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NEET:#

• सदिशों की परिमाण:

• 2 आयामों वाले सदिशों के लिए, परिमाण $\sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दिया गया है।

• 3 आयामों वाले सदिशों के लिए, परिमाण $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया गया है।

• सदिशों का जोड़ और घटाव:

• दो सदिशों को जोड़ने के लिए, बस उनके सम्बन्धित घटकों को जोड़ें।

• दो सदिशों को घटाने के लिए, दूसरे सदिश के सम्बन्धित घटकों को पहले सदिश के सम्बन्धित घटकों से घटाएँ।

• सदिश और स्केलर गुणन का गणना:

• दो सदिशों का स्केलर गुणन $$\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}=AB\cos\theta$$ द्वारा दिया गया है जहाँ $A$ और $B$ दोनों सदिशों के परिमाण हैं और $\theta$ उनके बीच की कोण है।

• दो सदिशों का सदिश गुणन $$\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=AB\sin\theta$$ द्वारा दिया गया है जहाँ $A$ और $B$ दोनों सदिशों के परिमाण हैं और $\theta$ उनके बीच की कोण है।

• एकक सदिश:

• एक दिए गए सदिश की दिशा में एकक सदिश जानने के लिए, सदिश को उसके परिमाण से विभाजित करें।

• सदिशों का प्रक्षेप:

• सदिश $\overrightarrow{A}$ का सदिश $\overrightarrow{B}$ पर प्रक्षेप $$\overrightarrow{A}\cdot\hat{B}$$ द्वारा दिया गया है जहाँ $\hat{B}$ $\overrightarrow{B}$ की दिशा में एकक सदिश है।

• रेखाओं और स्थूलों के सदिश समीकरण:

• एक रेखा का सदिश समीकरण $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r}_0 + t\overrightarrow{v}$ द्वारा दिया गया है जहाँ $\overrightarrow{r}_0$ रेखा पर एक बिन्दु का स्थानिक सदिश है, $\overrightarrow{v}$ रेखा का दिशासदिश है, और $t$ एक स्केलर पैरामीटर है।

• एक स्थूल का सदिश समीकरण $$ \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n} = d $$ द्वारा दिया गया है जहाँ $\overrightarrow{n}$ स्थूल का सामान्य सदिश है और $d$ मूल से स्थूल तक की दूरी है।

                       ## **CBSE बोर्ड्स:**
  

सदिशों की परिमाण

• सदिश की परिमाण की लंबाई: $$OM= \sqrt{x_2 -x_1}^2 + \sqrt{y_2-y_1}^2$$

• $$AM= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y2 - y_1)^2 + (z_2 -z_1)^2}$$

सदिशों का जोड़ और घटाव

• यदि सदिश (\overrightarrow {AB}) और (\overrightarrow {BC}) के प्रारंभिक और अंतिम बिन्दु क्रमशः (A(x_1, y_1)), (B(x_2, y_2)) और (C(x_3, y_3)) हैं, तो त्रिकोण के नियम के अनुसार सदिश जोड़ के लिए हम प्राप्त करते हैं: $$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}$$

$$\overrightarrow {AB}= \hat{i}(x_2 - x_1)+\hat{j}(y_2-y_1)$$

$$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\hat{i}[(x_3-x_2)+(x_2 -x_1)] + \hat{j}[(y_2 -y_3)+(y_3-y_1)]$$

इसके अतिरिक्त $$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {OA}+ \overrightarrow {OC}$$

$$\overrightarrow {AC}= \hat{i}(x_3 -x_1) +\hat{j}(y_3-y_1)$$

(\overrightarrow {AC}) के दोनों अभिव्यक्तियों को समान करके हम प्राप्त करते हैं

$$\overrightarrow {AC}= \hat{i}(x_3 -x_1) +\hat{j}(y_3-y_1)$$

स्केलर और सदिश गुणन

• दो सदिश (\overrightarrow {AB}) और (\overrightarrow {BC}) का स्केलर गुणन, जिनके घटक (x_1, y_1) और (x_2, y_2) हैं, के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\overrightarrow {AB} . \overrightarrow {BC}=x_1x_2 + y_1y_2$$

• हम उनके डॉट गुणन मूल्यांकन के लिए (|\overrightarrow {AB}|) और (|\overrightarrow {BC}|) तथा उनके बीच कोण (\theta) का निर्धारण भी कर सकते हैं

$$\overrightarrow {AB} . \overrightarrow {BC}= |\overrightarrow {AB}|. |\overrightarrow {BC}| . \cos\theta$$

• दो सदिश (\overrightarrow {AB}) और (\overrightarrow {BC}) का सदिश गुणन के रूप में परिभाषित किया गया है $$\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {BC} = \hat{k}(x_1y_2 - x_2y_1) $$

एकक सदिश

एक दिशा में एकक सदिश वह सदिश है जिसका परिमाण 1 है और जो दिए गए सदिश की दिशा में इधर-उधर बढ़ता है।

• यदि (\overrightarrow {AB}) सदिश है जो A(x_1, y_1) और (B(x_2, y_2)) द्वारा निर्धारित है, तो उसका परिमाण है: $$|\overrightarrow {AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ एकक सदिश (\hat{AB}) के रूप में दिया गया है: $$\hat{AB}= \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{(x_2-x_1)\hat{i}+(y_2-y_1)\hat{j}}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$$

सदिशों का प्रक्षेप

(\overrightarrow {AB}) का (\overrightarrow {OA}) पर प्रक्षेप द्वारा दिया गया है: $$\overline {OA} \cdot \overrightarrow {AB} = |\overrightarrow {OA}|.|\overrightarrow {AB}| \cos \theta$$

इसके अतिरिक्त यह द्वारा दिया गया है

$$\overline{OA}.\overrightarrow {AB}= |\overline {OA}||\overrightarrow {AB}| \cos \space\theta = |\overrightarrow {AB}| \cos \theta$$

$$\overline {OD}= |\overline {OA} | \cos \theta$$

इस प्रकार (\overrightarrow {AB}) का (\overrightarrow {OA}) पर प्रक्षेप समीपवर्ती शाखा है।

रेखाओं और स्थूलों के सदिश समीकरण

• दो बिन्दु ((x_1, y_1, z_1)) और ((x_2, y_2, z_2)) के लिए (\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {OP}+\overrightarrow {OP} ) है जहाँ (\overrightarrow {OP} = x_1 \hat{i} +y_1\hat{j} + z_1 \hat{k} ) और ( \overrightarrow {PQ} = x_2 \hat{i} + y_2 \hat{j} + z_2\hat{k} )

अतः (\overrightarrow {PQ}) के रूप में दिया गया है $$\overrightarrow {PQ} =(x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2-y_1) \hat{j} + (z_2-z_1)\hat{k}$$ इस प्रकार बिन्दुओं ((x_1, y_1, z_1)) और ((x_2, y_2, z_2)) को गुणक रूप से जोड़ने वाली रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण है:

$$x= x_1 + \lambda (x_2-x_1)$$

$$y=x_1 + \lambda(y_2-x_1)$$

$$z=x_1 + \lambda(z_2-x_1)$$

• एक दिए गए बिन्दु ((x_1, y_1, z_1)) पर और एक दिए गए सदिश (\overrightarrow{n} =a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) के लिए एक स्थूल का सदिश समीकरण द्वारा दिया गया है: $$a(x-x_1) + b(y-y_1)+ c(z-z_1) = 0$$ यह (\overrightarrow{n}) के रूप में सामान्य सदिश के साथ एक स्थूल के समीकरण के सामान्य रूप के रूप में भी जाना जाता है।