समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें दो बराबर भुजाएँ होती हैं। तीसरी भुजा किसी भी लंबाई की हो सकती है। समद्विबाहु त्रिभुजों को उनकी भुजाओं की लंबाइयों के आधार पर तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है:

1. समभुज त्रिभुज - एक समभुज त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है जिसकी सभी तीन भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं।

• एक समभुज त्रिभुज के सभी कोण 60 डिग्री के बराबर होते हैं।
• समभुज त्रिभुज एक नियमित बहुभुज भी होता है, अर्थात् उसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।

2. समकोण समद्विबाहु त्रिभुज - एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है जिसमें एक कोण समकोण (90 डिग्री) होता है।

• समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं को पैर कहा जाता है, और तीसरी भुजा को कर्ण कहा जाता है।
• समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के कर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया जा सकता है।

3. अधिक कोण समद्विबाहु त्रिभुज

एक अधिक कोण समद्विबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है जिसमें एक कोण अधिक कोण (90 डिग्री से अधिक) होता है। दो बराबर भुजाओं वाले अधिक कोण समद्विबाहु त्रिभुज को पैर कहा जाता है, और तीसरे पक्ष को बेस कहा जाता है। अधिक कोण समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज गुणधर्म एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें दो बराबर भुजाएँ होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $$ A = \frac{1}{2} भ $$ जहाँ:

• A त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई इकाइयों में है
• h त्रिभुज की ऊँचाई (इकाई) है

सूत्र प्राप्त करना समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है: $$ A = \frac{1}{2} भ $$ जहाँ:

• A त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई इकाई में है
• h त्रिभुज की ऊँचाई (इकाई) है

एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो बराबर भुजाएँ होती हैं जिन्हें त्रिभुज की टांगें कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई वह रेखा खंड होता है जो त्रिभुज के शीर्ष से आधार के मध्यबिंदु तक जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके निकाली जा सकती है। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, कर्ण कोई भूमिका नहीं निभाता क्योंकि त्रिभुज में केवल दो बराबर भुजाएँ होती हैं। अन्य दो भुजाएँ त्रिभुज की टांगें होती हैं। त्रिभुज की ऊँचाई वह लंबाई होती है जो त्रिभुज के शीर्ष से आधार के मध्यबिंदु तक जाती है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई निम्नलिखित प्रकार से निकाल सकते हैं:

$$ h^2 = l^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $$

जहाँ:

• h त्रिभुज की ऊँचाई है (इकाई में)
• l त्रिभुज के पैर की लंबाई है (इकाई में)
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई है (इकाई में)

h को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$$ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} $$

इस अभिव्यक्ति को h के लिए त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर हम प्राप्त करते हैं:
$$ A = \frac{1}{2} b \sqrt{l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} $$

यह त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है.

उदाहरण

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 6 इकाई और पैर 8 इकाई है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$$ A = \frac{1}{2} भ $$
$$ A = \frac{1}{2} (6)(8) $$
$$ A = 24 \text{ वर्ग इकाई} $$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक समद्विबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र से गणना किया जा सकता है:
$$ \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} $$
जहाँ:

** आधार ** है लंबाई का पक्ष विपरीत ** शीर्ष कोण ** में एक समद्विबाहु त्रिभुज का। ** ऊँचाई ** है लंबाई का ऊँचाई आकर्षित शीर्ष से आधार तक। #### उदाहरण: एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। ** हल: ** सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है: $$ Area = \frac{1}{2} \times 6 \text{ सेमी} \times 4 \text{ सेमी} = 12 \text{ सेमी}^2 $$ इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 सेमी² है। #### विशेष केस: समभुज त्रिभुज एक समभुज त्रिभुज त्रिभुज का एक विशेष केस है जहाँ सभी तीन भुजाएँ बराबर होती हैं। एक समभुज त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है: $$ Area = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{पक्ष}^2 $$ जहाँ: - ** पक्ष ** है लंबाई का एक पक्ष का समभुज त्रिभुज का। #### समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरॉन के सूत्र द्वारा #### हेरॉन का सूत्र

बगुला का सूत्र एक गणितीय सूत्र है जो हमें त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी तीन भुजाओं की लंबाइयाँ दी होने पर गणना करने की अनुमति देता है। इसका नाम ग्रीक गणितज्ञ बगुला ऑफ अलेक्जेंड्रिया के नाम पर रखा गया है, जो 1st सदी ईस्वी में जीवित था। सूत्र कहता है कि भुजाओं की लंबाईयाँ $a$, $b$, और $c$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल बगुला के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है $\frac{a+b+c}{2}$। $$ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$ जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्धपरिमाप है, जिसे इसके भुजाओं के योग का आधा परिभाषित किया गया है: $$ s = \frac{a+b+c}{2} $$

बगुला के सूत्र का समद्विबाहु त्रिभुज पर लागू करना

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें दो बराबर भुजाएँ होती हैं। मान लीजिए समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई $a$ है, और तीसरी भुजा की लंबाई $b$ है। बगुला के सूत्र का उपयोग करते हुए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: $$ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$ इस व्यंजक को सरल करने पर हमें प्राप्त होता है: $$ A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)} $$

उदाहरण

आइए गणना करें एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसकी भुजाएँ $a = 5$, $a = 5$, और $b = 6$ हैं। पहले, हम गणना करते हैं त्रिभुज का अर्धपरिमाप:

$$s = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8$$

फिर, हम मान रखते हैं $s$, $a$, और $b$ को हीरोन के सूत्र में:

$$A = \sqrt{8(8-6)(8-5)^2} = \sqrt{8 \cdot 2 \cdot 3^2} = \sqrt{144} = 12$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है 12 वर्ग इकाइयाँ।

केंद्रबिंदु का समद्विबाहु त्रिभुज

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो बराबर भुजाएँ होती हैं। तीनों माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु समद्विबाहु त्रिभुज का केंद्रबिंदु कहलाता है।

गुणधर्म का केंद्रक का एक समद्विबाहु त्रिभुज

• समद्विबाहु त्रिभुज का केंद्रक आधार से खींची गई ऊँचाई को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का केंद्रक शीर्ष बिंदु से समदूर नहीं होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का केंद्रक शीर्ष और आधार के मध्यबिंदु को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के केंद्रक की रचना करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

1. शीर्ष से आधार तक ऊँचाई खींचें।
2. ऊँचाई को शीर्ष से प्रारंभ कर 2:1 के अनुपात में विभाजित करें।
3. यह विभाजन बिंदु समद्विबाहु त्रिभुज का केंद्रक होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के केंद्रक के अनुप्रयोग त्रिभुज का केंद्रक विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयुक्त होता है, जैसे:

• समद्विबाहु त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का पता लगाना
• समद्विबाहु त्रिभुज पर वस्तुओं का संतुलन
• समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेद बिंदु का निर्धारण

समद्विबाहु त्रिभुज का केंद्रक एक विशेष बिंदु है जिसके कई दिलचस्प गुण होते हैं। इसका उपयोग गुरुत्वाकर्षण केंद्र खोजने और वस्तुओं को संतुलित करने जैसे विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है।

समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप

एक समद्विबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है।

सूत्र
किसी समद्विबाहु त्रिभुज के परिमाप का सूत्र है:
$$ P = 2s + b $$
जहाँ:

• $P$ त्रिभुज का परिमाप है
• $s$ एक बराबर भुजा की लंबाई है
• $b$ आधार की लंबाई है (वह भुजा जो अन्य दो भुजाओं से बराबर नहीं है)

उदाहरण
एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी बराबर भुजाओं की लंबाई 5 सेमी और आधार की लंबाई 6 सेमी है, का परिमाप ज्ञात कीजिए।
$$ P = 2s + b $$
$$ P = 2 (5 \text{ सेमी}) + 6 \text{ सेमी} $$
$$ P = 10 \text{ सेमी} + 6 \text{ सेमी} $$
$$ P = 16 \text{ सेमी} $$
इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 16 सेमी है।

समद्विबाहु त्रिभुज के परिमाप के गुणधर्म
त्रिभुज का परिमाप निम्नलिखित गुणधर्म रखता है:

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप सदैव आधार की लंबाई से अधिक होता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप सदैव दो बराबर भुजाओं की लंबाइयों के योग से अधिक होता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप दो बराबर भुजाओं की लंबाइयों के योग और आधार की लंबाई के बराबर होता है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई वह त्रिभुज है जिसमें दो बराबर भुजाएँ हों। एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई शीर्ष (वह बिंदु जहाँ दो बराबर भुजाएँ मिलती हैं) से आधार के मध्यबिंदु (वह पक्ष जो शीर्ष के विपरीत है) तक के रेखा खंड की लंबाई होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई की गणना करने के कई विभिन्न तरीके हैं। एक तरीका पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना है। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (सबसे लंबा पक्ष) का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो बराबर भुजाएँ होती हैं, जिन्हें त्रिभुज की टांगें कहा जाता है, और ऊँचाई कर्ण नहीं होती। इसलिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई निम्नलिखित सूत्र से ढूंढ सकते हैं:

$$ h = \sqrt{(b^2 - (s^2/4))}$$

कहाँ:

• h है समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई
• b है समद्विबाहु त्रिभुज के आधार की लंबाई
• s है समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं में से एक की लंबाई

उदाहरण

आइए एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ढूंढें जिसका आधार 10 सेमी और बराबर भुजाएँ 13 सेमी हैं।

$h = \sqrt{(10^2 - (13^2/4))}$
$h = \sqrt{(100 - 169)/4}$
$h = \sqrt{(100 - 42.25)}$
$h = \sqrt{57.75}$
$h ≈ 7.6\ cm$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई लगभग 7.6 सेमी है।

समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसमें दो बराबर भुजाएँ होती हैं। त्रिभुज की परित्रिज्या उस वृत्त की त्रिज्या होती है जो त्रिभुज के सभी तीन शीर्ष बिंदुओं से होकर गुजरता है।

समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
$R = \frac{a}{2\sin A}$,
जहाँ $a$ आधार की लंबाई है और $A$ आधार के विपरीत कोण है।

$$R = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$$

जहाँ:

• $R$ त्रिभुज की परित्रिज्या है
• $a$ त्रिभुज की बराबर भुजाओं की लंबाई है
• $b$ त्रिभुज के आधार की लंबाई है

समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जा सकता है:
$R = \frac{a}{2\sin A}$,
जहाँ $a$ आधार की लंबाई है और $A$ आधार के विपरीत कोण है।

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाएं जिसकी भुजाएँ $a$, $a$, और $b$ हैं।
2. इस त्रिभुज का परिवृत्त बनाएं।
3. मान लीजिए $O$ इस परिवृत्त का केंद्र है।
4. त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष बिंदु से केंद्र $O$ तक त्रिज्याएँ खींचें।
5. चूँकि यह त्रिभुज समद्विबाहु है, इसके दो त्रिज्याएँ जो बराबर भुजाओं से जुड़ी हैं, वे सर्वांगसम हैं।
6. मान लीजिए $r$ वह त्रिज्या है जो त्रिभुज की बराबर भुजाओं से जुड़ी है।
7. यह त्रिज्या परिवृत्त की त्रिज्या नहीं है, बल्कि यह त्रिभुज के आधार की लंबाई और $r$ का योग है।
8. इसलिए, इस त्रिभुज की परित्रिज्या है $$ R = \frac{abc}{4K} $$, जहाँ $a$, $b$, और $c$ भुजाएँ हैं और $K$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
9. $r$ का मान खोजने के लिए हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
10. पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस समकोण त्रिभुज में जो त्रिज्या $r$, त्रिभुज का आधार, और त्रिभुज की ऊंचाई से बना है, हमें मिलता है: $$ r^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 $$
11. $r$ के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $$ r = \sqrt{a^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2} $$ $r$ के इस मान को परित्रिज्या के समीकरण में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं: $$ R = \sqrt{a^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2} $$
12. इस समीकरण को सरल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $$ R = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2 - b^2} $$

# # # # उदाहरण: एक समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ $a = 5$ और $b = 5$ हैं। समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या के लिए सूत्र का उपयोग करने पर, हमें मिलताा:

$$ R = \frac{abc}{4A} $$

$$ R = \frac{5 \times 5 \times 3}{4 \times \frac{15 \sqrt{3}}{4}} $$

$$ R = \frac{75}{15 \sqrt{3}} $$

$$ R = \frac{5}{\sqrt{3}} $$

$$ R \approx 2.887 $$

इसलिए, इस समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या लगभग $2.887$ है।

# # # # समद्विबाहु त्रिभुज की सममिति

एक समद्विबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। इन दो बराबर भुजाओं को त्रिभुज की टांगें कहा जाता है, और तीसरी भुजा को आधार कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं, और शीर्ष कोण आधार कोणों से भिन्न होता है।

# # # # समद्विबाहु त्रिभुज की सममिति रेखाएँ

एक समद्विबाहु त्रिभुज की एक सममिति रेखा होती है। यह सममिति रेखा त्रिभुज के शीर्ष से होकर गुजरती है और आधार के मध्य बिंदु पर आधार को समद्विभाजित करती है।

# # # # घूर्णन सममिति

एक समद्विबाहु त्रिभुज में भी घूर्णन सममिति होती है। इसका अर्थ है कि यह त्रिभुज अपने केंद्र बिंदु के चारों ओर घुमाया जा सकता है ताकि वह पहले जैसा ही दिखे। यह समद्विबाहु त्रिभुज 1-मोड़ घूर्णन सममिति रखता है। इसका अर्थ है कि यह त्रिभुज अपने केंद्र बिंदु के चारों ओर 360 डिग्री घुमाया जा सकता है और वह समान ही दिखेगा।

प्रतिबिंब सममिति

एक समद्विबाहु त्रिभुज में प्रतिबिंब सममिति भी होती है। इसका अर्थ है कि यह त्रिभुज एक रेखा के पार प्रतिबिंबित किया जा सकता है ताकि वह पहले जैसा ही दिखे। यह समद्विबाहु त्रिभुज 1-मोड़ प्रतिबिंब सममिति रखता है। इसका अर्थ है कि यह त्रिभुज अपनी सममिति रेखा के पार प्रतिबिंबित किया जा सकता है और वह समान ही दिखेगा।

Summary

इस समद्विभाहु त्रिभुज में निम्नलिखित सममितियाँ हैं:

• एक रेखा सममिति जो शिखर से आधार तक ऊँचाई के साथ होती है
• 2-मोड़ घूर्णन सममिति
• 1-मोड़ घूर्णन सममिति

समद्विबाहु त्रिभुज: हल किया गया उदाहरण

उदाहरण 1: एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण ज्ञात कीजिए

दिया गया एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई 5 सेमी और आधार की लंबाई 8 सेमी है। ढूंढो इसके प्रत्येक आधार कोण का मान।

हल:

आइए दर्शाएं कि इस समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण $x$ हैं। चूंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180 डिग्री होता है, हम लिख सकते हैं:

$2x + \text{शीर्ष कोण} = 180^\circ$

$$2x + 80 = 180$$

दोनों पक्षों से 80 घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$2x = 100$$

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हम ढूंढते हैं:

$$x = 50$$

इसलिए, इस समद्विबाहु त्रिभुज के प्रत्येक आधार कोण का माप 50 डिग्री है।

उदाहरण 2: एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई 10 सेमी और आधार की लंबाई 12 सेमी है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ढूंढो।

हल:

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है:

$$Area = \frac{1}{2} \times base \times height$$

इस मामले में, आधार 12 सेमी है, और हमें ऊँचाई ढूंढने की आवश्यकता है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ऊँचाई ढूंढ सकते हैं:

$$h^2 = 10^2 - 6^2$$

$$ h ^ 2 = 100 - 36 $$ $$ h ^ 2 = 64 $$ $$ h = \sqrt{64} $$ $$ h = 8 $$ इसलिए, इस त्रिभुज की ऊँचाई 8 सेमी है। इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर हमें प्राप्त होता है:

$$ Area = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 $$ $$ Area = 48 $$ इसलिए, इस समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेंटीमीटर है।

उदाहरण 3: एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए

एक समद्विभाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई 7 सेमी है और आधार की लंबाई 10 सेमी है। त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल:
त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। इस स्थिति में हमारे पास है:

$$ परिमाप = 7 + 7 + 10 $$ $$ परिमाप = 24 $$ इसलिए, इस समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 24 सेमी है।

समद्विबाहु त्रिभुज अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

समद्विबाहु त्रिभुज क्या होता है?

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। इन दो बराबर भुजाओं को त्रिभुज की टाँगें कहा जाता है और तीसरी भुजा को आधार कहा जाता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के गुणधर्म क्या होते हैं?

यह निम्नलिखित गुणधर्मों वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है:

• इसके आधार कोण बराबर होते हैं।
• आधार कोणों का योग 90 डिग्री होता है।
• शीर्ष कोण, आधार कोणों के योग को 180 डिग्री से घटाकर प्राप्त होता है।
• इसकी ऊँचाई आधार को दो भागों में विभाजित करती है और शीर्ष कोण को भी दो भागों में बाँटती है।
• इसकी माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।
• इसका परिकेंद्र आधार के मध्यबिंदु पर स्थित होता है।
• इसका अंतःकेंद्र वह बिंदु है जहाँ आंतरिक कोण समद्विभाजक मिलते हैं।
• इसका लंबकेंद्र वह बिंदु है जहाँ ऊँचाइयाँ मिलती हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के कुछ उदाहरण क्या हैं?

समद्विबाहु त्रिभुज के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और तीसरी भुजा अलग लंबाई की होती है। एक समभुज त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज का विशेष मामला है जिसमें तीनों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं। एक 45-45-90 त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और एक कोण 90° का होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्या अनुप्रयोग हैं?

समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• वास्तुकला: समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग छतों, पुलों और अन्य संरचनाओं के डिज़ाइन में किया जाता है।
• इंजीनियरिंग: समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग मशीनों, उपकरणों और अन्य यंत्रों के डिज़ाइन में किया जाता है।
• गणित: समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग ज्यामिति और त्रिकोणमिति के अध्ययन में किया जाता है।
• कला: समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग चित्रकला, चित्रों और अन्य कलाकृतियों के निर्माण में किया जाता है।

निष्कर्ष

समद्विबाहु त्रिभुज एक बहुउपयोगी और महत्वपूर्ण ज्यामितीय आकृति है जिसमें विविध प्रकार के गुणधर्म और अनुप्रयोग होते हैं।