ಗಣಿತಜ್ಞನೊಬ್ಬ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಗೆಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿರುತ್ತಾನೆ, ಅವನು ಅದನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲಾರ. - ಮಿಲ್ನೆ

3.1 ಪರಿಚಯ

‘ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ’ ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕ್ ಪದಗಳಾದ ‘ಟ್ರೈಗೋನ್’ ಮತ್ತು ‘ಮೆಟ್ರಾನ್’ ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ‘ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು’. ಮೂಲತಃ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಲು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ನ್ಯಾವಿಗೇಷನ್ಗಾಗಿ ಸಮುದ್ರದ ಕ್ಯಾಪ್ಟನ್ಗಳು, ಹೊಸ ಭೂಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲು ಸರ್ವೇಯರ್, ಎಂಜಿನಿಯರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿತ್ತು. ಪ್ರಸ್ತುತ, ಸಿಸ್ಮಾಲಜಿ ವಿಜ್ಞಾನ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವುದು, ಪರಮಾಣುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು, ಸಮುದ್ರದಲ್ಲಿ ಭರತಿ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವುದು, ಸಂಗೀತದ ಸ್ವರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಯಭಟ (476-550 B.C.)

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಲಘು ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ದೂರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

3.2 ಕೋನಗಳು

ಚಿತ್ರ 3.1

ಕೋನವು ನೀಡಲಾದ ಕಿರಣವು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಕಿರಣವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಬಾಹು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಕಿರಣದ ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕೋನದ ಅಂತಿಮ ಬಾಹು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದಿಕ್ಕು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನವು* ಋಣಾತ್ಮಕ* (ಚಿತ್ರ 3.1).

ಕೋನದ ಅಳತೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಬಾಹುವಿನಿಂದ ಅಂತಿಮ ಬಾಹುವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಡೆಸಿದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಹಲವಾರು ಏಕಮಾನಗಳಿವೆ. ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಚಿತ್ರ 3.2

ಚಿತ್ರ 3.2 ಒಂದು ಏಕಮಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಚಿತ್ರ 3.2 ರಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಆರಂಭಿಕ ಬಾಹುವಿನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಭ್ರಮಣೆ.

ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಗವಾಗಿ ತಿರುಗುವ ಚಕ್ರವು ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 15 ಪರಿಭ್ರಮಣಗಳ ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ನಾವು ಕೋನದ ಅಳತೆಯ ಇನ್ನೆರಡು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಏಕಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆ.

3.2.1 ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ

ಆರಂಭಿಕ ಬಾಹುವಿನಿಂದ ಅಂತಿಮ ಬಾಹುವಿಗೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ ಪರಿಭ್ರಮಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನವು ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು $1^{\circ}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿಯನ್ನು 60 ನಿಮಿಷಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿಮಿಷವನ್ನು 60 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿಯ ಅರವತ್ತನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ನಿಮಿಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು $1^{\prime}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ಅರವತ್ತನೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಸೆಕೆಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು $1^{\prime \prime}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

$360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಕೋನಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 3.3

3.2.2 ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆ

ಕೋನದ ಅಳತೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಏಕಮಾನವಿದೆ, ಅದನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕಮಾನ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ (1 ಏಕಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತ) 1 ಏಕಮಾನ ಉದ್ದದ ಚಾಪದಿಂದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನವು 1 ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 3.4(i) ರಿಂದ (iv) ರಲ್ಲಿ, $OA$ ಆರಂಭಿಕ ಬಾಹು ಮತ್ತು $OB$ ಅಂತಿಮ ಬಾಹು. ಚಿತ್ರಗಳು 1 ರೇಡಿಯನ್, -1 ರೇಡಿಯನ್, $1 \frac{1}{2}$ ರೇಡಿಯನ್ ಮತ್ತು $-1 \frac{1}{2}$ ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ 3.4 (i) - (iv)

1 ಏಕಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯು $2 \pi$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆರಂಭಿಕ ಬಾಹುವಿನ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಭ್ರಮಣವು $2 \pi$ ರೇಡಿಯನ್ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $r$ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, $r$ ಉದ್ದದ ಚಾಪವು 1 ರೇಡಿಯನ್ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ಸಮಾನ ಚಾಪಗಳು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸುಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. $r$ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, $r$ ಉದ್ದದ ಚಾಪವು 1 ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ, $l$ ಉದ್ದದ ಚಾಪವು $\frac{l}{r}$ ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $r$ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, $l$ ಉದ್ದದ ಚಾಪವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ $\theta$ ರೇಡಿಯನ್ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು $\theta=\frac{l}{r}$ ಅಥವಾ $l=r \theta$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ.

3.2.3 ರೇಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಕೇಂದ್ರ $O$ ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಮಾನ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $A$ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಕೋನದ ಆರಂಭಿಕ ಬಾಹುವಾಗಿ OA ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ವೃತ್ತದ ಚಾಪದ ಉದ್ದವು ಕೋನದ ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಚಾಪವು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. A ಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ PAQ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. A ಬಿಂದುವು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಿ, AP ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು AQ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3.5). ನಾವು $AP$ ರೇಖೆಯನ್ನು ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು $AQ$ ಅನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹುರಿಯಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಗಳು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 3.5

3.2.4 ಡಿಗ್ರಿ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ವೃತ್ತವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನದ ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆ $2 \pi$ ಮತ್ತು ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ $360^{\circ}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ$

2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. $\pi$ ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $\frac{22}{7}$ ಆಗಿ ಬಳಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

ಅಲ್ಲದೆ $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ radian $=0.01746$ radian approximately.

ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಸಂಕೇತ ಸಂಪ್ರದಾಯ

ಕೋನಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಕೋನ $\theta^{\circ}$ ಎಂದು ಬರೆದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ನಾವು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ $\theta$ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಕೋನ $\beta$ ಎಂದು ಬರೆದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ನಾವು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆ $\beta$ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೋನವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ, ‘ರೇಡಿಯನ್’ ಪದವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, $\pi=180^{\circ}$ ಮತ್ತು $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ ಅನ್ನು $\pi$ ಮತ್ತು $\frac{\pi}{4}$ ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಗಳು ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ ಅನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $180^{\circ}=\pi$ radian.

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ degree $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ radian $=\frac{121 \pi}{540}$ radian.

ಆದ್ದರಿಂದ

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

ಉದಾಹರಣೆ 2 6 ರೇಡಿಯನ್ಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $\pi$ radian $=180^{\circ}$.

ಆದ್ದರಿಂದ

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad 6$ radians $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ approximately.

ಉದಾಹರಣೆ 3 $60^{\circ}$ ಕೇಂದ್ರ ಕೋನವು $37.4 cm$ ಉದ್ದದ ಚಾಪವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ($\pi=\frac{22}{7}$ ಬಳಸಿ).

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ $l=37.4 cm$ ಮತ್ತು $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ radian $=\frac{\pi}{3}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad$ by $r=\frac{l}{\theta}$, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಗಡಿಯಾರದ ನಿಮಿಷದ ಸೂಚಿಯು $1.5 cm$ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. 40 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ತುದಿ ಎಷ್ಟು ದೂರ ಸರಿಯುತ್ತದೆ? ($\pi=3.14$ ಬಳಸಿ).

ಪರಿಹಾರ 60 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ, ಗಡಿಯಾರದ ನಿಮಿಷದ ಸೂಚಿಯು ಒಂದು ಪರಿಭ್ರಮಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 40 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಮಿಷದ ಸೂಚಿಯು $\frac{2}{3}$ ಪರಿಭ್ರಮಣದ ಮೂಲಕ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ ಅಥವಾ $\frac{4 \pi}{3}$ radian. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಯಾಣದ ದೂರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಉದ್ದದ ಚಾಪಗಳು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ $65^{\circ}$ ಮತ್ತು $110^{\circ}$ ಕೋನಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $r_1$ ಮತ್ತು $r_2$ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ. ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

ಮತ್ತು

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

$l$ ಪ್ರತಿ ಚಾಪದ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ ಲಘು ಕೋನಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಈಗ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕೋನಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಮಾನ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $P(a, b)$ ಕೋನ $AOP=x$ ರೇಡಿಯನ್ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ಚಾಪದ ಉದ್ದ $AP=x$ (ಚಿತ್ರ 3.6).

ಚಿತ್ರ 3.6

ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ $\cos x=a$ ಮತ್ತು $\sin x=b$ Since $\triangle OMP$ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ ಅಥವಾ $a^{2}+b^{2}=1$ ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕಮಾನ ವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಭ್ರಮಣವು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ $2 \pi$ ರೇಡಿಯನ್ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ ಮತ್ತು $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$. $\frac{\pi}{2}$ ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಕಗಳಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭಾಗ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. A, B, C ಮತ್ತು D ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $(1,0),(0,1),(-1,0)$ ಮತ್ತು $(0,-1)$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚತುರ್ಭಾಗ ಕೋನಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

ಈಗ, ನಾವು $P$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಭ್ರಮಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಅದೇ ಬಿಂದು $P$ ಗೆ ಹಿಂದಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $x$ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಕದಿಂದ $2 \pi$ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ), ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

ಮುಂದೆ, $\sin x=0$, $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$ ಆಗಿದ್ದರೆ, …, ಅಂದರೆ, $x$ $\pi$ ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $\cos x=0$, $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, $\cos x$ $x$ $\frac{\pi}{2}$ ನ ಬೆಸ ಗುಣಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅದು ಅದೃಶ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

ನಾವು ಈಗ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, where $n$ is any integer.

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, where $n$ is any integer.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, where $n$ is any integer.

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, where $n$ is any integer.

ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವಿಕ $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ ಗೆ ನಾವು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ

ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ ಮತ್ತು $90^{\circ}$ ಗಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಕೋನಗಳಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$cosec x, \sec x$ ಮತ್ತು $\cot x$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\sin x$, $\cos x$ ಮತ್ತು $\tan x$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮಗಳಾಗಿವೆ.

3.3.1 ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ

$P(a, b)$ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಮಾನ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ $\angle AOP=x$. $\angle AOQ=-x$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಿಂದು $Q$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(a,-b)$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 3.7).

ಚಿತ್ರ 3.7

ಆದ್ದರಿಂದ

$ \cos (-x)=\cos x $

ಮತ್ತು $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

ಏಕಮಾನ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು $P(a, b)$ ಗೆ, $-1 \leq a \leq 1$ ಮತ್ತು

$-1 \leq b \leq 1$, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $-1 \leq \cos x \leq 1$ ಮತ್ತು $-1 \leq \sin x \leq 1$ ಎಲ್ಲಾ $x$ ಗೆ. ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ಮೊದಲ ಚತುರ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ $(0<x<\frac{\pi}{2}) a$ ಮತ್ತು $b$ ಎರಡೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಎರಡನೇ ಚತುರ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ $(\frac{\pi}{2}<x<\pi) a$ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $b$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೂರನೇ ಚತುರ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}) a$ ಮತ್ತು $b$ ಎರಡೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಚತುರ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi) a$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $b$ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\sin x$ $0<x<\pi$ ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು $\pi<x<2 \pi$ ಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $\cos x$ $0<x<\frac{\pi}{2}$ ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ ಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$ ಗೆ ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ವಿಭಿನ್ನ ಚತುರ್ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

3.3.2 ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ