बीजगणित के मूल सिद्धांत

मुख्य अवधारणाएं एवं सूत्र

बीजगणित के मूल सिद्धांतों के लिए 5-7 आवश्यक अवधारणाएं प्रदान करें:

आवश्यक सूत्र

10 अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न

Q1. यदि (x+4)² = 49 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। A) 3 B) -11 C) 3 या -11 D) 7 या -7

उत्तर: C) 3 या -11

हल: (x+4)² = 49 वर्गमूल लेने पर: x+4 = ±7 स्थिति 1: x+4 = 7 → x = 3 स्थिति 2: x+4 = -7 → x = -11

शॉर्टकट: याद रखें कि √49 = ±7 (धनात्मक और ऋणात्मक दोनों)

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - वर्गमूल विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

Q2. गुणनखंडन कीजिए: x² - 9 A) (x-3)² B) (x+3)² C) (x+3)(x-3) D) (x-9)(x+1)

उत्तर: C) (x+3)(x-3)

हल: सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: a² - b² = (a+b)(a-b) यहाँ, x² - 9 = x² - 3² = (x+3)(x-3)

शॉर्टकट: वर्गों का अंतर हमेशा (योग)(अंतर) के रूप में गुणनखंडित होता है

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडन

Q3. एक रेलगाड़ी (x+20) किमी/घंटा की गति से चलती है। यदि यह 5 घंटे में 300 किमी की दूरी तय करती है, तो x ज्ञात कीजिए। A) 40 B) 50 C) 60 D) 70

उत्तर: A) 40

हल: गति = दूरी/समय x+20 = 300/5 = 60 x = 60-20 = 40

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - गति-दूरी समस्याओं में रैखिक समीकरण

Q4. यदि x + 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए। A) 23 B) 25 C) 27 D) 29

उत्तर: A) 23

हल: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 5² x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 25 x² + 2 + 1/x² = 25 x² + 1/x² = 25-2 = 23

शॉर्टकट: याद रखें (a+b)² = a² + 2ab + b²

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - बीजीय प्रक्रिया और सर्वसमिकाएं

Q5. दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 84 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए। A) 41 B) 43 C) 45 D) 47

उत्तर: B) 43

हल: माना संख्याएँ x और x+2 हैं x + (x+2) = 84 2x + 2 = 84 2x = 82 x = 41 बड़ी संख्या = 41+2 = 43

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - शब्द समस्याओं में रैखिक समीकरण

Q6. यदि (3x-2)(2x+5) = ax² + bx + c है, तो a+b+c ज्ञात कीजिए। A) 25 B) 30 C) 35 D) 40

उत्तर: C) 35

हल: (3x-2)(2x+5) = 6x² + 15x - 4x - 10 = 6x² + 11x - 10 अतः: a=6, b=11, c=-10 a+b+c = 6+11-10 = 7

सुधार: मुझे पुनः गणना करने दीजिए a+b+c = 6+11+(-10) = 7 उत्तर होना चाहिए: इनमें से कोई नहीं (7)

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - विस्तार और गुणांक पहचान

Q7. 200 मीटर लंबे एक प्लेटफॉर्म पर दो रेलगाड़ियाँ हैं। रेलगाड़ी A (x मीटर) और रेलगाड़ी B (x+50 मीटर)। यदि उनकी कुल लंबाई 550 मीटर है, तो x ज्ञात कीजिए। A) 200 B) 250 C) 300 D) 350

उत्तर: B) 250

हल: x + (x+50) = 550 2x + 50 = 550 2x = 500 x = 250

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - रेलगाड़ी की लंबाई की समस्याओं में रैखिक समीकरण

Q8. यदि x² - 5x + 6 = 0 और y² - 5y + 6 = 0 है, जहाँ x ≠ y है, तो x+y ज्ञात कीजिए। A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

उत्तर: A) 5

हल: दोनों समीकरण समान हैं: x² - 5x + 6 = 0 गुणनखंडन करने पर: (x-2)(x-3) = 0 अतः: x = 2 या 3, y = 2 या 3 चूँकि x ≠ y है, इसलिए हमारे पास x=2, y=3 या x=3, y=2 है दोनों स्थितियों में: x+y = 5

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - द्विघात समीकरण और मूल

Q9. यदि (x+y)² = 36 और xy = 8 है, तो x² + y² ज्ञात कीजिए। A) 20 B) 28 C) 36 D) 44

उत्तर: B) 20

हल: (x+y)² = x² + 2xy + y² = 36 दिया गया है xy = 8, इसलिए 2xy = 16 x² + y² + 16 = 36 x² + y² = 36-16 = 20

शॉर्टकट: x² + y² = (x+y)² - 2xy

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - बीजीय सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग

Q10. कोहरे के कारण एक रेलगाड़ी की गति 10 किमी/घंटा कम हो जाती है। 270 किमी की दूरी तय करने में इसे 3 घंटे अधिक लगते हैं। मूल गति ज्ञात कीजिए। A) 45 B) 50 C) 55 D) 60

उत्तर: A) 45

हल: माना मूल गति = x किमी/घंटा मूल समय = 270/x घंटे नई गति = (x-10) किमी/घंटा नया समय = 270/(x-10) घंटे दिया गया है: 270/(x-10) - 270/x = 3 हल करने पर: 270x - 270(x-10) = 3x(x-10) 2700 = 3x² - 30x x² - 10x - 900 = 0 (x-45)(x+40) = 0 x = 45 (गति ऋणात्मक नहीं हो सकती)

अवधारणा: बीजगणित के मूल सिद्धांत - समय-गति समस्याओं में द्विघात समीकरण

5 पिछले वर्षों के प्रश्न

PYQ 1. यदि a+b = 10 और a-b = 4 है, तो a² + b² ज्ञात कीजिए RRB NTPC 2021 CBT-1

उत्तर: 58

हल: a+b = 10 और a-b = 4 से: जोड़ने पर: 2a = 14 → a = 7 घटाने पर: 2b = 6 → b = 3 a² + b² = 7² + 3² = 49 + 9 = 58

वैकल्पिक: a² + b² = ½[(a+b)² + (a-b)²] = ½[100 + 16] = 58

परीक्षा टिप: योग और अंतर के पदों में a² + b² के लिए सर्वसमिका याद रखें

PYQ 2. पूर्णतः गुणनखंडन कीजिए: 4x² - 25 RRB Group D 2022

उत्तर: (2x+5)(2x-5)

हल: 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x+5)(2x-5)

परीक्षा टिप: गुणनखंडन समस्याओं में हमेशा पूर्ण वर्गों को देखें

PYQ 3. यदि x + 1/x = 3 है, तो x³ + 1/x³ ज्ञात कीजिए RRB ALP 2018

उत्तर: 18

हल: सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x)(1/x)(x + 1/x) = 3³ - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18

परीक्षा टिप: (a+b) के पदों में a³ + b³ के लिए सर्वसमिका याद रखें

PYQ 4. हल कीजिए: 3(x-2) + 5 = 2(x+1) - 1 RRB JE 2019

उत्तर: x = 2

हल: 3x - 6 + 5 = 2x + 2 - 1 3x - 1 = 2x + 1 3x - 2x = 1 + 1 x = 2

परीक्षा टिप: पहले कोष्ठकों का विस्तार करें, फिर समान पदों को एकत्रित करें

PYQ 5. दो क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल 168 है। उनका योग ज्ञात कीजिए। RPF SI 2019

उत्तर: 26

हल: माना संख्याएँ x और x+2 हैं x(x+2) = 168 x² + 2x - 168 = 0 (x+14)(x-12) = 0 x = 12 (धनात्मक मान लेते हुए) संख्याएँ: 12 और 14 योग = 12 + 14 = 26

परीक्षा टिप: क्रमागत संख्या समस्याओं के लिए, हमेशा धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मूलों पर विचार करें

गति ट्रिक्स और शॉर्टकट

बचने के लिए सामान्य गलतियाँ

त्वरित पुनरावृत्ति फ्लैशकार्ड

विषय संबंध

बीजगणित के मूल सिद्धांत अन्य आरआरबी परीक्षा विषयों से कैसे जुड़ते हैं:

• प्रत्यक्ष संबंध: सरलीकरण - जटिल संख्यात्मक व्यंजकों को सरल बनाने के लिए बीजीय तकनीकों का उपयोग किया जाता है
• प्रत्यक्ष संबंध: संख्या पद्धति - संख्याओं के गुण बीजीय समीकरणों को हल करने में सहायता करते हैं
• संयुक्त प्रश्न: बीजगणित + लाभ और हानि - रैखिक समीकरणों का उपयोग करके लागत मूल्य ज्ञात करना
• संयुक्त प्रश्न: बीजगणित + समय और कार्य - समीकरणों का उपयोग करके कार्य दर समस्याओं को हल करना
• आधार: उन्नत बीजगणित - द्विघात समीकरण, बहुपद और अनुक्रम इन मूल बातों पर निर्मित होते हैं
• आधार: आँकड़ा निर्वचन - दिए गए आँकड़ा समुच्चयों से समीकरण स्थापित करना