Complex Numbers Ques 20
For positive integers $n_1, n_2$ the value of expression $(1+i)^{n_1}+\left(1+i^{3}\right)^{n_1}+\left(1+i^{5}\right)^{n_2}+\left(1+i^{7}\right)^{n_2}$, here $i=\sqrt{-1}$ is a real number, if and only if
$(1996,2 M)$
(a) $n_{1}=n_{2}+1$
(b) $n_1=n_2-1$
(c) $n _1=n _2$
(d) $n _1>0, n _2>0$
Show Answer
Answer:
Correct Answer: 20.(d)
Solution:
Formula:
- $(1+i)^{n _1}+(1-i)^{n _1}+(1+i)^{n _2}+(1-i)^{n _2}$
$ \begin{aligned} & =\left[{ }^{n _1} C _0+{ }^{n _1} C _1 i+{ }^{n _1} C _2 i^{2}+{ }^{n _1} C _3 i^{3}+\ldots\right] \\ & +\left[{ }^{n _1} C _0-{ }^{n _1} C _1 i+{ }^{n _1} C _2 i^{2}-{ }^{n _1} C _3 i^{3}+\ldots\right] \\ & +\left[{ }^{n _2} C _0+{ }^{n _2} C _1 i+{ }^{n _2} C _2 i^{2}+{ }^{n _2} C _3 i^{3}+\ldots\right] \\ & +\left[{ }^{n _2} C _0-{ }^{n _2} C _1 i+{ }^{n _2} C _2 i^{2}-{ }^{n _2} C _3 i^{3}+. .\right] \\ & =2\left[{ }^{n _1} C _0+{ }^{n _1} C _2 i^{2}+{ }^{n _1} C _4 i^{4}+\ldots\right] \\ & +2\left[{ }^{n _2} C _0+{ }^{n _2} C _2 i^{2}+{ }^{n _2} C _4 i^{4}+\ldots\right] \\ & =2\left[{ }^{n_1} C_0-{ }^{n_1} C_2+{ }^{n_1} C_4-\ldots\right]+2\left[{ }^{n_2} C_0-{ }^{n_2} C_2\right. \\ & \left.+{ }^{n_2} C_4-\ldots\right] \end{aligned} $
This is a real number irrespective of the values of $n_1$ and $n_2$.
Alternate Solution
$\{(1+i)^{n _1}+(1-i)^{n _1} \}+\{(1+i)^{n _2}+(1-i)^{n _2} \}$
$\Rightarrow$ A real number for all $n_1$ and $n_2 \in \mathbb{R}$.
$\left[\because z+\bar{z}=2 \operatorname{Re}(z) \Rightarrow(1+i)^{n}+(1-i)^{n}\right.$ is real number for all $n \in \mathbb{N}]$
BETA
