ಗಣಿತೀಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕತ್ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಕೈಯಲ್ಲಿ ದೀಪ ಇರುವಾಗಲೂ ಸುತ್ತಾಡುವಷ್ಟೇ ಮೂರ್ಖತನದ ಕೆಲಸ. - ಜಾನ್ ಆರ್ಬುತ್ನಾಟ್

14.1 ಘಟನೆ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶದ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೂ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವು $S=\{HH, HT, TH, TT\}$ ಆಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಾರಿ ಹೆಡ್ ಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. $HT$ ಮತ್ತು $TH$ ಗಳು ಮಾತ್ರ $S$ ನಲ್ಲಿರುವ ಈ ಘಟನೆ (ಈವೆಂಟ್) ಸಂಭವಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು $E=\{HT, TH\}$ ಗಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ.

$E$ ಗಣವು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶ $S$ ನ ಉಪಗಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, S ನ ಉಪಗಣಗಳು ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳ ನಡುವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶದ ಉಪಗಣವೊಂದು ಒಂದು ಘಟನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶದ ಉಪಗಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಘಟನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶ $S$ ನ ಯಾವುದೇ ಉಪಗಣ $E$ ಅನ್ನು ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

14.1.1 ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವ

ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. “4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ” ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು $E$ ಸೂಚಿಸಲಿ. ದಾಳದ ಮೇಲೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ‘1’ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಆಗ ಘಟನೆ $E$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 2 ಅಥವಾ 3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಘಟನೆ $E$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶ $\omega$ ಅಂತಹದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ $\omega \in E$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶ $S$ ನ ಘಟನೆ $E$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶ $\omega$ ಅಂತಹದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ $\omega \notin E$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಘಟನೆ $E$ ಸಂಭವಿಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

14.1.2 ಘಟನೆಗಳ ವಿಧಗಳು

ಘಟನೆಗಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು.

1. ಅಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಖಚಿತ ಘಟನೆಗಳು ಖಾಲಿ ಗಣ $\phi$ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶ $S$ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ $\phi$ ಅನ್ನು ಅಸಾಧ್ಯ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು S, ಅಂದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವನ್ನು ಖಚಿತ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಉರುಳಿಸುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವು $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

“ದಾಳದ ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರ ಗುಣಕ” ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು $E$ ಆಗಿರಲಿ. ಘಟನೆ $E$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಪಗಣವನ್ನು ನೀವು ಬರೆಯಬಹುದೇ?

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಘಟನೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಷರತ್ತನ್ನು ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶ ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಘಟನೆ $E$ ನ ಸಂಭವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಖಾಲಿ ಗಣವು ಮಾತ್ರ ಘಟನೆ $E$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ದಾಳದ ಮೇಲ್ಮುಖದಲ್ಲಿ 7 ರ ಗುಣಕವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಘಟನೆ $E=\phi$ ಒಂದು ಅಸಾಧ್ಯ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಘಟನೆ $F$ “ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೆಸ ಅಥವಾ ಸಮ” ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಯೋಗದ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಘಟನೆ $F$ ನ ಸಂಭವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಘಟನೆ $F=S$ ಒಂದು ಖಚಿತ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ.

2. ಸರಳ ಘಟನೆ ಒಂದು ಘಟನೆ $E$ ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರತಿದರ್ಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳ (ಅಥವಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. $n$ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶದಲ್ಲಿ, ನಿಖರವಾಗಿ $n$ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡುವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವು

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

ಈ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಸರಳ ಘಟನೆಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

3. ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆ ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರತಿದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, “ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಟಾಸ್ ಮಾಡುವ” ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳು

E: ‘ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹೆಡ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು’

F: ‘ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೆಡ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು’

G: ‘ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹೆಡ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು’ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಎಲ್ಲವೂ ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ $S$ ನ ಉಪಗಣಗಳು

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗಣಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರತಿದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ.

14.1.3 ಘಟನೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ

ಸೆಟ್ಗಳ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಗಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಯೂನಿಯನ್, ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಗಣದ ಪೂರಕ ಇತ್ಯಾದಿ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಅನುರೂಪವಾದ ಸೆಟ್ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

A, B, C ಗಳು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶ S ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಘಟನೆಗಳಾಗಿರಲಿ.

1. ಪೂರಕ ಘಟನೆ ಪ್ರತಿ ಘಟನೆ A ಗೆ, $A^{\prime}$ ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಘಟನೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು A ಗೆ ಪೂರಕ ಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ‘$A$ ಅಲ್ಲ’ ಎಂಬ ಘಟನೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ‘ಮೂರು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಟಾಸ್ ಮಾಡುವ’ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವು $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

‘ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಾಲ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು $A=\{HTH, HHT, THH\}$ ಆಗಿರಲಿ. HTT ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ, ಘಟನೆ A ಸಂಭವಿಸಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಆದರೆ ‘A ಅಲ್ಲ’ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, A ಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಪ್ರತಿ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೂ, ‘A ಅಲ್ಲ’ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ ಘಟನೆ A ಗೆ ಪೂರಕ ಘಟನೆ ‘A ಅಲ್ಲ’ ಎಂಬುದು

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

ಅಥವಾ $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ and } \omega \notin A\}=S-A . $

2. ‘A ಅಥವಾ B’ ಘಟನೆ A ಮತ್ತು B ಎಂಬ ಎರಡು ಗಣಗಳ ಯೂನಿಯನ್ A $\cup$ B ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು A ಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ B ಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

$A$ ಮತ್ತು $B$ ಗಣಗಳು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, ‘A $\cup B$ ’ ಎಂಬುದು ‘ಎರಡರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ $A$ ಅಥವಾ $B$ ಅಥವಾ ಎರಡೂ’ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ‘A $\cup B$ ’ ಘಟನೆಯನ್ನು ‘A ಅಥವಾ B’ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

$ \begin{aligned} \text{ ಘಟನೆ }^{\prime} A \text{ ಅಥವಾ } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ or } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. ‘A ಮತ್ತು B’ ಘಟನೆ ಎರಡು ಗಣಗಳ $A \cap B$ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಎಂಬುದು A ಮತ್ತು B ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅಂಶಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಅವು ‘A ಮತ್ತು B’ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ.

$A$ ಮತ್ತು $B$ ಗಳು ಎರಡು ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, $A \cap B$ ಗಣವು ‘$A$ ಮತ್ತು $B$’ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ‘ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಸೆಯುವ’ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ‘ಮೊದಲ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೋರ್ ಆರು’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು $A$ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು B ಯು ‘ಎರಡು ಸ್ಕೋರ್ಗಳ ಮೊತ್ತ ಕನಿಷ್ಠ 11’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. ಆಗ

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ and } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

$A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ ಗಣವು ‘ಮೊದಲ ಎಸೆತದ ಸ್ಕೋರ್ ಆರು ಮತ್ತು ಸ್ಕೋರ್ಗಳ ಮೊತ್ತ ಕನಿಷ್ಠ 11’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

4. ‘A ಆದರೆ B ಅಲ್ಲ’ ಘಟನೆ A-B ಎಂಬುದು A ಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಆದರೆ B ಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, A-B ಗಣವು ‘A ಆದರೆ B ಅಲ್ಲ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $ A-B=A \cap B^{\prime} $

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಉರುಳಿಸುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. A ಯು ‘ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ, B ಯು ‘ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. (i) A ಅಥವಾ B (ii) A ಮತ್ತು B (iii) A ಆದರೆ B ಅಲ್ಲ (iv) ‘A ಅಲ್ಲ’ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ ಮತ್ತು $B=\{1,3,5\}$

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ

(i) ‘A ಅಥವಾ $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ‘$A$ ಮತ್ತು $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$

(iii) ‘A ಆದರೆ $B$ ಅಲ್ಲ’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ‘$A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$ ಅಲ್ಲ

14.1.4 ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳು

ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಉರುಳಿಸುವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವು $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ಆಗಿದೆ. ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, $A$ ‘ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’ ಮತ್ತು $B$ ‘ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಘಟನೆ A ಯು ಘಟನೆ B ಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಘಟನೆಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವುದನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶವಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ

$A=\{1,3,5\}$ ಮತ್ತು $B=\{2,4,6\}$

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ $A \cap B=\phi$, ಅಂದರೆ, $A$ ಮತ್ತು $B$ ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಗಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದರ ಸಂಭವವು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಗಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತೆ ದಾಳ ಉರುಳಿಸುವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಘಟನೆ A ‘ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’ ಮತ್ತು ಘಟನೆ $B$ ‘4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ $A=\{1,3,5\}$ ಮತ್ತು $B=\{1,2,3\}$

ಈಗ $3 \in A$ ಮತ್ತು $3 \in B$

ಆದ್ದರಿಂದ, A ಮತ್ತು B ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶದ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

14.1.5 ಸಮಗ್ರ ಘಟನೆಗಳು

ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಮಗೆ $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ಇದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ

A: ‘4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’,

B: ‘2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆದರೆ 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’

ಮತ್ತು C: ‘4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’.

ಆಗ $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ ಮತ್ತು $C=\{5,6\}$. ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

$A, B$ ಮತ್ತು $C$ ನಂತಹ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸಮಗ್ರ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ಗಳು ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶ $S$ ನ $n$ ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

ಆಗ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ಗಳನ್ನು ಸಮಗ್ರ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸಿದಾಗ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಘಟನೆಗಳು $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ಗಳನ್ನು ಸಮಗ್ರ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, $E_i \cap E_j=\phi$ ಆಗಿದ್ದರೆ $i \neq j$ ಗಾಗಿ, ಅಂದರೆ, ಘಟನೆಗಳು $E_i$ ಮತ್ತು $E_j$ ಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಘಟನೆಗಳು $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಾಳಗಳ ಮೇಲೆ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

A: ‘ಮೊತ್ತ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ’.

B: ‘ಮೊತ್ತ 3 ರ ಗುಣಕ’.

C: ‘ಮೊತ್ತ 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ’.

$D$: ‘ಮೊತ್ತ 11 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು’.

ಈ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಜೋಡಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯವಾಗಿವೆ?

ಪರಿಹಾರ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶ $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$ ನಲ್ಲಿ 36 ಅಂಶಗಳಿವೆ.

ನಂತರ $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ and } D=\{(6,6)\} $

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)\} \neq \phi $

ಆದ್ದರಿಂದ, $A$ ಮತ್ತು $B$ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲ.

ಅದೇ ರೀತಿ $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ ಮತ್ತು $B \cap D \neq \phi$.

ಹೀಗಾಗಿ, ಘಟನೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳಾದ $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲ.

ಅಲ್ಲದೆ $C \cap D=\phi$ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $C$ ಮತ್ತು $D$ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 $A$ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಟಾಸ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

$\mathrm{A}$: ‘ಯಾವುದೇ ಹೆಡ್ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ’, $\mathrm{B}$: ‘ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಹೆಡ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’ ಮತ್ತು $\mathrm{C}$: ‘ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಹೆಡ್ಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ’.

ಅವು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಗಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವು

$S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

ಮತ್ತು $A=\{TTT\}, B=\{HTT, THT, TTH\}, C=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

ಈಗ $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\}=\mathrm{S}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $A, B$ ಮತ್ತು $C$ ಗಳು ಸಮಗ್ರ ಘಟನೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ ಮತ್ತು $B \cap C=\phi$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಘಟನೆಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, A, B ಮತ್ತು C ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರ ಘಟನೆಗಳ ಗಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ.

14.2 ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನ

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವ ಅಥವಾ ಅಸಂಭವದ ಅವಕಾಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಅನೇಕ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಘಟನೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ.

ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲು ಕೆಲವು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂಶಗಳು ಅಥವಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

$S$ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರತಿದರ್ಶಾವಕಾಶವಾಗಿರಲಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆ $P$ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಮೌಲ್ಯದ ಫಲನವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಡೊಮೇನ್ $S$ ನ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೇಂಜ್ ಮಧ್ಯಂತರ $[0,1]$ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂಶಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

$\begin{matrix} \text{ (i) For any event } E, P(E) \geq 0 & \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) $E$ ಮತ್ತು $F$ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವರ್ಜ್ಯ ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$.

ಇದು (iii) ನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ $P(\phi)=0$. ಇದ