NEET#

ज्यामितीय फलनों के अधिकतम और न्यूनतम मान:

• sin x का अधिकतम मान 1 है, जो x = (\frac{\pi}{2})+ 2n(\pi) पर प्राप्त होता है।
• sin x का न्यूनतम मान -1 है, जो x = (\frac{3\pi}{2})+ 2n(\pi) पर प्राप्त होता है।
• cos x का अधिकतम मान 1 है, जो x = 2n(\pi) पर प्राप्त होता है।
• cos x का न्यूनतम मान -1 है, जो x = (\pi)+ 2n(\pi) पर प्राप्त होता है।
• tan x का अधिकतम मान (\infty) है, जो x = (\frac{\pi}{2})+ n(\pi) पर प्राप्त होता है।
• tan x का न्यूनतम मान (-\infty) है, जो x = (\frac{3\pi}{2})+ n(\pi) पर प्राप्त होता है।

ज्यामितीय फलनों की दायरा:

• sin x का दायरा [-1, 1] है।
• cos x का दायरा [-1, 1] है।
• tan x का दायरा (-\infty\ <\tan x<\infty) है।

ज्यामितीय फलनों की आवर्तता:

• sin x की आवर्तता 2(\pi) है।
• cos x की आवर्तता 2(\pi) है।
• tan x की आवर्तता (\pi) है।

व्युत्क्रम ज्यामितीय फलन:

• sin x का व्युत्क्रम arcsin x है, जो -1 (\le x\le)1 के लिए परिभाषित है।
• cos x का व्युत्क्रम arccos x है, जो -1 (\le x\le)1 के लिए परिभाषित है।
• tan x का व्युत्क्रम arctan x है, जो सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

ज्यामितीय फलनों के गुण:

• sin(-x) = -sin x
• cos(-x) = cos x
• tan(-x) = -tan x
• sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
• cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
• tan (x+y) = (\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y})

ज्यामितीय फलनों के आलेख:

• sin x का आलेख एक ज्या वक्र है।
• cos x का आलेख एक कोज्या वक्र है।
• tan x का आलेख एक स्पर्शज्या वक्र है।

ज्यामितीय फलनों के वास्तविक समस्याओं में अनुप्रयोग:

• नेविगेशन में गंतव्य की दिशा और दूरी ज्ञात करने के लिए ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।
• सर्वेक्षण में दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मापने के लिए ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।
• खगोल विज्ञान में तारों और ग्रहों की स्थितियों और दूरियों की गणना करने के लिए ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।
• अभियांत्रिकी में पुल, इमारतें और अन्य संरचनाएँ डिज़ाइन करने के लिए ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।

ज्यामितीय समीकरण:

• पिथागोरस समानता: sin^2 x + cos^2 x = 1
• सह-फलन समानताएँ: sin x = cos ((\frac{\pi}{2} - x)), cos x = sin ((\frac{\pi}{2} - x)), और tan x = cot ((\frac{\pi}{2} - x))
• योग और अंतर समानताएँ: sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y, cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y, tan (x+y) = (\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}), sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y, cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y, और tan (x-y) = (\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}).
• द्विगुण समानताएँ: sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos^2 x - sin^2 x, और tan 2x = (\frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}).
• अर्ध चाप समानताएँ: sin (\frac{x}{2}) = (\pm\sqrt{(-1+\cos x)}\2) cos (\frac{x}{2}) = (\pm\sqrt{(-1+\cos x)}\2), tan (\frac{x}{2}) = (\frac{sin x}{1+cos x})

ज्यामितीय समीकरणों का समाधान:

• ज्यामितीय समीकरणों को विभिन्न विधियों से हल किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:
  • आलेखीय विधियाँ
  • बीजगणितीय विधियाँ
  • संख्यात्मक विधियाँ

CBSE बोर्ड परीक्षाएँ#

मूल ज्यामितीय अनुपात (sin, cos, tan, cosec, sec, cot):

• छह ज्यामितीय अनुपात हैं: ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोसेकंट, सेकंट, और कोट्यांगन्ट।
• एक कोण का ज्या एक समकोण त्रिभुज में विपरीत शाखा की लंबाई के अनुपात में होता है।
• एक कोण का कोज्या एक समकोण त्रिभुज में सामने की शाखा की लंबाई के अनुपात में होता है।
• एक कोण का स्पर्शज्या एक समकोण त्रिभुज में विपरीत शाखा की लंबाई के अनुपात में होता है।
• एक कोण का कोसेकंट उस कोण के ज्या का पलक्षण है।
• एक कोण का सेकंट उस कोण के कोज्या का पलक्षण है।
• एक कोण का कोट्यांगन्ट उस कोण के स्पर्शज्या का पलक्षण है। पूरक कोण
• दो कोण यदि 90 डिग्री के बराबर जुड़ जाते हैं, तो वे पूरक कोण होते हैं।
• उदाहरण के लिए, 30 डिग्री और 60 डिग्री पूरक कोण हैं।

पूरक कोण

• दो कोण यदि 180 डिग्री के बराबर जुड़ जाते हैं, तो वे पूरक कोण होते हैं।
• उदाहरण के लिए, 45 डिग्री और 135 डिग्री पूरक कोण हैं।

ज्यामितीय समानताएँ:

• पिथागोरस समानता कहती है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो शाखाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
• ज्या और कोज्या के लिए योग और अंतर समानताएँ ज्यामितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं।
• द्विगुण और अर्ध चाप की समानताएँ अन्य कोणों के गुणन या भिन्न के लिए ज्यामितीय फलनों के मान ज्ञात करने के लिए उपयोगी हैं। सरल ज्यामितीय समीकरणों का समाधान
• सरल ज्यामितीय समीकरणों को विभिन्न विधियों से हल किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

• प्रतिस्थापन
• गुणनखंडन
• ज्यामितीय समानताओं का उपयोग

ज्यामिति के वास्तविक समस्याओं में अनुप्रयोग ज्यामिति का अनेक वास्तविक अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• ऊँचाई और दूरी का मापन,
• नेविगेशन, सर्वेक्षण,
• अभियांत्रिकी,
• खगोल विज्ञान,
• नक्शा बनाना,
• रोबोटिक्स।