ಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ರಾಣಿ ಮತ್ತು ಸೇವಕಿ - ಇ.ಟಿ. ಬೆಲ್

11.1 ಪರಿಚಯ

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು, ನಮಗೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಬೇಕು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿರಬಹುದು. ಈ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೇವಲ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಚೆಂಡಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಒಂದು ಸ್ಥಳದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಹಾರುವಾಗ ವಿವಿಧ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಮಾನದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಅಂತೆಯೇ, ಕೊಠಡಿಯ ಚಾವಣಿಯಿಂದ ತೂಗುಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲ್ಬಿನ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳಗಿನ ತುದಿಯ ಸ್ಥಾನ ಅಥವಾ ಕೊಠಡಿಯ ಚಾವಣಿ ಫ್ಯಾನ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ತುದಿಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕಾದರೆ, ನಮಗೆ ಕೊಠಡಿಯ ಎರಡು ಲಂಬವಾದ ಗೋಡೆಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಬೇಕಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಲಂಬ ದೂರಗಳು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ನೆಲದ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಎತ್ತರವೂ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಕೇವಲ ಎರಡಲ್ಲ, ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಅವು ಕೊಠಡಿಯ ನೆಲ ಮತ್ತು ಕೊಠಡಿಯ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಗೋಡೆಗಳು ಎಂಬ ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ಸಮತಲಗಳಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಲಂಬ ದೂರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂರು ದೂರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ತ್ರಿಮಿತೀಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.*

11.2 ತ್ರಿಮಿತೀಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳು

ಮೂರು ಸಮತಲಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದು $O$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇವು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 11.1). ಈ ಮೂರು ಸಮತಲಗಳು $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ ಮತ್ತು $Z^{\prime} OZ$ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $x, y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಈ ರೇಖೆಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. XOY, YOZ ಮತ್ತು ZOX ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ XY-ಸಮತಲ, YZ-ಸಮತಲ ಮತ್ತು ZX-ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳೆಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿದೆ. ನಾವು XOY ಸಮತಲವನ್ನು ಕಾಗದದ ಸಮತಲವಾಗಿ ಮತ್ತು

ಚಿತ್ರ 11.1 ರೇಖೆ $Z^{\prime} OZ$ ಅನ್ನು ಸಮತಲ $XOY$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕಾಗದದ ಸಮತಲವನ್ನು ಸಮತಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ರೇಖೆ $Z^{\prime} OZ$ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. XY-ಸಮತಲದಿಂದ $OZ$ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೂರಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಮತ್ತು $OZ^{\prime}$ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೂರಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $ZX$-ಸಮತಲದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ $OY$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು, ZX-ಸಮತಲದ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು $O Y^{\prime}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಋಣಾತ್ಮಕವೆಂದು, YZ-ಸಮತಲದ ಮುಂದೆ $O X$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದೆ $OX^{\prime}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಋಣಾತ್ಮಕವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು $O$ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ಎಂಟು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಷ್ಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಷ್ಟಕಗಳನ್ನು $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ ಮತ್ತು $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ I, II, III, …, VIII ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು.

11.3 ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸ್ಥಿರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅದಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು $(x, y, z)$ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿವಳಿ $(x, y, z)$ ನೀಡಿದಾಗ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 11.2

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ನಾವು XY-ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಒಂದು $\mathbf{X}$ ಲಂಬ PM ಅನ್ನು M ಯಲ್ಲಿ ಈ ಲಂಬದ ಪಾದವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 11.2). ನಂತರ, M ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಲಂಬ ರೇಖೆ ML ಅನ್ನು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು L ನಲ್ಲಿ ಭೇಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. OL ಅನ್ನು $x, LM$, $y$ ಮತ್ತು MP ಅನ್ನು $z$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ $x, y$ ಮತ್ತು $z$ ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಿಂದು $P$ ನ $x, y$ ಮತ್ತು $z$ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 11.2 ರಲ್ಲಿ, ಬಿಂದು $P(x, y, z)$ XOYZ ಅಷ್ಟಕದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲ $x, y$, $z$ ಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. $P$ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಷ್ಟಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, $x, y$ ಮತ್ತು $z$ ಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು $P$ ಗೆ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ತ್ರಿವಳಿ $(x, y, z)$ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ತ್ರಿವಳಿ $(x, y, z)$ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲು $x$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದು $L$ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ XY-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು $M$ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ $(x, y)$ ಗಳು XY-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ M ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. LM ಯು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ $y$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. M ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪಿದ ನಂತರ, ನಾವು XY-ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ಲಂಬ MP ಅನ್ನು ಎಳೆದು ಅದರ ಮೇಲೆ $z$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಬಿಂದು $P$ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ ಪಡೆದ ಬಿಂದು $P$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x, y, z)$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ತ್ರಿವಳಿ $(x, y, z)$ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ.

ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದು $P$ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮೂರು ಸಮತಲಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅವು $x$-ಅಕ್ಷ, $y$-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳು $A, B$ ಮತ್ತು $C$ ನಲ್ಲಿ ಭೇಟಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 11.3). $OA=x, OB=y$ ಮತ್ತು $OC=z$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಬಿಂದು $P$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $x, y$ ಮತ್ತು $z$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾವು $P(x, y, z)$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, $x, y$ ಮತ್ತು $z$ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು $A, B$ ಮತ್ತು $C$ ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಿಂದುಗಳು $A, B$ ಮತ್ತು $C$ ಮೂಲಕ ನಾವು YZ-ಸಮತಲ, ZX-ಸಮತಲ ಮತ್ತು XY-ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ,

ಚಿತ್ರ 11.3

ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಈ ಮೂರು ಸಮತಲಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದು, ಅಂದರೆ ADPF, BDPE ಮತ್ತು CEPF ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬಿಂದು $P$ ಆಗಿದೆ, ಅದು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ತ್ರಿವಳಿ $(x, y, z)$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. $P(x, y, z)$ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, $x, y$ ಮತ್ತು $z$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ YZ, ZX ಮತ್ತು XY ಸಮತಲಗಳಿಂದ ಲಂಬ ದೂರಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ - ಮೂಲ $O$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(0,0,0)$ ಆಗಿವೆ. $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x, 0,0)$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು YZ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(0, y, z)$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯು ಆ ಬಿಂದು ಇರುವ ಅಷ್ಟಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಎಂಟು ಅಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 11.1

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಚಿತ್ರ 11.3 ರಲ್ಲಿ, $P$ ಯು $(2,4,5)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $F$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಬಿಂದು $F$ ಗೆ, OY ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ದೂರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $F$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(2,0,5)$ ಆಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಬಿಂದುಗಳು $(-3,1,2)$ ಮತ್ತು $(-3,1,-2)$ ಇರುವ ಅಷ್ಟಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಕೋಷ್ಟಕ 11.1 ರಿಂದ, ಬಿಂದು $(-3,1,2)$ ಎರಡನೇ ಅಷ್ಟಕದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದು $(-3,1,-2)$ ಅಷ್ಟಕ VI ನಲ್ಲಿದೆ.

11.4 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ

ನಾವು ದ್ವಿಮಿತೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಈ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ತ್ರಿಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ.

$P(x_1, y_1, z_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2, z_2)$ ಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ಅಕ್ಷಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ $OX, OY$ ಮತ್ತು $OZ$ ಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ಬಿಂದುಗಳು $P$ ಮತ್ತು $Q$ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಇದರಿಂದ ಒಂದು ಕರ್ಣ PQ ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಫಲಕವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 11.4).

ಚಿತ್ರ 11.4

ಈಗ, $\angle PAQ$ ಒಂದು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ PAQ ನಲ್ಲಿ,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

ಅಲ್ಲದೆ, ತ್ರಿಕೋನ ANQ ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ $\angle ANQ$ ಒಂದು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

ಈಗ $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ ಮತ್ತು $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

ಇದು ನಮಗೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು $(x_1, y_1, z_1)$ ಮತ್ತು $(x_2, y_2, z_2)$ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ವಿಶೇಷವಾಗಿ, $x_1=y_1=z_1=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಬಿಂದು $P$ ಮೂಲ $O$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, ಇದು ಮೂಲ $O$ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು $Q(x_2, y_2, z_2)$ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಬಿಂದುಗಳು $P(1,-3,4)$ ಮತ್ತು $Q(-4,1,2)$ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಬಿಂದುಗಳು $P(1,-3,4)$ ಮತ್ತು $Q(-4,1,2)$ ನಡುವಿನ ದೂರ PQ

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ units } \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಬಿಂದುಗಳು $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ ಮತ್ತು $R(7,0,-1)$ ಗಳು ಸರಳರೇಖೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಅವು ಸರಳರೇಖೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಈಗ,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

ಮತ್ತು

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

ಹೀಗೆ, $PQ+QR=PR$. ಆದ್ದರಿಂದ, $P, Q$ ಮತ್ತು $R$ ಗಳು ಸರಳರೇಖೀಯವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 A $(3,6,9), B(10,20,30)$ ಮತ್ತು C $(25,-41,5)$ ಬಿಂದುಗಳು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳೇ?

ಪರಿಹಾರ ದೂರ ಸೂತ್ರದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

ನಾವು $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಬಿಂದುಗಳ ಗಣ $P$ ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಂದರೆ $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, ಇಲ್ಲಿ $A$ ಮತ್ತು $B$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳು $(3,4,5)$ ಮತ್ತು $(-1,3,-7)$ ಆಗಿವೆ.

ಪರಿಹಾರ ಬಿಂದು $P$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x, y, z)$ ಆಗಿರಲಿ.

ಇಲ್ಲಿ

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

ನೀಡಲಾದ ಶರತ್ತು $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ i.e., } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 7 A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) ಮತ್ತು $D(4,7,6)$ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ ನ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅದು ಆಯತವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ABCD ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವೆಂದು ತೋರಿಸಲು, ಅದರ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು. ಗಮನಿಸಿ.

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

$A B=C D$ ಮತ್ತು $B C=A D, A B C D$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ.

ಈಗ, $ABCD$ ಒಂದು ಆಯತವಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಕರ್ಣಗಳು $AC$ ಮತ್ತು $BD$ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

$A C \neq B D, A B C D$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಆಯತವಲ್ಲ.

ಗಮನಿಸಿ - ಕರ್ಣಗಳು $AC$ ಮತ್ತು $BD$ ಪರಸ್ಪರ ಸಮದ್ವಿಭಾಜಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $ABCD$ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವೆಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 8 ಬಿಂದುಗಳ ಗಣ $P$ ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಂದರೆ ಅದು ಬಿಂದುಗಳು $A(3,4,-5)$ ಮತ್ತು $B(-2,1,4)$ ಗಳಿಂದ ದೂರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರ $P(x, y, z)$ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು $PA=PB$ ಆಗಿರಲಿ.

ಈಗ $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

ಅಥವಾ $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

ಅಥವಾ $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$.

ಉದಾಹರಣೆ 9 ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ನ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು (ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ) ಬಿಂದು $(1,1,1)$ ನಲ್ಲಿದೆ. $A$ ಮತ್ತು $B$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $(3,-5,7)$ ಮತ್ತು $(-1,7,-6)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಿಂದು $C$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $C$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x, y, z)$ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು $G$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(1,1,1)$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$, ಅಥವಾ $x=1$ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { or } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { or } z=2 . \end{array} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $C$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(1,1,2)$ ಆಗಿವೆ.

ಸಾರಾಂಶ

ತ್ರಿಮಿತೀಯದಲ್ಲಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು $x$, $y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಷಗಳ ಜೋಡಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೂರು ಸಮತಲಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು XY, YZ ಮತ್ತು ZX-ಸಮತಲಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವನ್ನು ಎಂಟು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅಷ್ಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಮಿತೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ $(x, y, z)$ ರೂಪದ ತ್ರಿವಳಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ $x, y$ ಮತ್ತು $z$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ YZ, ZX ಮತ್ತು XY-ಸಮತಲಗಳಿಂದ ದೂರಗಳಾಗಿವೆ.

(i) $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು $(x, 0,0)$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ

(ii) $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು $(0, y, 0)$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ

(iii) $z$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು $(0,0, z)$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು $P(x_1, y_1, z_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2, z_2)$ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಟಿಪ್ಪಣಿ

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪಿತಾಮಹ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (1596-1650) ಮೂಲತಃ 1637 ರಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ್ದರು. ಅವರ ಸಹ-ಆವಿಷ್ಕಾರಕ ಪಿಯರೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ (1601-1665) ಮತ್ತು ಲಾ ಹಿರೆ