ಗಣಿತವು ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವ ಕಲೆ. - ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್

5.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರ ಮತ್ತು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಾಕ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುವಾದಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ‘ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ವಾಕ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುವಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಎತ್ತರ $160 cm$ ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ತರಗತಿ ಕೋಣೆಯು ಗರಿಷ್ಠ 60 ಮೇಜುಗಳು ಅಥವಾ ಕುರ್ಚಿಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ’ $<$ ’ (ಕಡಿಮೆ), ‘>’ (ಹೆಚ್ಚು), ’ $\leq$ ’ (ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮ) ಮತ್ತು $\geq$ (ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮ) ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ವಿಜ್ಞಾನ, ಗಣಿತ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ, ಇತ್ಯಾದಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

5.2 ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

(i) ರವಿ ಅಕ್ಕಿಯನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ₹ 200 ರೊಂದಿಗೆ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತಾನೆ, ಅದು $1 kg$ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಒಂದು ಪ್ಯಾಕೆಟ್ ಅಕ್ಕಿಯ ಬೆಲೆ ₹ 30 ಆಗಿದೆ. $x$ ಅವನು ಖರೀದಿಸುವ ಅಕ್ಕಿಯ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅವನು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ₹ $30 x$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವನು ಅಕ್ಕಿಯನ್ನು ಪ್ಯಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಖರೀದಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವನು ₹ 200 ರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಖರ್ಚು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು. (ಏಕೆ?) ಆದ್ದರಿಂದ

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆ (i) ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಕಾರಣ ಅದು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ. (ii) ರೇಷ್ಮಾ ಬಳಿ ₹ 120 ಇದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರಿಜಿಸ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪೆನ್ಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾಳೆ. ಒಂದು ರಿಜಿಸ್ಟರ್ನ ಬೆಲೆ ₹ 40 ಮತ್ತು ಪೆನ್ನಿನ ಬೆಲೆ ₹ 20 ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $x$ ರಿಜಿಸ್ಟರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು $y$, ರೇಷ್ಮಾ ಖರೀದಿಸುವ ಪೆನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅವಳು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ₹ $(40 x+20 y)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ಮೊತ್ತ ₹ 120 ವರೆಗೆ ಇರಬಹುದು. ಗಮನಿಸಿ ಹೇಳಿಕೆ (2) ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ

$ \text{ ಮತ್ತು } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

ಹೇಳಿಕೆ (3) ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಹೇಳಿಕೆ (4) ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ ಅಥವಾ ’ $\geq$ ’ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸಂಬಂಧಿತ ಎರಡು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಮೇಲಿನ (1), (2) ಮತ್ತು (3) ನಂತಹ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ.

$3<5 ; 7>5$ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಆದರೆ

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ ಕೆಲವು ಶಾಬ್ದಿಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. $3<5<7($ ಅನ್ನು 5 ಎಂಬುದು 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ), $3 \leq x<5($ ಅನ್ನು $x$ ಎಂಬುದು 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮ ಮತ್ತು 5 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು $2<y \leq 4$ ದ್ವಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

ಅಸಮಾನತೆಗಳು (5), (6), (9), (10) ಮತ್ತು (14) ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಆದರೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು (7), (8), (11), (12), ಮತ್ತು (13) ಸಡಿಲ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ. (5) ರಿಂದ (8) ವರೆಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ನಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ ಯಾವಾಗ $a \neq 0$, ಆದರೆ (9) ರಿಂದ (12) ವರೆಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ $x$ ಮತ್ತು $y$ ನಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ ಯಾವಾಗ $a \neq 0, b \neq 0$. ಅಸಮಾನತೆಗಳು (13) ಮತ್ತು (14) ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇವು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ನಲ್ಲಿನ ವರ್ಗಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ ಯಾವಾಗ $a \neq 0)$.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

5.3 ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆ

ನಾವು ವಿಭಾಗ 6.2 ರ ಅಸಮಾನತೆ (1) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, $30 x<200$ ಇಲ್ಲಿ $x$ ಅಕ್ಕಿಯ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $x$ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗ (L.H.S.) $30 x$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗ (RHS) 200 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} & \text{ } x=0 \text{ ಗೆ, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, ಇದು ಸತ್ಯ. } \\ & \text{ } x=1 \text{ ಗೆ, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), ಇದು ಸತ್ಯ. } \\ & \text{ } x=2 \text{ ಗೆ, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, ಇದು ಸತ್ಯ. } \\ & \text{ } x=3 \text{ ಗೆ, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, ಇದು ಸತ್ಯ. } \\ & \text{ } x=4 \text{ ಗೆ, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, ಇದು ಸತ್ಯ. } \\ & \text{ } x=5 \text{ ಗೆ, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, ಇದು ಸತ್ಯ. } \\ & \text{ } x=6 \text{ ಗೆ, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, ಇದು ಸತ್ಯ. } \\ & \text{ } x=7 \text{ ಗೆ, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, ಇದು ಸುಳ್ಳು. } \end{aligned} $

ಮೇಲಿನ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸತ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ $x$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು $0,1,2,3,4,5,6$ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸತ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ $x$ ನ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಣ ${0,1,2,3,4,5,6}$ ಅನ್ನು ಅದರ ಪರಿಹಾರ ಸಮೂಹ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಅದನ್ನು ಸತ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನ ಮತ್ತು ದೋಷ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದು ಬಹಳ ಸಮರ್ಥವಾಗಿಲ್ಲ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ವಿಧಾನವು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಕೆಲವು ಉತ್ತಮ ಅಥವಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳು ಇರಬೇಕು. ಅದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಯಮಗಳಂತೆ ಅನುಸರಿಸಬೇಕು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ:

ನಿಯಮ 1 ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಕಳೆಯಬಹುದು).

ನಿಯಮ 2 ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬಹುದು).

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ಅದೇ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ನಿಯಮ 2 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ) ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ತಲೆಕೆಳಗಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ‘<’ ‘>’ ಆಗುತ್ತದೆ, $\leq$ ’ ’ $\geq$ ’ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ) ಎಂಬ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ ಆದರೆ }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ ಆದರೆ }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ ಅಂದರೆ, } 16>14 . \end{aligned} $

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಯಮ 1 ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಕಳೆಯಬಹುದು).

ನಿಯಮ 2 ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬಹುದು). ಆದರೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ತಲೆಕೆಳಗಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 $30 x<200$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಯಾವಾಗ (i) $x$ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, (ii) $x$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ $30 x<200$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಅಥವಾ $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (ನಿಯಮ 2), ಅಂದರೆ, $x<20 / 3$.

(i) ಯಾವಾಗ $x$ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $x$ ನ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸತ್ಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರ ಸಮೂಹವು $\{1,2,3,4,5,6\}$ ಆಗಿದೆ.

(ii) ಯಾವಾಗ $x$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ನೀಡಲಾದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರ ಸಮೂಹವು $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ ಆಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2 $5 x-3<3 x+1$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಯಾವಾಗ (i) $x$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, (ii) $x$ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ಇದೆ, $5 x-3<3 x+1$

ಅಥವಾ $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (ನಿಯಮ 1)

ಅಥವಾ $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

ಅಥವಾ $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (ನಿಯಮ 2)

ಅಥವಾ $\quad \quad$ $2 x<4$

ಅಥವಾ $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (ನಿಯಮ 3)

(i) ಯಾವಾಗ $x$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ನೀಡಲಾದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) ಯಾವಾಗ $x$ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು $x<2$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $x$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರ ಸಮೂಹವು $x \in(-\infty, 2)$ ಆಗಿದೆ.

ನಾವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇನ್ನು ಮುಂದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 $4 x+3<6 x+7$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ಇದೆ, $\quad 4 x+3<6 x+7$

ಅಥವಾ $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

ಅಥವಾ $\quad-2 x<4 \quad$ ಅಥವಾ $x>-2$

ಅಂದರೆ, -2 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೀಡಲಾದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರ ಸಮೂಹವು $(-2, \infty)$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ಇದೆ $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

ಹೀಗಾಗಿ, 8 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $x$ ನೀಡಲಾದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, $x \in[8, \infty)$.

ಉದಾಹರಣೆ 5 $7 x+3<5 x+9$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ಇದೆ $7 x+3<5 x+9$ ಅಥವಾ $2 x<6$ ಅಥವಾ $x<3$

ಪರಿಹಾರಗಳ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 5.1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.1

ಉದಾಹರಣೆ 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ಇದೆ $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

ಪರಿಹಾರಗಳ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 5.2 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.2

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಕ್ಲಾಸ್ XI ರ ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಟರ್ಮಿನಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 62 ಮತ್ತು 48 ಆಗಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ 60 ಅಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಪಡೆಯಲು ಅವನು ವಾರ್ಷಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $x$ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ವಾರ್ಷಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ಆಗ

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

ಹೀಗಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಕನಿಷ್ಠ 60 ಅಂಕಗಳ ಸರಾಸರಿ ಪಡೆಯಲು ಕನಿಷ್ಠ 70 ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 8 10 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 40 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $x$ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು $x+2$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿರಬೇಕು

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

ಅಂದರೆ, $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) ಮತ್ತು (3) ರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ 10<x<19 $$

$x$ ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, $x$ 11,13,15, ಮತ್ತು 17 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯ ಜೋಡಿಗಳು $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ

ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $-8 \leq 5 x-3$ ಮತ್ತು $5 x-3<7$, ಅವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮಗೆ ಇದೆ $-8 \leq 5 x-3<7$

ಅಥವಾ $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ ಅಥವಾ } \quad-1 \leq x<2 $

ಉದಾಹರಣೆ 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ಇದೆ $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

ಅಥವಾ $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ ಅಥವಾ $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

ಅಥವಾ $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

ಇದನ್ನು $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 11 ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಅಸಮಾನತೆ (1) ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

ಅಥವಾ $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

ಅಲ್ಲದೆ, ಅಸಮಾನತೆ (2) ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ 11-5 x \leq 1 $$

ಅಥವಾ $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) ರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಎಳೆದರೆ, ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ $x$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 5.3 ರಲ್ಲಿ ದಪ್ಪ ರೇಖೆಯಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು 2 ಮತ್ತು 6 ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $x$ ಆಗಿವೆ, 2 ಸೇರಿದಂತೆ, ಅಂದರೆ, $2 \leq x<6$

ಉದಾಹರಣೆ 12 ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ಹೈಡ್ರೋಕ್ಲೋರಿಕ್ ಆಮ್ಲದ ದ್ರಾವಣವನ್ನು $30^{\circ}$ ಮತ್ತು $35^{\circ}$ ಸೆಲ್ಸಿಯಸ್ ನಡುವೆ ಇರಿಸಬೇಕು. ಪರಿವರ್ತನೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ ಎಂದು ನೀಡಿದರೆ ಡಿಗ್ರಿ ಫ್ಯಾರನ್ಹೀಟ್ ನಲ್ಲಿ ತಾಪಮಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಏನು? ಇಲ್ಲಿ $C$ ಮತ್ತು $F$ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಡಿಗ್ರಿ ಸೆಲ್ಸಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ಫ್ಯಾರನ್ಹೀಟ್ ನಲ್ಲಿ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರ $30<C<35$ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಹಾಕಿದಾಗ $ C=\frac{5}{9}(F-32), \text{ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ } $ $ 30<\frac{5}{9}(F-32)<35 $

ಅಥವಾ $\quad\quad\quad$ $ \frac{9}{5} \times(30)<(F-32)<\frac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ ಅಥವಾ } & 54<(F-32)<63 \\ \text{ ಅಥವಾ } & 86<F<95 . \end{matrix} $

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತಾಪಮಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $86^{\circ} F$ ಮತ್ತು $95^{\circ} F$ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 13 ಒಬ್ಬ ತಯಾರಕನ ಬಳಿ ಆಮ್ಲದ $12\%$ ದ್ರಾವಣದ 600 ಲೀಟರ್‌ಗಳು ಇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಿಶ್ರಣದಲ್ಲಿನ ಆಮ್ಲದ ಅಂಶವು $15 \%$ ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆದರೆ $18 \%$ ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಎಷ್ಟು ಲೀಟರ್‌ಗಳ $30 \%$ ಆಮ್ಲದ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ $x$ ಲೀಟರ್‌ಗಳ $30 \%$ ಆಮ್ಲದ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ ಒಟ್ಟು ಮಿಶ್ರಣ $=(x+600)$ ಲೀಟರ್‌ಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ $30 \% x+12 \%$ ರ $600>15 \%$ ರ $(x+600)$

ಮತ್ತು $\quad \quad \quad 30 \% x+12 \%$ ರ $600<18 \%$ ರ $(x+600)$

$ \begin{array}{ll} \text{ಅಥವಾ} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{ಮತ್ತು} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{ಅಥವಾ}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{ಮತ್ತು} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{ಅಥವಾ} & 15 x>1800 \text{ ಮತ್ತು } 12 x<3600 \\ \text{ಅಥವಾ} & x>120 \text{ ಮತ್ತು } x<300, \\ \text{ಅಂದರೆ} & 120<x<300