ಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ಭೌತಿಕ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. - ಬರ್ತೆಲೋಟ್

2.1 ಪರಿಚಯ

ಗಣಿತದ ಬಹುಭಾಗವು ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗ್ಗೆ - ಬದಲಾಗುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಬಂಧ. ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನೇಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವು ಸಹೋದರ ಮತ್ತು ಸಹೋದರಿ, ತಂದೆ ಮತ್ತು ಮಗ, ಶಿಕ್ಷಕ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮುಂತಾದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿಯೂ, ನಾವು ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ $m$ ಸಂಖ್ಯೆ $n$ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ರೇಖೆ $l$ ರೇಖೆ $m$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ, ಗಣ $A$ ಗಣ $B$ ನ ಉಪಗಣ. ಇವೆಲ್ಲದರಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಗಣಗಳಿಂದ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ವಿಶೇಷ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅವು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಲು ಅರ್ಹವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಜಿ.ಡಬ್ಲ್ಯೂ.ಲೈಬ್ನಿಟ್ಜ್ (1646-1716 A.D.)

ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದರ ನಡುವಿನ ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ.

2.2 ಗಣಗಳ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧ

A ಎಂಬುದು 2 ಬಣ್ಣಗಳ ಗಣ ಮತ್ತು B ಎಂಬುದು 3 ವಸ್ತುಗಳ ಗಣ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

ಇಲ್ಲಿ $b, c$ ಮತ್ತು $s$ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚೀಲ, ಕೋಟು ಮತ್ತು ಅಂಗಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಈ ಎರಡು ಗಣಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಬಣ್ಣದ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು?

ಬಹಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾ, ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವಂತೆ 6 ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು:

(ಕೆಂಪು, $b$ ), (ಕೆಂಪು, $c$ ), (ಕೆಂಪು, $s$ ), (ನೀಲಿ, $b$ ), (ನೀಲಿ, $c$ ), (ನೀಲಿ, $s$ ).

ಹೀಗಾಗಿ, ನಮಗೆ 6 ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 2.1).

ಚಿತ್ರ 2.1

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಗಣಗಳಾದ $P$ ಮತ್ತು $Q$ ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಯು ಸಣ್ಣ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಂಪುಗೂಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $(p, q), p \in P$ ಮತ್ತು $q \in Q$ ಎಂದು ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಿಂದ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದು ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಎರಡು ಶೂನ್ಯೇತರ ಗಣಗಳಾದ $P$ ಮತ್ತು $Q$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧ $P \times Q$ ಎಂಬುದು $P$ ಮತ್ತು $Q$ ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

$P$ ಅಥವಾ $Q$ ಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ, $P \times Q$ ಸಹ ಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $P \times Q=\phi$

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವಿವರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ಗಮನಿಸುವುದು

$A \times B=\{(red, b),($ ಕೆಂಪು,$c),($ ಕೆಂಪು,$s),($ ನೀಲಿ,$b),($ ನೀಲಿ,$c),($ ನೀಲಿ,$s)\}$.

ಮತ್ತೆ, ಎರಡು ಗಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

$A=\{DL, MP, KA\}$, ಇಲ್ಲಿ DL, MP, KA ಕ್ರಮವಾಗಿ ದೆಹಲಿ, ಮಧ್ಯಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಕರ್ನಾಟಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು B $=\{01,02, 03 \}$ DL, MP ಮತ್ತು KA ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ವಾಹನಗಳ ಪರವಾನಗಿ ಪ್ಲೇಟ್ಗಳ ಕೋಡ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ದೆಹಲಿ, ಮಧ್ಯಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಕರ್ನಾಟಕದ ಮೂರು ರಾಜ್ಯಗಳು ವಾಹನಗಳ ಪರವಾನಗಿ ಪ್ಲೇಟ್ಗಳಿಗೆ ಕೋಡ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಕೋಡ್ ಗಣ $A$ ನಿಂದ ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕು ಎಂಬ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ, ಈ ಗಣಗಳಿಂದ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಜೋಡಿಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಎಷ್ಟು ಜೋಡಿಗಳು ಇರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 2.2)?

ಚಿತ್ರ 2.2

ಲಭ್ಯವಿರುವ ಜೋಡಿಗಳು: $(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ ಮತ್ತು ಗಣ $A$ ಮತ್ತು ಗಣ $B$ ನ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಗಣ A ಮತ್ತು B ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ 3 ಅಂಶಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ 9 ಅಂತಹ ಜೋಡಿಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಇದು ನಮಗೆ 9 ಸಂಭಾವ್ಯ ಕೋಡ್ಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೋಡ್ (DL, 01 ) ಕೋಡ್ $(01, DL)$ ನಂತೆಯೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಂತಿಮ ವಿವರಣೆಯಾಗಿ, ಎರಡು ಗಣಗಳಾದ $A=\{a_1, a_2\}$ ಮತ್ತು $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 2.3).

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

ಹೀಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡ 8 ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, A ಮತ್ತು B ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದ ಉಪಗಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನ $(a_1, b_2)$ ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಾನ $(b_2, a_1)$ ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.3

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

(i) ಎರಡು ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಂಶಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ.

(ii) $p$ ನಲ್ಲಿ $A$ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು $q$ ನಲ್ಲಿ $B$ ಅಂಶಗಳು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ $p q$ ನಲ್ಲಿ $A \times B$ ಅಂಶಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, $n(A)=p$ ಮತ್ತು $n(B)=q$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $n(A \times B)=p q$.

(iii) $A$ ಮತ್ತು $B$ ಶೂನ್ಯೇತರ ಗಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $A$ ಅಥವಾ $B$ ಅನಂತ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $A \times B$ ಸಹ ಅನಂತ ಗಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$. ಇಲ್ಲಿ $(a, b, c)$ ಅನ್ನು ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ತ್ರಿವಳಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 $(x+1, y-2)=(3,1)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $x$ ಮತ್ತು $y$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ

$ x+1=3 \text { ಮತ್ತು } y-2=1 \text {. } $

ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ ನಾವು $\quad x=2$ ಮತ್ತು $y=3$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 $P=\{a, b, c\}$ ಮತ್ತು $Q=\{r\}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗಣಗಳಾದ $P \times Q$ ಮತ್ತು $Q \times P$ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

ಈ ಎರಡು ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಜೋಡಿ $(a, r)$ ಜೋಡಿ $(r, a)$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $P \times Q \neq Q \times P$ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಗಣದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ ಮತ್ತು $C=\{4,5,6\}$ ಆಗಿರಲಿ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

ಪರಿಹಾರ (i) ಎರಡು ಗಣಗಳ ಛೇದನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, $(B \cap C)=\{4\}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(ii) ಈಗ $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ ಮತ್ತು $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(iii) $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ,

ನಾವು $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

(iv) ಭಾಗ (ii) ನಿಂದ $A \times B$ ಮತ್ತು $A \times C$ ಗಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 $P=\{1,2\}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗಣ $P \times P \times P$ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $ ಇದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 $\mathbf{R}$ ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳಾದ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ಮತ್ತು $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ಏನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ಗಣ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ದ್ವಿಮಾಪಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ಗಣ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ತ್ರಿಮಾಪಕ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $A$ ಮತ್ತು $B$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 ಸಂಬಂಧಗಳು

ಎರಡು ಗಣಗಳಾದ $P=\{a, b, c\}$ ಮತ್ತು $Q=\{$ ಅಲಿ, ಭಾನು, ಬಿನೋಯ್, ಚಂದ್ರ, ದಿವ್ಯ $\}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$P$ ಮತ್ತು $Q$ ನ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧವು 15 ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, ಭಾನು), (a, ಬಿನೋಯ್), …, (c, ದಿವ್ಯ) $\}$ ಎಂದು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 2.4

ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಯ $(x, y)$ ನ ಮೊದಲ ಅಂಶ $x$ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಂಶ $y$ ನಡುವೆ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈಗ $P \times Q$ ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು

$R=\{(x, y): x$ ಹೆಸರಿನ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ $y, x \in P, y \in Q\}$.

ನಂತರ $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, ಚಂದ್ರ $)\}$

ಈ ಸಂಬಂಧದ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು $R$ (ಬಾಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಚಿತ್ರ 2.4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಶೂನ್ಯೇತರ ಗಣ $A$ ನಿಂದ ಶೂನ್ಯೇತರ ಗಣ $B$ ಗೆ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ $R$ ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧ $A \times B$ ನ ಉಪಗಣವಾಗಿದೆ. ಉಪಗಣವನ್ನು $A \times B$ ನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳ ಮೊದಲ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಂಶದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ಗಣ A ನಿಂದ ಗಣ $B$ ಗೆ ಸಂಬಂಧ $R$ ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳ ಗಣವನ್ನು ಸಂಬಂಧ $R$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4 ಗಣ $A$ ನಿಂದ ಗಣ $B$ ಗೆ ಸಂಬಂಧ $R$ ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಎರಡನೇ ಅಂಶಗಳ ಗಣವನ್ನು ಸಂಬಂಧ $R$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಣ $B$ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧ $R$ ನ ಸಹವ್ಯಾಪ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿ $\subset$ ಸಹವ್ಯಾಪ್ತಿ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು (i) ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ರೋಸ್ಟರ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಥವಾ ಗಣ-ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

(ii) ಬಾಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಂಬಂಧದ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ ಆಗಿರಲಿ. $A$ ನಿಂದ $A$ ಗೆ ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) ಬಾಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿ.

(ii) $R$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ಸಹವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ (i) ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$.

ಅನುಗುಣವಾದ ಬಾಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.5 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.5

(ii) ವ್ಯಾಪ್ತಿ $=\{1,2,3,4,5\}$ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು

ಅಂತೆಯೇ, ವ್ಯಾಪ್ತಿ $=\{2,3,4,5,6\}$ ಮತ್ತು ಸಹವ್ಯಾಪ್ತಿ $=\{1,2,3,4,5,6\}$.

ಉದಾಹರಣೆ 8 ಚಿತ್ರ 2.6 ಗಣಗಳಾದ $P$ ಮತ್ತು $Q$ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು (i) ಗಣ-ನಿರ್ಮಾಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ, (ii) ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಇದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಯಾವುವು?

ಚಿತ್ರ 2.6

ಪರಿಹಾರ ಸಂಬಂಧ $R$ “$x$ ಯ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ $y$” ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

(i) ಗಣ-ನಿರ್ಮಾಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ, $R=\{(x, y): x$ ಯ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$

(ii) ರೋಸ್ಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

ಈ ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\{4,9,25\}$ ಆಗಿದೆ.

ಈ ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$ ಆಗಿದೆ.

ಗಣ $P$ ನಲ್ಲಿ 1 ಅಂಶವು ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಗಣ $Q$ ಈ ಸಂಬಂಧದ ಸಹವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ - ಗಣ $A$ ನಿಂದ ಗಣ $B$ ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಒಟ್ಟು ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು $A \times B$ ನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಉಪಗಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. $n(A)=p$ ಮತ್ತು $n(B)=q$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $n(A \times B)=p q$ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು $2^{p q}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 $A=\{1,2\}$ ಮತ್ತು $B=\{3,4\}$ ಆಗಿರಲಿ. A ನಿಂದ B ಗೆ ಇರುವ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

$n(A \times B)=4$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, $A \times B$ ನ ಉಪಗಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು $2^{4}$ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $A$ ನಿಂದ $B$ ಗೆ ಇರುವ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು $2^{4}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ $A$ ನಿಂದ $A$ ಗೆ ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು $A$ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಸಹ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

2.4 ಕಾರ್ಯಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ನೀಡಲಾದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೊಸ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ನಿಯಮವಾಗಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ‘ನಕ್ಷೆ’ ಅಥವಾ ‘ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್’ ನಂತಹ ಅನೇಕ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5 ಗಣ $A$ ನಿಂದ ಗಣ $B$ ಗೆ ಸಂಬಂಧ $f$ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗಣ $A$ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಗಣ $B$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಯ $f$ ಶೂನ್ಯೇತರ ಗಣ $A$ ನಿಂದ ಶೂನ್ಯೇತರ ಗಣ $B$ ಗೆ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $f$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $A$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $f$ ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳು ಒಂದೇ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

$f$ A ನಿಂದ B ಗೆ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $(a, b) \in f$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $f(a)=b$, ಇಲ್ಲಿ $b$ ಅನ್ನು $a$ ನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ $f$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು $a$ ಅನ್ನು $b$ ನ ಪೂರ್ವಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ $f$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ.

$A$ ನಿಂದ $B$ ಗೆ ಕಾರ್ಯ $f$ ಅನ್ನು $f: A \rightarrow B$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ಉದಾಹರಣೆ 7 ನಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ 6 ಅಂಶಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತೆ, ಉದಾಹರಣೆ 8 ನಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಉದಾಹರಣೆ 9 ನಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸಹ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ. (ಏಕೆ?) ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇತರವು ಅಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 10 $\mathbf{N}$ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು $N$ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $R=\{(x, y): y=2 x, x, y \in \mathbf{N}\}$.

$R$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ಸಹವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಯಾವುವು? ಈ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರ್ಯವೇ?

ಪರಿಹಾರ $R$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ $\mathbf{N}$ ಆಗಿದೆ. ಸಹವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸಹ $\mathbf{N}$ ಆಗಿದೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸಮ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $n$ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 11 ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾ ಅದು ಕಾರ್ಯವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ಹೇಳಿ?

(i) $R=\{(2,1),(3,1),(4,2)\}$,

(ii) $R=\{(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)\}$

(iii) $R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)\}$

ಪರಿಹಾರ (i) 2, 3, 4 ಗಳು R ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳು ತಮ್ಮ ಅನನ್ಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಈ ಸಂಬಂಧ $R$ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

(ii) ಒಂದೇ ಮೊದಲ ಅಂಶ 2 ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾದ 2 ಮತ್ತು 4 ಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ.

(iii) ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6 $R$ ಅಥವಾ ಅದರ ಉಪಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಾಸ್ತವ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು, ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸಹ $R$ ಅಥವಾ $R$ ನ ಉಪಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 12 $\mathbf{N}$ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ವಾಸ್ತವ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ

$f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ $f(x)=2 x+1$ ನಿಂದ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

2.4.1 ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು