्थापित करें ताकि P का लोकस प्राप्त हो सके।

दो दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन दो रेखाएं $ a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 $ और $ a_{2} x+b_{2} y+ $ $ c_{2}=0 $

(i) प्रतिच्छेदी हैं यदि $ \dfrac{a_{1}}{a_{2}} \neq \dfrac{b_{1}}{b_{2}} $

(ii) समानांतर और भिन्न हैं यदि $ \dfrac{a_{1}}{a_{2}}=\dfrac{b_{1}}{b_{2}} \neq \dfrac{c_{1}}{c_{2}} $

(iii) संपाती यदि $ \dfrac{a_{1}}{a_{2}}=\dfrac{b_{1}}{b_{2}}=\dfrac{c_{1}}{c_{2}} $

टिप्पणियाँ

(i) बिंदु $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ और $ \left(x_{2}, y_{2}\right) $ रेखा $ a x+b y+c=0 $ के एक ही ओर या विपरीत ओर स्थित हैं, यदि $ a x_{1}+b y_{1}+c $ और $ a x_{2}+b y_{2}+c $ क्रमशः एक ही चिह्न के या विपरीत चिह्न के हों।

(ii) शर्त कि रेखाएँ $ a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 $ और $ a_{2} x+b_{2} y+c=0 $ लंबवत हैं, वह है $ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0 $।

(iii) दो रेखाओं $ a_{1} x+b_{1} y+ $ $ c_{1}=0 $ और $ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 $ के प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $ a_{1} x+b_{1} y+c_{1}+k\left(a x_{2}+b y_{2}+c_{2}\right)=0 $ है। $ k $ का मान समस्या में दी गई अतिरिक्त शर्त से निर्धारित किया जाता है।

JEE के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है#

यह अवधारणा सीधी रेखाओं के विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो JEE परीक्षाओं में बार-बार आता है। इस विषय में निपुणता हासिल करने से निम्नलिखित में मदद मिलती है:

• मौलिक सिद्धांतों को समझने में
• जटिल समस्याओं को हल करने में
• वैचारिक स्पष्टता निर्मित करने में

टालने योग्य सामान्य गलतियाँ#

• किनारे के मामलों की अनदेखी करना
• गणनाओं में जल्दबाजी करना
• इकाइयों और आयामों की जाँच न करना
• यह मान लेना कि समान दिखने वाली अवधारणाएँ समान हैं
• वैचारिक समझ को छोड़ना

याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ#

• पहले संपूर्ण अवधारणा को पढ़ें
• अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
• उदाहरणों को चरणबद्ध तरीके से हल करें
• समस्या के विभिन्न रूपों के साथ अभ्यास करें
• वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें

संबंधित विषय#

• फलन की अवधारणाएँ
• समाकलन तकनीकें
• समस्या समाधान रणनीतियाँ