ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಕೀಲಿಯಾಗಿ ಹಿಡಿದುಕೊಂಡರೆ, ಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರಕೃತಿಯ ಕ್ರಮದ ವಿವರಣೆಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು - ವೈಟ್ಹೆಡ್

12.1 ಪರಿಚಯ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶದ ಬಿಂದುಗಳು ಬದಲಾದಂತೆ ಒಂದು ಫಲನದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ (ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೆ). ನಂತರ ನಾವು ಮಿತಿಯ ಸರಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿ ಮಿತಿಗಳ ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಲನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸರ್ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1642-1727 A.D.)

12.2 ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಕಲ್ಪನೆ

ಭೌತಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ದೃಢಪಡಿಸಿವೆ ಎಂದರೆ, ಎತ್ತರದ ಬಂಡೆಯಿಂದ ಬಿಟ್ಟ ದೇಹವು ಸರ್ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ $(1642-1727)$ $t$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ $4.9 t^{2}$ ಮೀಟರ್ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ದೇಹದಿಂದ ಕ್ರಮಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ದೂರ $s$ ಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯ $t$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ $s=4.9 t^{2}$ ನಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋಷ್ಟಕ 13.1 ಎತ್ತರದ ಬಂಡೆಯಿಂದ ಬಿಟ್ಟ ದೇಹದ ವಿವಿಧ ಸಮಯಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಮೀಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಈ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ $t=2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ $t=2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ವಿವಿಧ ಸಮಯಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಇವು $t=2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬೆಳಕನ್ನು ಚೆಲ್ಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು.

$t=t_1$ ಮತ್ತು $t=t_2$ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು $t=t_l$ ಮತ್ತು $t=t_2$, ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಡುವೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು $(t_2-t_1)$ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

ಅಂತೆಯೇ, $t=1$ ಮತ್ತು $t=2$ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

ಅದೇ ರೀತಿ ನಾವು ವಿವಿಧ $t_1$ ಗಳಿಗೆ $t=t_1$ ಮತ್ತು $t=2$ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕ 13.2 $(v), t=t_1$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು $t=2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ $(v), t=t_1$ ನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 12.1

ಕೋಷ್ಟಕ 12.2

ಕೋಷ್ಟಕ 12.2 ರಿಂದ, ಸರಾಸರಿ ವೇಗ ಕ್ರಮೇಣ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. $t=2$ ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಯಾಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಿದಂತೆ, $t=2$ ನಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತಮ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 1.99 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು 2 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ನಾಟಕೀಯ ಘಟನೆ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, $t=2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು $19.551 m / s$ ಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಗಣನೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಸ್ವಲ್ಪ ಬಲಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. $t=2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವಿವಿಧ ಸಮಯಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ವೇಗಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಮೊದಲಿನಂತೆ, $t=2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು $t=t_2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ $v$

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ 2 ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು } t_2 \text{ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಡುವೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರ }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ } t_2 \text{ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರ }- \text{ 2 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರ }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ } t_2 \text{ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರ }-19.6}{t_2-2} $

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕ 12.3 $t=2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು $t_2$ ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ $v$ ಅನ್ನು ಮೀಟರ್ಗಳ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 12.3

ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, $t=2$ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಚಿಕ್ಕ ಸಮಯಾಂತರಗಳನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, $t=2$ ನಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತಮ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಗಣನೆಗಳ ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮಾಡಿದ್ದು $t=2$ ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಮಯಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವೇಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ $t=2$ ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಯಾವುದೇ ನಾಟಕೀಯ ಘಟನೆ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು. ಗಣನೆಗಳ ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು $t=2$ ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಯಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವೇಗಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ $t=2$ ನ ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನಾಟಕೀಯ ಘಟನೆ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭೌತಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಈ ಸರಾಸರಿ ವೇಗಗಳ ಎರಡೂ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಬೇಕು. ದೇಹದ ವೇಗವು $t=2$ ನಲ್ಲಿ $19.551 m / s$ ಮತ್ತು $19.649 m / s$ ನಡುವೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ, $t=2$ ನಲ್ಲಿ ತತ್ಕ್ಷಣದ ವೇಗವು $19.551 m / s$ ಮತ್ತು $19.649 m / s$ ನಡುವೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವೇಗವು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಾಧಿಸಿದ್ದು ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ವಿವಿಧ ಕಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರದ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ದೂರದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ದೂರದ ಫಲನ $s=4.9 t^{2}$ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು $t=2$ ನಲ್ಲಿ 19.551 ಮತ್ತು 19.649 ನಡುವೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಮಿತಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೋಡುವ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಚಿತ್ರ 12.1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಬಂಡೆಯ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ದೇಹದ ದೂರ $s$ ಮತ್ತು ಕಳೆದ ಸಮಯ $t$ ನ ಪ್ಲಾಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಸಮಯಾಂತರಗಳು $h_1, h_2, \ldots$, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ವೇಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನುಪಾತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರ 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

ಇಲ್ಲಿ $C_1 B_1=s_1-s_0$ ಸಮಯಾಂತರ $h_1=AC_1$, ಇತ್ಯಾದಿ ನಲ್ಲಿ ದೇಹದಿಂದ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 12.1 ರಿಂದ, ಈ ನಂತರದ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಿಂದು $A$ ನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ದೇಹದ ತತ್ಕ್ಷಣದ ವೇಗ $v(t)$ ಸಮಯ $t=2$ ನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆ $s=4.9 t^{2}$ ನ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ $t=2$ ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

12.3 ಮಿತಿಗಳು

ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯು ನಾವು ಮಿತಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಪರಿಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಕೆಲವು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಫಲನ $f(x)=x^{2}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $x$ 0 ಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ (ಅಧ್ಯಾಯ 2 ರ ಚಿತ್ರ 2.10 ನೋಡಿ). ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

($f(x)$ ನ ಮಿತಿಯು $x$ ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಓದಬೇಕು). $f(x)$ ನ ಮಿತಿಯು $x$ ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ $f(x)$ $x=0$ ನಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಬೇಕಾದ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $x \to a, f(x) \to l$, ಆಗ $l$ ಫಲನ $f(x)$ ನ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಕೇತಾತ್ಮಕವಾಗಿ $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಫಲನ $g(x)=|x|, x \neq 0$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $g(0)$ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. $x$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ $g(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, 0 ಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, $g(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$. ಇದು $x \neq 0$ ಗಾಗಿ $y=|x|$ ನ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಅಧ್ಯಾಯ 2 ರ ಚಿತ್ರ 2.13 ನೋಡಿ).

ಕೆಳಗಿನ ಫಲನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$x$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ $h(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, 2 ಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ (ಆದರೆ 2 ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ). ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು 4 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಫಲನ $y=h(x)$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಬಲಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಚಿತ್ರ 12.2).

ಚಿತ್ರ 12.2

ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿವರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು $x=a$ ನಲ್ಲಿ ಫಲನವು ಊಹಿಸಬೇಕಾದ ಮೌಲ್ಯವು $x$ ಹೇಗೆ $a$ ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. $x$ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ $a$ ಅನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಅಥವಾ ಬಲದಿಂದ ಸಮೀಪಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ, $a$ ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ $x$ ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು $a$ ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬಹುದು ಅಥವಾ $a$ ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಹುದು. ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ - ಬಲಗೈ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಎಡಗೈ ಮಿತಿ. ಫಲನ $f(x)$ ನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದು $x$ $a$ ಕ್ಕೆ ಬಲದಿಂದ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಡಗೈ ಮಿತಿ. ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಫಲನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

ಈ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 12.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. $f$ ನ ಮೌಲ್ಯವು 0 ನಲ್ಲಿ $x \leq 0$ ನೊಂದಿಗೆ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $f(x)$ ನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯು 0 ನಲ್ಲಿ $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

ಅಂತೆಯೇ, $f$ ನ ಮೌಲ್ಯವು 0 ನಲ್ಲಿ $x>0$ ನೊಂದಿಗೆ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $f(x)$ ನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು 0 ನಲ್ಲಿ

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಗೈ ಮಿತಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f(x)$ ನ ಮಿತಿಯು $x$ ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ (ಫಲನವನ್ನು 0 ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ).

ಸಾರಾಂಶ

$\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ $x=a$ ನಲ್ಲಿ $f$ ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, $a$ ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ $x$ ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ $f$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $f$ ನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿ ಎಂದು $a$ ನಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ $x=a$ ನಲ್ಲಿ $f$ ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, $a$ ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ $x$ ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ $f$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $f(x)$ ನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿ ಎಂದು $a$ ನಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಗೈ ಮಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $f(x)$ ನ ಮಿತಿ ಎಂದು $x=a$ ನಲ್ಲಿ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿವರಣೆ 1 ಫಲನ $f(x)=x+10$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಈ ಫಲನದ ಮಿತಿಯನ್ನು $x=5$ ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. 5 ಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ $x$ ಗಾಗಿ ಫಲನ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. 5 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಫಲನದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಕೋಷ್ಟಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ 5.001,

5.01, 5.1 ಗಳು 5 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಫಲನದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ 12.4 ರಲ್ಲಿ ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 12.4

ಕೋಷ್ಟಕ 12.4 ರಿಂದ, $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು $x=5$ ನಲ್ಲಿ 14.995 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು 15.001 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, $x=4.995$ ಮತ್ತು 5.001 ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ನಾಟಕೀಯ ಘಟನೆ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. 5 ರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಂತೆ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು $x=5$ ನಲ್ಲಿ 15 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=15 . $$

ಅಂತೆಯೇ, $x$ ಬಲದಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ, $f(x)$ ಮೌಲ್ಯ 15 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=15 \text{. } $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $f(x)$ ನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿ ಮತ್ತು $f(x)$ ನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿ ಎರಡೂ 15 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5} f(x)=15 . $$

ಮಿತಿಯು 15 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಈ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಸ್ವಲ್ಪ ಬಲಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅದು ಅಧ್ಯಾಯ 2 ರ ಚಿತ್ರ 2.16 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, $x$ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡದಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ, ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ $f(x)=x+10$ ಬಿಂದು $(5,15)$ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

$x=5$ ನಲ್ಲಿ ಫಲನದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಹ 15 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿವರಣೆ 2 ಫಲನ $f(x)=x^{3}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಫಲನದ ಮಿತಿಯನ್ನು $x=1$ ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ನಾವು $x$ ನಲ್ಲಿ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ 12.5 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 12.5

ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ, $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು $x=1$ ನಲ್ಲಿ 0.997002999 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು 1.003003001 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಯಾವುದೇ ನಾಟಕೀಯ ಘಟನೆ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ $x=0.999$ ಮತ್ತು 1.001 ನಡುವೆ. 1 ರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಂತೆ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು $x=1$ ನಲ್ಲಿ 1 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=1 \text{. } $$

ಅಂತೆಯೇ, $x$ ಬಲದಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ, $f(x)$ ಮೌಲ್ಯ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1 \text{. } $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $f(x)$ ನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿ ಮತ್ತು $f(x)$ ನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿ ಎರಡೂ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=1 . $$

ಮಿತಿಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಈ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಸ್ವಲ್ಪ ಬಲಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅದು ಅಧ್ಯಾಯ 2 ರ ಚಿತ್ರ 2.11 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, $x$ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡದಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ, ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ $f(x)=x^{3}$ ಬಿಂದು $(1,1)$ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

$x=1$ ನಲ್ಲಿ ಫಲನದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಹ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮತ್ತೆ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿವರಣೆ 3 ಫಲನ $f(x)=3 x$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಫಲನದ ಮಿತಿಯನ್ನು $x=2$ ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕ 12.6 ಈಗ ಸ್ವಯಂ ವಿವರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 12.6

ಮೊದಲಿನಂತೆ, $x$ ಎ