ಗಣಿತವು ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ರಾಣಿ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತವು ಗಣಿತದ ರಾಣಿ. - ಗೌಸ್

4.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿರುವ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. $x^{2}+1=0$ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ $x^{2}+1=0$ ನೀಡುತ್ತದೆ $x^{2}=-1$ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣ $x^{2}=-1$ ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ದೊಡ್ಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣ $a x^{2}+b x+c=0$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಇಲ್ಲಿ $D=b^{2}-4 a c<0$, ಇದು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಆರ್. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ (1805-1865 A.D.)

4.2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

$\sqrt{-1}$ ಅನ್ನು $i$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $i^{2}=-1$. ಇದರ ಅರ್ಥ $i$ ಸಮೀಕರಣ $x^{2}+1=0$ ನ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

$a+i b$ ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z=a+i b, a$ ಗೆ, $Re z$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ವಾಸ್ತವಿಕ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು $b$ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z$ ನ ಕಲ್ಪಿತ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $Im z$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $z=2+i 5$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $Re z=2$ ಮತ್ತು $Im z=5$.

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $z_1=a+i b$ ಮತ್ತು $z_2=c+i d$ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, $a=c$ ಮತ್ತು $b=d$ ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲಿ $x$ ಮತ್ತು $y$ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ $x$ ಮತ್ತು $y$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1) ನ ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪಿತ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

ಇದು, ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, $x=\frac{3}{4}$ ಮತ್ತು $y=\frac{33}{4}$ ನೀಡುತ್ತದೆ.

4.3 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

4.3.1 ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ

$z_1=a+i b$ ಮತ್ತು $z_2=c+i d$ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಮೊತ್ತ $z_1+z_2$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

(i) ಸಂವೃತ್ತಿ ನಿಯಮ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $z_1$ ಮತ್ತು $z_2$, $z_1+z_2$ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

(ii) ವಿನಿಮಯ ನಿಯಮ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $z_1$ ಮತ್ತು $z_2$, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) ಸಹವರ್ತಿ ನಿಯಮ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $z_1, z_2, z_3$, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

(iv) ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $0+i 0$ (0 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ), ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z, z+0=z$ ಗೆ ಹಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(v) ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z=a+i b$ ಗೆ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $-a+i(-b)$ ($-z$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದನ್ನು $z$ ನ ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ $z+(-z)=0$ (ಸಂಕಲನಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮ).

4.3.2 ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $z_1$ ಮತ್ತು $z_2$ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ $z_1-z_2$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

ಮತ್ತು

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

$z_1=a+i b$ ಮತ್ತು $z_2=c+i d$ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಗುಣಲಬ್ಧ $z_1 z_2$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

(i) ಸಂವೃತ್ತಿ ನಿಯಮ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $z_1$ ಮತ್ತು $z_2$, ಗುಣಲಬ್ಧ $z_1 z_2$ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

(ii) ವಿನಿಮಯ ನಿಯಮ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $z_1$ ಮತ್ತು $z_2$,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) ಸಹವರ್ತಿ ನಿಯಮ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $z_1, z_2, z_3$,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $1+i 0$ (1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z$ ಗೆ $z .1=z$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(v) ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯೇತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z=a+i b$ ಅಥವಾ $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ ಗೆ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದನ್ನು $\frac{1}{z}$ ಅಥವಾ $.z^{-1})$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು $z$ ನ ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ತತ್ಸಮ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(vi) ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $z_1, z_2, z_3$,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $z_1$ ಮತ್ತು $z_2$ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟರೆ, ಇಲ್ಲಿ $z_2 \neq 0$, ಭಾಗಲಬ್ಧ $\frac{z_1}{z_2}$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\quad z_1=6+3 i$ ಮತ್ತು $z_2=2-i$ ಆಗಿರಲಿ

ನಂತರ

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ ನ ಘಾತ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

ಅಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ ಗೆ

4.3.6 ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು

ಗಮನಿಸಿ $i^{2}=-1$ ಮತ್ತು $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

ಆದ್ದರಿಂದ, -1 ನ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು $i,-i$ ಆಗಿವೆ. ಆದರೆ, $\sqrt{-1}$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ, ನಾವು $i$ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ, ನಾವು ನೋಡಬಹುದು $i$ ಮತ್ತು $-i$ ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣ $x^{2}+1=0$ ಅಥವಾ $x^{2}=-1$ ನ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

ಆದ್ದರಿಂದ, -3 ನ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು $\sqrt{3} i$ ಮತ್ತು $-\sqrt{3} i$ ಆಗಿವೆ.

ಮತ್ತೆ, $\sqrt{-3}$ ಚಿಹ್ನೆಯು $\sqrt{3} i$ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $a$ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಗೆ $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. $a>0, b<0$ ಅಥವಾ $a<0, b>0$ ಆಗಿರುವಾಗ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಹ ಉಳಿದಿದೆ. $a<0, b<0$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಗಮನಿಸಿ

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ ಎಂದು ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, ಇದು } i^{2}=-1 \text{ ಎಂಬ ಸತ್ಯಕ್ಕೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ} \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$, $a$ ಮತ್ತು $b$ ಎರಡೂ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, $a$ ಮತ್ತು $b$ ರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$.

4.3.7 ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳು

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತೇವೆ

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ } z_1 \text{ ಮತ್ತು } z_2 \text{. } $

ಪುರಾವೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸತ್ಯವಾಗಿರುವ ಅನೇಕ ಇತರ ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸತ್ಯವೆಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು $a+b i$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

ಪರಿಹಾರ (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

ಉದಾಹರಣೆ 3 $(5-3 i)^{3}$ ಅನ್ನು $a+i b$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

ಉದಾಹರಣೆ 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ ಅನ್ನು $a+i b$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಪಕ ಮತ್ತು ಸಂಯುಗ್ಮ

$z=a+i b$ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, $z$ ನ ಮಾಪಕ, $|z|$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ಮತ್ತು $z$ ನ ಸಂಯುಗ್ಮ, $\bar{z}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $a-i b$ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, $\bar{z}=a-i b$.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

ಮತ್ತು

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

ಶೂನ್ಯೇತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z$ ನ ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ ಅಥವಾ } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $z_1$ ಮತ್ತು $z_2$, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$, $|z_2| \neq 0$ ಇದ್ದರೆ

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

ಉದಾಹರಣೆ 5 $2-3 i$ ನ ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $z=2-3 i$ ಆಗಿರಲಿ

ನಂತರ $\quad \bar{z}=2+3 i$ ಮತ್ತು $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

ಆದ್ದರಿಂದ, $2-3 i$ ನ ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು $a+i b$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

ಪರಿಹಾರ (i) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 ಆರ್ಗಾಂಡ್ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ನಿರೂಪಣೆ

ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಯುಗ್ಮ $(x, y)$ ಗೆ, ನಾವು XY ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು $x$-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಕ್ರಮಯುಗ್ಮ $(x, y)$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $x+i y$ ಅನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ XY-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯ ಬಿಂದು $P(x, y)$ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ ಮತ್ತು $1-2 i$, ಅವು ಕ್ರಮಯುಗ್ಮಗಳು $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, ಮತ್ತು $(1,-2)$ ಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳು $A, B, C, D, E$, ಮತ್ತು $F$ ಮೂಲಕ ಚಿತ್ರ 4.1 ರಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 4.1

ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಸಮತಲವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಆರ್ಗಾಂಡ್ ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಆರ್ಗಾಂಡ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ನ ಮಾಪಕವು ಬಿಂದು $P(x, y)$ ಮತ್ತು ಮೂಲಬಿಂದು $O(0,0)$ ನಡುವಿನ ದೂರವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 4.2). $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು $a+i 0$ ರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು $0+i b$ ರೂಪದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿವೆ. ಆರ್ಗಾಂಡ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ $x$-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ವಾಸ್ತವಿಕ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪಿತ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 4.2

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z=x+i y$ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಯುಗ್ಮ $z=x-i y$ ನ ನಿರೂಪಣೆಯು ಆರ್ಗಾಂಡ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಬಿಂದುಗಳು $P(x, y)$ ಮತ್ತು $Q(x,-y)$ ಆಗಿವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಬಿಂದು $(x,-y)$ ವು ವಾಸ್ತವಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು $(x, y)$ ನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 4.3).

ಚಿತ್ರ 4.2

ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ ನ ಸಂಯುಗ್ಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ ನ ಸಂಯುಗ್ಮವು $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $x^{2}+y^{2}=1$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

ಆದ್ದರಿಂದ, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

ಸಾರಾಂಶ

$a+i b$ ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, $a$ ಅನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $b$ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಲ್ಪಿತ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$z_1=a+i b$ ಮತ್ತು $z_2=c+i d$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ ಗೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು $\frac{1}{z}$ ಅಥವಾ $z^{-1}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು $z$ ನ ಗುಣಾಕಾರಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ ಗೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ $z=a+i b$ ನ ಸಂಯುಗ್ಮ, $\bar{z}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು $\bar{z}=a-i b$ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಟಿಪ್ಪಣಿ

ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸತ್ಯವನ್ನು ಗ್ರೀಕರು ಗುರುತಿಸಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಈ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಿದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮಹಾವೀರ (850) ರಿಗೆ ಶ್ರೇಯ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. “ಅವರು ತಮ್ಮ ಕೃತಿ ‘ಗಣಿತಸಾರ ಸಂಗ್ರಹ’ ದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, ‘ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ವಭಾವದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ (ಪರಿಮಾಣ) ಒಂದು ವರ್ಗ (ಪರಿಮಾಣ) ಅಲ್ಲ’, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಮೂಲವಿಲ್ಲ.” ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರನು ಕೂಡ 1150 ರಲ್ಲಿ ಬರೆದ ತಮ್ಮ ಕೃತಿ ಬೀಜಗಣಿತ ದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. “ಋಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ವರ್ಗಮೂಲವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ವರ್ಗವಲ್ಲ.” ಕಾರ್ಡನ್ (1545) ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ

$ x+y=10, x y=40 . $

ಅವ