ನಿಮ್ಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಜೀವನದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಹಳ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಲಿ ಮತ್ತು ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಪ್ರಪಂಚವನ್ನು ಹೇಗೆ ರೂಪಾಂತರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅವರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಿ. - ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸೆಲ್

10.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯ 10 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ರೇಖೆಯ ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೆಲವು ಇತರ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಾದ ವೃತ್ತಗಳು, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು, ಪರವಲಯಗಳು ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಪರವಲಯ ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯ ಎಂಬ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಅಪೊಲೋನಿಯಸ್ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಶಂಖವಲಯಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋನಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿ-ನ್ಯಾಪ್ಡ್ ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಖುವಿನ ಛೇದನದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆ, ದೂರದರ್ಶಕಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟೆನಾಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ, ಫ್ಲಾಶ್ಲೈಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಟೋಮೊಬೈಲ್ ಹೆಡ್ಲೈಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮುಂತಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಅಪೊಲೋನಿಯಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 262 - ಕ್ರಿ.ಪೂ. 190)

ಈಗ, ನಂತರದ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ದ್ವಿ-ನ್ಯಾಪ್ಡ್ ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಖುವಿನ ಛೇದನವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

10.2 ಶಂಖುವಿನ ಛೇದಗಳು

$l$ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಲಂಬ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $m$ ಅದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ, ಅದು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು $V$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\alpha$ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಓರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ10.1).

ಚಿತ್ರ 10.1

ನಾವು $m$ ರೇಖೆಯನ್ನು $l$ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ $\alpha$ ಕೋನವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಗ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ದ್ವಿ-ನ್ಯಾಪ್ಡ್ ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಟೊಳ್ಳಾದ ಶಂಖುವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದೆ ಶಂಖು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ದೂರ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ10.2).

ಚಿತ್ರ 10.2

$V$ ಬಿಂದುವನ್ನು ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; $l$ ರೇಖೆಯು ಶಂಖುವಿನ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. ತಿರುಗುವ ರೇಖೆ $m$ ಅನ್ನು ಶಂಖುವಿನ ಜನಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೃಂಗವು ಶಂಖುವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನ್ಯಾಪ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಶಂಖುವಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ಛೇದನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಹೀಗೆ ಪಡೆದ ಛೇದವನ್ನು ಶಂಖವಲಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಶಂಖವಲಯಗಳು ಒಂದು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಖುವನ್ನು ಸಮತಲದಿಂದ ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಶಂಖುವಿನ ಲಂಬ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಸಮತಲವು ಮಾಡುವ ಕೋನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಮತ್ತು ಶಂಖುವಿನೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಾವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಶಂಖವಲಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಶಂಖುವಿನ ಲಂಬ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಸಮತಲವು ಮಾಡುವ ಕೋನವು $\beta$ ಆಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ10.3).

ಚಿತ್ರ 10.3

ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಶಂಖುವಿನ ಛೇದನವು ಶಂಖುವಿನ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಶೃಂಗದ ಕೆಳಗೆ ಅಥವಾ ಮೇಲೆ ಇರುವ ನ್ಯಾಪ್ನ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು.

10.2.1 ವೃತ್ತ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಪರವಲಯ ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯ

ಸಮತಲವು ಶಂಖುವಿನ ನ್ಯಾಪ್ ಅನ್ನು (ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

(ಎ) $\beta=90^{\circ}$ ಆದಾಗ, ಛೇದವು ಒಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ10.4).

ಚಿತ್ರ10.4

(ಬಿ) $\alpha<\beta<90^{\circ}$ ಆದಾಗ, ಛೇದವು ಒಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ10.5).

ಚಿತ್ರ10.5

(ಸಿ) $\beta=\alpha$ ಆದಾಗ; ಛೇದವು ಒಂದು ಪರವಲಯವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ10.6).

ಚಿತ್ರ10.6

(ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ, ಸಮತಲವು ಶಂಖುವಿನ ಒಂದು ನ್ಯಾಪ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ).

(ಡಿ) $0 \leq \beta<\alpha$ ಆದಾಗ; ಸಮತಲವು ಎರಡೂ ನ್ಯಾಪ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದನದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ಅತಿಪರವಲಯವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ10.7).

ಚಿತ್ರ10.7

10.2.2 ಅವನತ ಶಂಖವಲಯಗಳು

ಸಮತಲವು ಶಂಖುವಿನ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

(ಎ) $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$ ಆದಾಗ, ಛೇದವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ10.8).

ಚಿತ್ರ10.8

(ಬಿ) $\beta=\alpha$ ಆದಾಗ, ಸಮತಲವು ಶಂಖುವಿನ ಜನಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ10.9).

ಚಿತ್ರ10.9

ಇದು ಪರವಲಯದ ಅವನತ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

(ಸಿ) $0 \leq \beta<\alpha$ ಆದಾಗ, ಛೇದವು ಛೇದಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ10.10). ಇದು ಅತಿಪರವಲಯದ ಅವನತ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ10.8 (ಎ)

ಚಿತ್ರ10.8 (ಬಿ)

ನಂತರದ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಶಂಖವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅವುಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

10.3 ವೃತ್ತ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ, ಅವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವನ್ನು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗಿರುವ ದೂರವನ್ನು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.11).

ಚಿತ್ರ10.11

ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಕೆಳಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 10.12).

ಚಿತ್ರ10.12

$C(h, k)$ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $r$ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರಲಿ. $P(x, y)$ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ10.12). ಆಗ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, $|CP|=r$. ದೂರ ಸೂತ್ರದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಅಂದರೆ.

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+-k)^{2}}=r \\ & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

ಇದು ಕೇಂದ್ರ $(h, k)$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಕೇಂದ್ರ $(0,0)$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ $h=k=0$. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕೇಂದ್ರ $(-3,2)$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ 4 ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ $h=-3, k=2$ ಮತ್ತು $r=4$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

ಉದಾಹರಣೆ 3 ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$

ಪರಿಹಾರ ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

ಈಗ, ಆವರಣದೊಳಗೆ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

ಅಂದರೆ.

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

ಅಂದರೆ.

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ವೃತ್ತವು ಕೇಂದ್ರ $(-4,-5)$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ 7 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 $(2,-2)$, ಮತ್ತು $(3,4)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ರೇಖೆ $x+y=2$ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ ಆಗಿರಲಿ.

ವೃತ್ತವು $(2,-2)$ ಮತ್ತು $(3,4)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

ಮತ್ತು $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

ಅಲ್ಲದೆ ಕೇಂದ್ರವು ರೇಖೆ $x+y=2$ ಮೇಲೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (1), (2) ಮತ್ತು (3) ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ ಮತ್ತು } r^{2}=12.58 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

10.4 ಪರವಲಯ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಪರವಲಯವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ, ಅವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ) ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರವಲಯದ ನಿಯತರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು $F$ ಅನ್ನು ನಾಭಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.13). (‘ಪ್ಯಾರಾ’ ಎಂದರೆ ‘ಗಾಗಿ’ ಮತ್ತು ‘ಬೋಲಾ’ ಎಂದರೆ ‘ಎಸೆಯುವುದು’, ಅಂದರೆ, ನೀವು ಚೆಂಡನ್ನು ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ ಎಸೆದಾಗ ವಿವರಿಸಿದ ಆಕಾರ).

ಚಿತ್ರ 10.13

ಗಮನಿಸಿ - ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು, ಅದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರವಲಯದ ಅವನತ ಪ್ರಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾಭಿಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ನಿಯತರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರವಲಯದ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರವಲಯದ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪರವಲಯದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರವಲಯದ ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ10.14).

ಚಿತ್ರ10.14

10.4.1 ಪರವಲಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಶೃಂಗವು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು $x$-ಅಕ್ಷ ಅಥವಾ $y$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇದ್ದರೆ ಪರವಲಯದ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರವಲಯದ ನಾಲ್ಕು ಸಾಧ್ಯತೆಯಂತಹ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚಿತ್ರ10.15 (ಎ) ರಿಂದ (ಡಿ) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

(ಎ)

(ಬಿ)

$x^{2}=4 a y$

(ಸಿ)

$x^{2}=-4 a y$

(ಡಿ)

ನಾವು ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರ 10.15 (ಎ) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ ಪರವಲಯದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾಭಿ $(a, 0) a>0$; ಮತ್ತು ನಿಯತರೇಖೆ $x=-a$ ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಕೆಳಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$F$ ನಾಭಿಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $l$ ನಿಯತರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. FM ನಿಯತರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು FM ಅನ್ನು O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಮದ್ವಿಭಾಗಿಸಲಿ. MO ಅನ್ನು X ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ. $(-a, y)$ B ಪರವಲಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಮಧ್ಯಬಿಂದು $O$ ಪರವಲಯದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರವಲಯದ ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. $O$ ಅನ್ನು ಮೂಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, $OX$ $x$-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $OY$ ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದನ್ನು $y$-ಅಕ್ಷವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಿಯತರೇಖೆಯಿಂದ ನಾಭಿಗೆ ಇರುವ ದೂರವು $2 a$ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ, ನಾಭಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(a, 0)$, ಮತ್ತು ನಿಯತರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಚಿತ್ರ10.16 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ $x+a=0$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ $\mathbf{1 0 . 1 6}$

$P(x, y)$ ಪರವಲಯದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಅಂದರೆ

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

ಇಲ್ಲಿ $PB$ $l$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $B$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(-a, y)$. ದೂರ ಸೂತ್ರದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ ಮತ್ತು } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

$PF=PB$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

ಅಂದರೆ $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

ಅಥವಾ $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

ಅಥವಾ $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರವಲಯದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಸಮಾಧಾನಪಡಿಸುತ್ತದೆ

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

ವಿಪರ್ಯಯವಾಗಿ, $P(x, y)$ ಸಮೀಕರಣ (2) ಅನ್ನು ಸಮಾಧಾನಪಡಿಸಲಿ

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \\ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $P(x, y)$ ಪರವಲಯದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ, (2) ಮತ್ತು (3) ರಿಂದ ನಾವು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶೃಂಗ, ನಾಭಿ $(a, 0)$ ಮತ್ತು ನಿಯತರೇಖೆ $x=-a$ ಹೊಂದಿರುವ ಪರವಲಯದ ಸಮೀಕರಣವು $y^{2}=4 a x$ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಚರ್ಚೆ ಸಮೀಕರಣ (2) ರಲ್ಲಿ, $a>0, x$ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಆದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಚತುರ್ಥಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ದೂರ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರವಲಯದ ಅಕ್ಷವು ಧನಾತ್ಮಕ $x$-ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಪರವಲಯಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಚಿತ್ರ 11.15 (ಬಿ) ರಲ್ಲಿ $y^{2}=-4 a x$,

ಚಿತ್ರ 11.15 (ಸಿ) ರಲ್ಲಿ $x^{2}=4 a y$,

ಚಿತ್ರ $11.15(d)$ ರಲ್ಲಿ $x^{2}=-4 a y$,

ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರವಲಯಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ - ಪರವಲಯಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನಾಭಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಶೃಂಗವು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ನಿಯತರೇಖೆಯು ಇನ್ನೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಾಭಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಯತರೇಖೆಯಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪರವಲಯಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ.

ಪರವಲಯಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ಚಿತ್ರ10.15, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

1. ಪರವಲಯವು ಪರವಲಯದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವು $y^{2}$ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು $x$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವು $x^{2}$ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು $y$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ.

2. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು $x$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇದ್ದಾಗ ಪರವಲಯವು ತೆರೆಯುತ್ತದೆ

(ಎ) ಬಲಕ್ಕೆ $x$ ನ ಗುಣಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ,

(ಬಿ) ಎಡಕ್ಕೆ $x$ ನ ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ.

3. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು $y$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇದ್ದಾಗ ಪರವಲಯವು ತೆರೆಯುತ್ತದೆ

(ಸಿ) ಮೇಲಕ್ಕೆ $y$ ನ ಗುಣಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ.

(ಡಿ) ಕೆಳಕ್ಕೆ $y$ ನ ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ.

10.4.2 ನಾಭಿಜ್ಯ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ಪರವಲಯದ ನಾಭಿಜ್ಯವು ಪರವಲಯದ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖಾಖಂಡವಾಗಿದೆ, ನಾಭಿಯ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದರ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳು ಪರವಲಯದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ10.17).

ಚಿತ್ರ10.17

ಪರವಲಯ $ y^{2}= 4 a x $ ನಾಭಿಜ್ಯದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (ಚಿತ್ರ 10.18).

ಚಿತ್ರ10.18

ಪರವಲಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, $AF=AC$.

ಆದರೆ $ \mathrm{AC}=\mathrm{FM}=2 a $

ಆದ್ದರಿಂದ $ \mathrm{AF}=2 a $

ಮತ್ತು ಪರವಲಯವು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ $AF=FB$ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ

$AB=$ ನಾಭಿಜ್ಯದ ಉದ್ದ $=4 a$.

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಪರವಲಯ $y^{2}=8 x$ ನ ನಾಭಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಅಕ್ಷ, ನಿಯತರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ನಾಭಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವು $y^{2}$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷವು $x$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ.

$x$ ನ ಗುಣಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪರವಲಯವು ಬಲಕ್ಕೆ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ. ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣ $y^{2}=4 a x$ ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು $a=2$ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪರವಲಯದ ನಾಭಿಯು $(2,0)$ ಮತ್ತು ಪರವಲಯದ ನಿಯತರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು $x=-2$ ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 10.19).

ಚಿತ್ರ 10.19

ನಾಭಿಜ್ಯದ ಉದ್ದವು $4 a=4 \times 2=8$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 ನಾಭಿ $(2,0)$ ಮತ್ತು ನಿಯತರೇಖೆ $x=-2$ ಹೊಂದಿರುವ ಪರವಲಯದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾಭಿ $(2,0)$ $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವುದರಿಂದ, $x$-ಅಕ್ಷವೇ ಪರವಲಯದ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪರವಲಯದ ಸಮೀಕರಣವು $y^{2}=4 a x$ ಅಥವಾ $y^{2}=-4 a x$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ನಿಯತರೇಖೆಯು $x=-2$ ಮತ್ತು ನಾಭಿಯು $(2,0)$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪರವಲಯವು $y^{2}=4 a x$ ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಇಲ್ಲಿ $a=2$. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಮೀಕರಣವು

$ y^{2}=4(2) x=8 x $

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಶೃಂಗ $(0,0)$ ಮತ್ತು ನಾಭಿ $(0,2)$ ಹೊಂದಿರುವ ಪರವಲಯದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಶೃಂಗವು $(0,0)$ ನಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ನಾಭಿಯು $(0,2)$ ನಲ್ಲಿದೆ, ಅದು $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, $y$-ಅಕ್ಷವು ಪರವಲಯದ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರವಲಯದ ಸಮೀಕರಣವು $x^{2}=4 a y$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ x^{2}=4(2) y \text{, ಅಂದರೆ, } x^{2}=8 y