ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆವಿಷ್ಕಾರದ ದೇಹವೂ ಗಣಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಮಗೆ ಇನ್ನಾವುದೇ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಇರುವುದಿಲ್ಲ - ಡಾರ್ವಿನ್

6.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾ ಬೀಗದೊಂದಿಗೆ ಸೂಟ್ಕೇಸ್ ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಸಂಖ್ಯಾ ಬೀಗವು 4 ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 0 ರಿಂದ 9 ರವರೆಗಿನ 10 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. 4 ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕೆಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ ಬೀಗವನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಹೇಗೋ, ನೀವು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮರೆತಿದ್ದೀರಿ. ಮೊದಲ ಅಂಕೆ 7 ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಬೀಗವನ್ನು ತೆರೆಯಲು, ನೀವು ಎಷ್ಟು 3-ಅಂಕಿಗಳ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಬಹುದು? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ನೀವು ತಕ್ಷಣವೇ ಉಳಿದಿರುವ 9 ಅಂಕೆಗಳನ್ನು 3 ರಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ಬೇಸರಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಕ್ರಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ, ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಎಣಿಕೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅವು

3-ಅಂಕಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡದೆಯೇ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡದೆಯೇ ಜೋಡಿಸುವ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ತಂತ್ರಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿ, ಈ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತವಾದ ತತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

6.2 ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವ

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಮೋಹನ್ ಬಳಿ 3 ಪ್ಯಾಂಟುಗಳು ಮತ್ತು 2 ಶರ್ಟುಗಳಿವೆ. ಪ್ಯಾಂಟ್ ಮತ್ತು ಶರ್ಟ್ನ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಅವನು ಧರಿಸಬಹುದು? ಪ್ಯಾಂಟ್ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು 3 ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ 3 ಪ್ಯಾಂಟುಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಶರ್ಟ್ ಅನ್ನು 2 ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಪ್ಯಾಂಟ್ ಆಯ್ಕೆಗೆ, 2 ಶರ್ಟ್ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ಯಾಂಟ್ ಮತ್ತು ಶರ್ಟ್ನ $3 \times 2=6$ ಜೋಡಿಗಳಿವೆ.

ಮೂರು ಪ್ಯಾಂಟುಗಳನ್ನು $P_1, P_2, P_3$ ಎಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಶರ್ಟುಗಳನ್ನು $S_1, S_2$ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಈ ಆರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 6.1 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 6.1

ಅದೇ ರೀತಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಸಬ್ನಮ್ ಬಳಿ 2 ಶಾಲಾ ಚೀಲಗಳು, 3 ಟಿಫಿನ್ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು 2 ನೀರಿನ ಬಾಟಲಿಗಳಿವೆ. ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು (ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ) ಅವಳು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಗಿಸಬಹುದು.

ಶಾಲಾ ಚೀಲವನ್ನು 2 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಶಾಲಾ ಚೀಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಟಿಫಿನ್ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು 3 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಾಲಾ ಚೀಲ ಮತ್ತು ಟಿಫಿನ್ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ $2 \times 3=6$ ಜೋಡಿಗಳಿವೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ, ನೀರಿನ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು 2 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಬ್ನಮ್ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಶಾಲೆಗೆ ಸಾಗಿಸಬಹುದಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳು $6 \times 2=12$. 2 ಶಾಲಾ ಚೀಲಗಳನ್ನು $B_1, B_2$ ಎಂದು, ಮೂರು ಟಿಫಿನ್ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು $T_1, T_2, T_3$ ಎಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ನೀರಿನ ಬಾಟಲಿಗಳನ್ನು $W_1, W_2$ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 6.2 ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 6.2

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ತತ್ವವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ

“ಒಂದು ಘಟನೆಯು $m$ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದರ ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು ಘಟನೆಯು $n$ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $m \times n$.”

ಮೇಲಿನ ತತ್ವವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ಘಟನೆಗಳಿಗೆ, ತತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ:

‘ಒಂದು ಘಟನೆಯು $m$ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದರ ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು ಘಟನೆಯು $n$ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದರ ನಂತರ ಮೂರನೇ ಘಟನೆಯು $p$ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $m \times n \times p$."

ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ಯಾಂಟ್ ಮತ್ತು ಶರ್ಟ್ ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು:

(i) ಪ್ಯಾಂಟ್ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಘಟನೆ

(ii) ಶರ್ಟ್ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಘಟನೆ.

ಎರಡನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು:

(i) ಶಾಲಾ ಚೀಲ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಘಟನೆ

(ii) ಟಿಫಿನ್ ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಘಟನೆ

(iii) ನೀರಿನ ಬಾಟಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಘಟನೆ.

ಇಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಘಟನೆಗಳು ವಿವಿಧ ಸಾಧ್ಯ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡು, ಈ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ROSE ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದಾದ 4 ಅಕ್ಷರಗಳ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅರ್ಥದೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರ 4 ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು $\square \square \square \square$ 4 ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ತುಂಬಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳಷ್ಟೇ ಪದಗಳಿವೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನವನ್ನು 4 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ 4 ಅಕ್ಷರಗಳಾದ R,O,S,E ಯಿಂದ ಯಾರಾದರೂ ಒಬ್ಬರು ತುಂಬಿಸಬಹುದು. ಅದರ ನಂತರ, ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಉಳಿದಿರುವ 3 ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಯಾರಾದರೂ ಒಬ್ಬರು 3 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು, ಅದರ ನಂತರ ಮೂರನೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು 2 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು; ಅದರ ನಂತರ, ನಾಲ್ಕನೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು 1 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವದಿಂದ, 4 ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ತುಂಬಿಸಬಹುದಾದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 24.

ಗಮನಿಸಿ - ಅಕ್ಷರಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಎಷ್ಟು ಪದಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು? ಪ್ರತಿಯೊಂದು 4 ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 4 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಯಾರಾದರೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$.

ಉದಾಹರಣೆ 2 4 ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳ ಧ್ವಜಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ 2 ಧ್ವಜಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರಂತೆ ಬಳಸಬೇಕಾದರೆ, ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ 4 ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳ ಧ್ವಜಗಳಿಂದ 2 ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತುಂಬಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳಷ್ಟೇ ಸಂಕೇತಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನವನ್ನು 4 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ 4 ಧ್ವಜಗಳಿಂದ ಯಾರಾದರೂ ಒಬ್ಬರು ತುಂಬಿಸಬಹುದು; ಅದರ ನಂತರ, ಕೆಳಗಿನ ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಉಳಿದಿರುವ 3 ವಿಭಿನ್ನ ಧ್ವಜಗಳಿಂದ ಯಾರಾದರೂ ಒಬ್ಬರು 3 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವದಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=4 \times 3=12$.

ಉದಾಹರಣೆ 3 $1,2,3,4,5$ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು 2 ಅಂಕಿಯ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದರೆ?

ಪರಿಹಾರ ಐದು ನೀಡಲಾದ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ 2 ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು $\square \square$ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತುಂಬಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳಷ್ಟೇ ಮಾರ್ಗಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಏಕಮಾನಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತುಂಬಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಆಯ್ಕೆಗಳು 2 ಮತ್ತು 4 ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 2 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು; ಅದರ ನಂತರ ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ 5 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ 5 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವದಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $2 \times 5$, ಅಂದರೆ, 10.

ಉದಾಹರಣೆ 4 5 ವಿಭಿನ್ನ ಧ್ವಜಗಳು ಲಭ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಲಂಬ ಸ್ಟಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 2 ಧ್ವಜಗಳನ್ನು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ (ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು) ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ ಒಂದು ಸಂಕೇತವು 2 ಧ್ವಜಗಳು, 3 ಧ್ವಜಗಳು, 4 ಧ್ವಜಗಳು ಅಥವಾ 5 ಧ್ವಜಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಈಗ, 2 ಧ್ವಜಗಳು, 3 ಧ್ವಜಗಳು, 4 ಧ್ವಜಗಳು ಮತ್ತು 5 ಧ್ವಜಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಾಧ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಎಣಿಸಿ, ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ.

ಲಭ್ಯವಿರುವ 5 ಧ್ವಜಗಳಿಂದ 2 ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತುಂಬಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳಷ್ಟೇ 2 ಧ್ವಜ ಸಂಕೇತಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದಿಂದ, ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $5 \times 4=20$.

ಅಂತೆಯೇ, 5 ಧ್ವಜಗಳಿಂದ 3 ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತುಂಬಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳಷ್ಟೇ 3 ಧ್ವಜ ಸಂಕೇತಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $5 \times 4 \times 3=60$.

ಅದೇ ರೀತಿ ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

4 ಧ್ವಜ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

ಮತ್ತು 5 ಧ್ವಜ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=20+60+120+120=320$.

6.3 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ROSE, REOS, … ಇತ್ಯಾದಿ ಅಕ್ಷರಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಧ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು 4 ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ, NUMBER ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದಾದ 3-ಅಕ್ಷರದ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಅರ್ಥದೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು NUM, NMU, MUN, NUB, … ಇತ್ಯಾದಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು 6 ವಿಭಿನ್ನ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು 3 ರಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=6 \times 5 \times 4=120$ (ಗುಣಾಕಾರ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು).

ಅಕ್ಷರಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $6 \times 6 \times 6=216$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಎಂದರೆ ಕೆಲವು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸುವಿಕೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

6.3.1 ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವಾಗ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ 1 $n$ ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು $r$ ರಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಲ್ಲಿ $0<r \leq n$ ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$, ಇದನ್ನು ${ }^{n} P_r$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ $r$ ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು $ \underset{\leftarrow r \text{ vacant places} \rightarrow}{\Large{\square \square \square \cdots }} \Large{\square}$ $n$ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ತುಂಬಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳಷ್ಟೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನವನ್ನು $n$ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು; ಅದರ ನಂತರ, ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು $(n-1)$ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು, ಅದರ ನಂತರ ಮೂರನೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು $(n-2)$ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು,…, $r$ ನೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು $(n-(r-1))$ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, $r$ ಖಾಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತುಂಬಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $n(n-1)(n-2) \ldots(n-(r-1))$ ಅಥವಾ $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$

${ }^{n} P$ ಗೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ತೊಡಕಿನದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಸಂಕೇತದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. $n$! ($n$ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಅಥವಾ $n$ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ) ನಮ್ಮ ಸಹಾಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ $n$! ನಿಜವಾಗಿ ಏನನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

6.3.2 ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಕೇತ

ಸಂಕೇತ $n$! ಮೊದಲ $n$ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಗುಣಲಬ್ಧ $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-1) \times n$ ಅನ್ನು $n$! ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ‘$n$ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್’ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $1 \times 2 \times 3 \times 4 \ldots \times(n-1) \times n=n$!

$ \begin{aligned} & 1=1 ! \\ & 1 \times 2=2 ! \\ & 1 \times 2 \times 3=3 ! \\ & 1 \times 2 \times 3 \times 4=4 \text{ ! ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. } \end{aligned} $

ನಾವು $0 !=1$ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಾವು $5 !=5 \times 4 !=5 \times 4 \times 3 !=5 \times 4 \times 3 \times 2$! ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

$$ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \text{ ! } $$

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $n$ ಗೆ

$$ \begin{array}{rlrl} n ! & =n(n-1) ! & \\ & =n(n-1)(n-2) ! & & \text { [ provided } n \geq 2] \\ & =n(n-1)(n-2)(n-3) ! & & \text { [ provided } n \geq 3] \end{array} $$

ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ

(i) 5 !

(ii) 7 !

(iii) $7 !-5$ !

ಪರಿಹಾರ

(i) $5 !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$

(ii) 7 ! $=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040$

ಮತ್ತು

(iii) $7 !-5 !=5040-120=4920$.

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (i) $\frac{7 !}{5 !}$

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}$

ಪರಿಹಾರ

(i) ನಾವು $\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 !}=7 \times 6=42$ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಮತ್ತು

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}=\frac{12 \times 11 \times(10 !)}{(10 !) \times(2)}=6 \times 11=66$.

ಉದಾಹರಣೆ 7 $\frac{n !}{r !(n-r) !}$ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ, ಯಾವಾಗ $n=5, r=2$.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು $\frac{5 !}{2 !(5-2) !}($ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ $n=5, r=2)$

ನಾವು $\quad \frac{5 !}{2 !(5-2) !}=\frac{5 !}{2 ! \times 3 !}=\frac{5 \times 4}{2}=10$ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 8 $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 !}=\frac{x}{10 !}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $x$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 \times 8 !}=\frac{x}{10 \times 9 \times 8 !}$ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ $1+\frac{1}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$ ಅಥವಾ $\frac{10}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$

ಹೀಗೆ

$ x=100 . $

6.3.3 ${ }^{n} P_r$ ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

$ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

ನಾವು ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ:

$$ { }^{n} P_r=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1) $$

ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು $(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ { }^{n} P_r=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}{(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}=\frac{n !}{(n-r) !}, $

ಹೀಗೆ $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !} \text{, ಅಲ್ಲಿ } 0<r \leq n $

ಇದು ${ }^{n} P_r$ ಗೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ $r=n,{ }^{n} P_n=\frac{n !}{0 !}=n$ !

ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಕೆಲವು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆಗೆ ಪುನಃ ಜೋಡಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ. ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಜೋಡಿಸದಿರುವುದು ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹಿಂದೆ ಬಿಟ್ಟು ಹೋಗುವಂತೆಯೇ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಒಂದೇ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಬಹುದು

$$ { }^{n} P_0=1=\frac{n !}{n !}=\frac{n !}{(n-0) !} \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad \ldots(1) $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರ (1) $r=0$ ಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

ಪ್ರಮೇಯ 2 $n$ ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು $r$ ರಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅದು $n^{r}$.

ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪುರಾವೆಗೆ ಬಹಳ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಓದುಗರಿಗೆ ತಲುಪಲು ಬಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು ${ }^{n} P_r$ ಗಾಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $={ }^{4} P_4=4 !=24$. ಇಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $4^{4}=256$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

NUMBER ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದಾದ 3-ಅಕ್ಷರದ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $={ }^{6} P_3=\frac{6 !}{3 !}=4 \times 5 \times 6=120$. ಇಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ, ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $6^{3}=216$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

12 ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಚೇರ್ಮನ್ ಮತ್ತು ವೈಸ್-ಚೇರ್ಮನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಹುದ್ದೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಭಾವಿಸಿದರೆ,

$${ }^{12} P_2=\frac{12 !}{10 !}=11 \times 12=132$$.

6.3.4 ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು

ROOT ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಜೋಡಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳು ಎಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. $2 Os$ ಇವೆ