अध्याय 05 वर्ग और वर्गमूल
5.1 परिचय
आप जानते हैं कि एक वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा (जहाँ ‘भुजा’ का अर्थ है ‘एक भुजा की लंबाई’)। निम्नलिखित सारणी का अध्ययन करें।
| वर्ग की भुजा (सेमी में) | वर्ग का क्षेत्रफल (सेमी² में) |
|---|---|
| 1 | 1 × 1 = 1 = 1² |
| 2 | 2 × 2 = 4 = 2² |
| 3 | 3 × 3 = 9 = 3² |
| 4 | 4 × 4 = 16 = 4² |
| 5 | 5 × 5 = 25 = 5² |
| 6 | 6 × 6 = 36 = 6² |
| 7 | 7 × 7 = 49 = 7² |
| 8 | 8 × 8 = 64 = 8² |
| 9 | 9 × 9 = 81 = 9² |
| 10 | 10 × 10 = 100 = 10² |
संख्याएँ 1, 4, 9, 16, … वर्ग संख्याएँ हैं। इन संख्याओं को पूर्ण वर्ग भी कहा जाता है।
5.2 वर्ग संख्याओं के गुण
1. वर्ग संख्याएँ इकाई के स्थान पर 0, 1, 4, 5, 6, या 9 से समाप्त होती हैं।
2. वर्ग संख्याओं के अंत में शून्य की सम संख्या होती है।
3. सम संख्या का वर्ग सम होता है। विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।
4. पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है। 1 + 3 + 5 = 3² = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16
5.3 वर्गों में पैटर्न
त्रिभुजीय संख्याएँ: 1, 3, 6, 10, 15, 21, … त्रिभुजीय संख्याएँ हैं।
वर्ग संख्याएँ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … वर्ग संख्याएँ हैं।
संबंध: दो क्रमागत त्रिभुजीय संख्याओं का योग = वर्ग संख्या 3 + 6 = 9 = 3² 6 + 10 = 16 = 4²
5.4 वर्गमूल ज्ञात करना
वर्गमूल: किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वह मूल संख्या प्राप्त होती है।
वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ:
- बारंबर घटाव विधि
- अभाज्य गुणनफल विधि
- भाग विधि
विधि 1: बार-बार घटाना
√36 ज्ञात कीजिए: 36 - 1 = 35 (पहली विषम संख्या) 35 - 3 = 32 (दूसरी विषम संख्या) 32 - 5 = 27 (तीसरी विषम संख्या) 27 - 7 = 20 (चौथी विषम संख्या) 20 - 9 = 11 (पांचवीं विषम संख्या) 11 - 11 = 0 (छठी विषम संख्या)
हमने 6 बार घटाया, इसलिए √36 = 6
विधि 2: अभाज्य गुणनफल
√324 ज्ञात कीजिए: 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 324 = 2² × 3² × 3² 324 = (2 × 3 × 3)² √324 = 2 × 3 × 3 = 18
5.5 दशमलव के वर्गमूल
उदाहरण: √2.56 ज्ञात कीजिए
चरण 1: दशमलव हटाएं → 256 चरण 2: √256 = 16 ज्ञात कीजिए चरण 3: मूल संख्या में दशमलव स्थानों की गिनती करें (2) चरण 4: दशमलव बिंदु लगाएं → √2.56 = 1.6
5.6 वर्गमूल का आकलन
उदाहरण: √300 का आकलन करें
हम जानते हैं: 17² = 289 और 18² = 324 चूँकि 300, 289 और 324 के बीच है, √300, 17 और 18 के बीच है
5.7 शब्द समस्याएँ
उदाहरण 1: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 180 को गुणा करने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो।
हल: 180 = 2² × 3² × 5 इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, 5 से गुणा करें 180 × 5 = 900 = 30²
उदाहरण 2: एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 2025 मी² है। इसकी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: भुजा = √2025 = 45 मी
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याद रखने योग्य मुख्य बिंदु:
- पूर्ण वर्ग 0, 1, 4, 5, 6, या 9 से समाप्त होते हैं
- सम संख्या का वर्ग सम होता है, विषम संख्या का वर्ग विषम होता है
- वर्गमूल ज्ञात करने की तीन विधियाँ: बार-बार घटाना, अभाज्य गुणनफल, भाग
- √(a × b) = √a × √b
- √(a ÷ b) = √a ÷ √b
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