करणी एवं घातांक
मुख्य अवधारणाएँ
| # | अवधारणा | व्याख्या |
|---|---|---|
| 1 | करणी (Surds) | अपरिमेय मूल जिन्हें पूर्ण संख्या में सरल नहीं किया जा सकता (जैसे, √2, ³√5)। |
| 2 | घातांक (Indices) | घात या घातांक जो दर्शाते हैं कि एक संख्या को स्वयं से कितनी बार गुणा किया गया है। |
| 3 | परिमेयकरण (Rationalisation) | हर से करणी को हटाने की प्रक्रिया, अंश और हर को संयुग्मी से गुणा करके। |
| 4 | घातांक के नियम (Laws of Indices) | नियम: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a⁰ = 1। |
| 5 | करणियों की तुलना (Comparing Surds) | तुलना करने के लिए समान क्रम में बदलें (मूलों का लघुत्तम समापवर्त्य) या दशमलव सन्निकटन का उपयोग करें। |
| 6 | करणियों का सरलीकरण (Simplifying Surds) | मूल के अंदर की संख्या को पूर्ण-वर्ग/घन गुणनखंडों में विभाजित करें और उन्हें बाहर निकालें। |
| 7 | द्वि-घातांक (Double Indices) | (aᵐ)ⁿ जैसे व्यंजक aᵐⁿ में सरल होते हैं; पहले कोष्ठक को हल करें। |
| 8 | मिश्रित संक्रियाएँ (Mixed Operations) | BODMAS (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) अभी भी लागू होता है—पहले कोष्ठक, फिर घातांक, फिर गुणा/भाग सरल करें। |
15 अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न
- (64)1/2 + (27)1/3 = ?
विकल्प
A. 5
B. 7
C. 11
D. 14
उत्तर: C
हल: √64 = 8; ³√27 = 3 → 8 + 3 = 11
शॉर्टकट: 30 तक के पूर्ण वर्ग और 15 तक के घन याद रखें।
टैग: मूल घातांक + करणी
- (25 × 23) ÷ 26 = ?
विकल्प
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
उत्तर: B
हल: 25+3-6 = 22 = 4
शॉर्टकट: जब आधार समान हों तो घातांकों को सीधे जोड़ें/घटाएं।
टैग: घातांक के नियम
- (0.04)-1/2 का मान है
विकल्प
A. 0.2
B. 5
C. 25
D. 1/5
उत्तर: B
हल: (4/100)-1/2 = (100/4)1/2 = √25 = 5
शॉर्टकट: जब घातांक ऋणात्मक हो तो भिन्न को पलटें।
टैग: ऋणात्मक घातांक
- सरल कीजिए: 5√3 - 2√12 + √75
विकल्प
A. 4√3
B. 6√3
C. 8√3
D. 10√3
उत्तर: B
हल: √12 = 2√3; √75 = 5√3 → 5√3 - 4√3 + 5√3 = 6√3
शॉर्टकट: पहले करणियों को सरलतम रूप में बदलें।
टैग: करणी सरलीकरण
- यदि 3x = 81, तो x = ?
विकल्प
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
उत्तर: B
हल: 81 = 34 ⇒ x = 4
शॉर्टकट: दायाँ पक्ष (RHS) को समान आधार की घात के रूप में व्यक्त करें।
टैग: घातांकीय समीकरण
- परिमेयकरण कीजिए: 1/(√7 + √2)
विकल्प
A. (√7 - √2)/5
B. (√7 + √2)/5
C. (√7 - √2)/3
D. (√7 + √2)/9
उत्तर: A
हल: (√7 - √2)/(√7 - √2) से गुणा करें → (7 - 2)/(7 - 2) = 5 → अंश = √7 - √2
शॉर्टकट: (a+b)(a-b) = a²-b² का उपयोग करें।
टैग: परिमेयकरण
- (16)3/4 × (8)2/3 = ?
विकल्प
A. 16
B. 24
C. 32
D. 48
उत्तर: C
हल: 163/4 = (24)3/4 = 23 = 8; 82/3 = 22 = 4 → 8 × 4 = 32
शॉर्टकट: सभी को समान अभाज्य आधार (2) में बदलें।
टैग: भिन्नात्मक घातांक
- कौन सबसे बड़ा है? √3, ³√4, ⁴√5
विकल्प
A. √3
B. ³√4
C. ⁴√5
D. सभी समान
उत्तर: A
हल: प्रत्येक को 12वीं घात तक बढ़ाएं (2,3,4 का लघुत्तम समापवर्त्य): 36=729; 44=256; 53=125 → 729 सबसे बड़ा
शॉर्टकट: लघुत्तम समापवर्त्य घात तुलना।
टैग: करणियों की तुलना
- (50 + 70) ÷ 20 = ?
विकल्प
A. 0
B. 1
C. 2
D. अपरिभाषित
उत्तर: C
हल: 1 + 1 = 2; 2 ÷ 1 = 2
शॉर्टकट: किसी भी संख्या की शून्य घात 1 होती है।
टैग: शून्य घातांक
- यदि √x = 0.25, तो x = ?
विकल्प
A. 0.5
B. 0.0625
C. 0.125
D. 0.025
उत्तर: B
हल: x = (0.25)² = 0.0625
शॉर्टकट: दोनों पक्षों का तुरंत वर्ग करें।
टैग: वर्गमूल समीकरण
- सरल कीजिए: (2√5)2
विकल्प
A. 10
B. 20
C. 40
D. 100
उत्तर: B
हल: 22 × (√5)2 = 4 × 5 = 20
शॉर्टकट: गुणांक और करणी का अलग-अलग वर्ग करें।
टैग: करणी का वर्ग
- (0.2)3 × (0.04)-2 = ?
विकल्प
A. 5
B. 25
C. 125
D. 625
उत्तर: C
हल: (1/5)3 × (1/25)-2 = 1/125 × 625 = 5 → 625/125 = 5 (उफ़!)
सुधार: (0.04)-2 = (25)2 = 625; (0.2)3 = 0.008 → 0.008 × 625 = 5
उत्तर: A
शॉर्टकट: पहले दशमलव को भिन्न में बदलें।
टैग: ऋणात्मक घातांक
- ³√0.000001 = ?
विकल्प
A. 0.01
B. 0.001
C. 0.0001
D. 0.1
उत्तर: A
हल: 0.000001 = 10-6 → (10-6)1/3 = 10-2 = 0.01
शॉर्टकट: 10-6 को (10-2)3 के रूप में पहचानें।
टैग: घनमूल
- यदि 2x-1 + 2x+1 = 160, तो x = ?
विकल्प
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
उत्तर: B
हल: 2x-1(1 + 4) = 160 → 5·2x-1 = 160 → 2x-1 = 32 → x-1 = 5 → x = 6
शॉर्टकट: सबसे छोटे घातांक वाले पद को सामान्य गुणनखंड के रूप में लें।
टैग: घातांकीय समीकरण
- ³√5 का परिमेयकरण गुणनखंड है
विकल्प
A. ³√5
B. ³√25
C. ³√125
D. ³√1
उत्तर: B
हल: ³√5 × ³√25 = ³√125 = 5 (परिमेय)
शॉर्टकट: घातांकों का योग मूल के क्रम (3) के बराबर होना चाहिए।
टैग: परिमेयकरण गुणनखंड
गति तकनीकें
| स्थिति | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| करणियों की तुलना | लघुत्तम समापवर्त्य घात तक बढ़ाएं | ³√4 बनाम √3 → 12वीं घात → 44=256 बनाम 36=729 → √3 बड़ा |
| दशमलव ऋणात्मक घातांक | पलटें और धनात्मक बनाएं | (0.04)-1/2 → (100/4)1/2 = 5 |
| 0.1, 0.01, 0.001 की घातें | 10⁻ⁿ के रूप में लिखें | (0.001)1/3 = (10⁻³)1/3 = 10⁻¹ = 0.1 |
| घातांकीय व्यंजकों का योग | सबसे छोटे पद को गुणनखंड के रूप में लें | 3x + 3x+2 = 3x(1+9) = 10·3x |
| घात का अंतिम अंक | अंतिम अंक का चक्र | 783 → 7,9,3,1 चक्र → 83 mod 4 = 3 → अंतिम अंक 3 |
त्वरित पुनरावलोकन
| बिंदु | विवरण |
|---|---|
| 1 | √a × √a = a; √a × √b = √(ab) |
| 2 | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; भिन्न आधारों के घातांक कभी न जोड़ें |
| 3 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; घात की घात → घातांकों का गुणा |
| 4 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ; पलटें और चिह्न बदलें |
| 5 | a⁰ = 1, किसी भी a ≠ 0 के लिए |
| 6 | करणियों की तुलना करने के लिए, समान मूल क्रम (लघुत्तम समापवर्त्य) में लाएं |
| 7 | हर का परिमेयकरण संयुग्मी (a±√b) का उपयोग करके करें |
| 8 | करणियों को पूर्ण-वर्ग गुणनखंडों को बाहर निकालकर सरल करें |
| 9 | ³√a × ³√a² = a (परिमेयकरण गुणनखंड युग्म) |
| 10 | BODMAS नियम अभी भी लागू होता है—घातांक से पहले कोष्ठक |
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