• ಪ್ರಾಚೀನ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಸಂಘರ್ಷದ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ; ಪೈಥಾಗರಸ್ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗದ ಮತ್ತು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ, ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಕಿರಿಯವಾಗಿರುವ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಏನಾದರೂ ಹೇಳಬೇಕಿದೆ. - ಜಿ.ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿ

1.1 ಪರಿಚಯ

ಗಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಇಂದಿನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂದು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಗಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಗಣಿತ, ಅನುಕ್ರಮಗಳು, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಗಣಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ (1845-1918 A.D.)

ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ (1845-1918) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. “ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ” ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಅವರು ಮೊದಲು ಗಣಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದರು. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಗಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

1.2 ಗಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರೂಪಣೆಗಳು

ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚೀಟಿಗಳ ಪ್ಯಾಕ್, ಜನರ ಗುಂಪು, ಕ್ರಿಕೆಟ್ ತಂಡ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿಯೂ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ, ಬಿಂದುಗಳ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

(i) 10 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ, 1, 3, 5, 7, 9

(ii) ಭಾರತದ ನದಿಗಳು

(iii) ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಸ್ವರಗಳು, ಅಂದರೆ, $a, e, i, o, u$

(iv) ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು

(v) 210 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು, ಅಂದರೆ, 2,3,5 ಮತ್ತು 7

(vi) ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ: $x^{2}-5 x+6=0$, ಅಂದರೆ, 2 ಮತ್ತು 3 .

ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೂ ವಸ್ತುಗಳ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತು ನೀಡಿದ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಲ್ ನದಿಯು ಭಾರತದ ನದಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಗಂಗಾ ನದಿಯು ಈ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಗಣಗಳ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ.

$\mathbf{N}$ : ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ

$\mathbf{Z}$ : ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ

$\mathbf{Q}$ : ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ

$\mathbf{R}$ : ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ

$\mathbf{Z^{+}} $: ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ

$\mathbf{Q^{+}} $: ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ, ಮತ್ತು

$\mathbf{R^{+}} $: ಧನ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ.

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವಿಶೇಷ ಗಣಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಈ ಪಠ್ಯದುದ್ದಕ್ಕೂ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುವುದು.

ಮತ್ತೆ, ವಿಶ್ವದ ಐದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಸಂಗ್ರಹವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞನಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮಾನದಂಡವು ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಗ್ರಹವಲ್ಲ.

ಗಣವು ವಸ್ತುಗಳ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು:

(i) ವಸ್ತುಗಳು, ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಗಣದ ಸದಸ್ಯರು ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

(ii) ಗಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ A, B, C, X, Y, Z, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

(iii) ಗಣದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ $a, b, c, x, y, z$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$a$ ಗಣ A ಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, " $a$ A ಗೆ ಸೇರಿದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಗ್ರೀಕ್ ಚಿಹ್ನೆ $\in$ (ಎಪ್ಸಿಲಾನ್) ಅನ್ನು ‘ಸೇರಿದೆ’ ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು $a \in A$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ’ $b$ ’ ಗಣ $A$ ರ ಒಂದು ಅಂಶವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು $b \notin A$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು " $b$ A ಗೆ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಸ್ವರಗಳ ಗಣ $V$ ರಲ್ಲಿ, $a \in V$ ಆದರೆ $b \notin V$. $P$ ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗಣದಲ್ಲಿ $30,3 \in P$ ಆದರೆ $15 \notin P$.

ಗಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ:

(i) ರೋಸ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪ

(ii) ಗಣ-ನಿರ್ಮಾತೃ ರೂಪ.

(i) ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಗಣದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಲ್ಪವಿರಾಮಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳು { } ಒಳಗೆ ಸುತ್ತುವರಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣವನ್ನು ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ $\{2,4,6\}$ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

(ಎ) 42 ರನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವು $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ ಆಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ - ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಗಣವನ್ನು $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ ಎಂದೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

(ಬಿ) ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವರಗಳ ಗಣವು $\{a, e, i, o, u\}$ ಆಗಿದೆ.

(ಸಿ) ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವನ್ನು $\{1,3,5, \ldots\}$ ರಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತವೆ.

ಗಮನಿಸಿ - ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗಣವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ‘SCHOOL’ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಕ್ಷರಗಳ ಗಣವು $\{S, C, H, O, L\}$ ಅಥವಾ $\{H, O, L, C, S\}$ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಇಲ್ಲ.

(ii) ಗಣ-ನಿರ್ಮಾತೃ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಗಣದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ಗಣದ ಹೊರಗಿನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣ $\{a, e, i, o, u\}$ ರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಸ್ವರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷರವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಈ ಗಣವನ್ನು $V$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

$V=\{x: x$ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಸ್ವರವಾಗಿದೆ $\}$

ಗಣದ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಚಿಹ್ನೆ $x$ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು (ಅಕ್ಷರಗಳು $y, z$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು) ಅದನ್ನು ಅಲ್ಪವಿರಾಮ " : " ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಪವಿರಾಮದ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ, ಗಣದ ಅಂಶಗಳು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳ ಒಳಗೆ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಗಣ $V$ ರ ಮೇಲಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು “ಎಲ್ಲಾ $x$ ರ ಗಣವು ಅಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $x$ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಸ್ವರವಾಗಿದೆ”. ಈ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳು “ಎಲ್ಲಾ ರ ಗಣ” ಎಂದರ್ಥ, ಅಲ್ಪವಿರಾಮವು “ಅಂತಹದ್ದು” ಎಂದರ್ಥ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣ

$A=\{x: x$ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು $3<x<10\}$ ಅನ್ನು “ಎಲ್ಲಾ $x$ ರ ಗಣವು ಅಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $x$ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು $x$ 3 ಮತ್ತು 10 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.” ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 4, 5, 6, 7,8 ಮತ್ತು 9 ಗಣ $A$ ರ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಮೇಲೆ $(a),(b)$ ಮತ್ತು $(c)$ ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಗಣಗಳನ್ನು ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ $A, B$, $C$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಂತರ $A, B, C$ ಅನ್ನು ಗಣ-ನಿರ್ಮಾತೃ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

$A=\{x: x$ 42 ರನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ $\}$

$B=\{y: y$ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಸ್ವರವಾಗಿದೆ $\}$

$C=\{z: z$ ಒಂದು ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ $\}$

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಸಮೀಕರಣ $x^{2}+x-2=0$ ರ ಪರಿಹಾರ ಗಣವನ್ನು ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ಗಣವನ್ನು ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ $\{1,-2\}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಗಣ $\{x: x$ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು $x^{2}<40\}$ ಅನ್ನು ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $1,2,3,4,5,6$ ಆಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಗಣವು $\{1,2,3,4,5,6\}$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಗಣ $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ ಅನ್ನು ಗಣ-ನಿರ್ಮಾತೃ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಗಣ A ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

ವಿಕಲ್ಪವಾಗಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಗಣ $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ ಅನ್ನು ಗಣ-ನಿರ್ಮಾತೃ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನೀಡಲಾದ ಗಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯನೂ ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಅಂಶವು 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 6 ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣ-ನಿರ್ಮಾತೃ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಗಣವು

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

ಉದಾಹರಣೆ 5 ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಎಡಭಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣವನ್ನು ಗಣ-ನಿರ್ಮಾತೃ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಬಲಭಾಗದ ಅದೇ ಗಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿ:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

ಪರಿಹಾರ (ಡಿ) ರಲ್ಲಿ, PRINCIPAL ಪದದಲ್ಲಿ 9 ಅಕ್ಷರಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳಾದ P ಮತ್ತು I ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, (i) (d) ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $x+1=1$ ಎಂದರೆ $x=0$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (ii) (c) ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, 1, 2 ,3, 6, 9, 18 ಎಲ್ಲವೂ 18 ರ ಭಾಜಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ (iii) (a) ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, $x^{2}-9=0$ ಎಂದರೆ $x=3,-3$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (iv) (b) ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

1.3 ಖಾಲಿ ಗಣ

ಗಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$A=\{x: x$ ಪ್ರಸ್ತುತ ಒಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ XI ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ $\}$

ನಾವು ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಾಲೆಯ XI ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣ A ಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ಗಣ $B$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

$B = \{x: x$ ಪ್ರಸ್ತುತ X ಮತ್ತು XI ತರಗತಿಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಓದುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ $\}$

ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ X ಮತ್ತು XI ತರಗತಿಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಓದಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣ B ಯು ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಗಣವನ್ನು ಖಾಲಿ ಗಣ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, B ಒಂದು ಖಾಲಿ ಗಣವಾಗಿದೆ ಆದರೆ A ಖಾಲಿ ಗಣವಲ್ಲ. ಖಾಲಿ ಗಣವನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ $\phi$ ಅಥವಾ { } ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಖಾಲಿ ಗಣಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

(i) $A=\{x: 1<x<2, x$ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $\}$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ A ಖಾಲಿ ಗಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ ಮತ್ತು $x$ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ $\}$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ $B$ ಖಾಲಿ ಗಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ $x^{2}-2=0$ ಅನ್ನು $x$ ರ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

(iii) $C =$ $\{x: x$ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ $\}$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ $C$ ಖಾಲಿ ಗಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 2 ಮಾತ್ರ ಸಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ ಬೆಸ $\}$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ $D$ ಖಾಲಿ ಗಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ $x^{2}=4$ ಅನ್ನು $x$ ರ ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

1.4 ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಗಣಗಳು

$\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ ಮತ್ತು $\quad C=\{$ ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿಶ್ವದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿರುವ ಪುರುಷರು $\}$

A ಯು 5 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು B ಯು 6 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. $C$ ಎಷ್ಟು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? ಇದು ಇರುವಂತೆ, $C$ ರಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಗಣ $S$ ರ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ, ನಾವು ಗಣದ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು $n$ (S) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. $n$ (S) ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $S$ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಗಣವಾಗಿದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಗಣದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವು ಅನಂತ ಗಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ A, B ಮತ್ತು C ಗಣಗಳು ಸೀಮಿತ ಗಣಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು $n(A)=5, n(B)=6$ ಮತ್ತು $n(C)=$ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಗಣವನ್ನು ಅನಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

(i) $W$ ವಾರದ ದಿನಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ $W$ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

(ii) $S$ ಸಮೀಕರಣ $x^{2}-16=0$ ರ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ $S$ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

(iii) $G$ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ $G$ ಅನಂತವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಗಣದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳ { } ಒಳಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತ ಗಣದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳ { } ಒಳಗೆ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಗಣದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಕೆಲವು ಅನಂತ ಗಣವನ್ನು ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಅದು ಗಣದ ರಚನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಮೂರು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ (ಅಥವಾ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\{1,2,3 \ldots\}$ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ, $\{1,3,5,7, \ldots\}$ ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ, $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಗಳು ಅನಂತವಾಗಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ - ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಗಣಗಳನ್ನು ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಗಣದ ಅಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಎಂದು ತಿಳಿಸಿ:

(i) $\{x: x \in N$ ಮತ್ತು $(x-1)(x-2)=0\}$

(ii) $\{x: x \in N.$ ಮತ್ತು $.x^{2}=4\}$

(iii) $\{x: x \in N$ ಮತ್ತು $2 x-1=0\}$

(iv) $\quad\{x: x \in N$ ಮತ್ತು $x$ ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\}$

(v) $\{x: x \in N$ ಮತ್ತು $x$ ಬೆಸ $\}$

ಪರಿಹಾರ (i) ನೀಡಲಾದ ಗಣ $=\{1,2\}$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

(ii) ನೀಡಲಾದ ಗಣ $=\{2\}$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

(iii) ನೀಡಲಾದ ಗಣ $=\phi$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

(iv) ನೀಡಲಾದ ಗಣವು ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವು ಅನಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಗಣವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ

(v) ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಗಣವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ.

1.5 ಸಮಾನ ಗಣಗಳು

ಎರಡು ಗಣಗಳಾದ A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, A ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು B ಯ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು B ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು A ಯ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, A ಮತ್ತು B ಗಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಎರಡು ಗಣಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ಎರಡು ಗಣಗಳಾದ A ಮತ್ತು B ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು $A=B$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಗಣಗಳು ಅಸಮಾನ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು $A \neq B$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

(i) $A=\{1,2,3,4\}$ ಮತ್ತು $B=\{3,1,4,2\}$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ $A=B$.

(ii) $A$ 6 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $P$ 30 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ A ಮತ್ತು P ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆ