ಗಣಿತವು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. - ಸಿ.ಪಿ. ಸ್ಟೈನ್ಮೆಟ್ಜ್

7.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು $a+b$ ಮತ್ತು $a-b$ ನಂತಹ ದ್ವಿಪದಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಘನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕೆಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದಿತ್ತು. ಆದರೆ, $(98)^{5},(101)^{6}$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತಗಳಿಗೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ದೂರವಾಯಿತು. ಇದು $(a+b)^{n}$ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $n$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸೂಚಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ (1623-1662 A.D.)

7.2 ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸೂಚಿಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ

ನಾವು ಹಿಂದೆ ಮಾಡಿದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

(i) ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೂಚಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $(a+b)^{2}$ ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಆದರೆ $(a+b)^{2}$ ರ ಸೂಚಿ 2 ಆಗಿದೆ.

(ii) ಮೊದಲ ರಾಶಿ ‘$a$’ ನ ಘಾತಗಳು 1 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ರಾಶಿ ‘$b$’ ನ ಘಾತಗಳು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ.

(iii) ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿ, $a$ ಮತ್ತು $b$ ರ ಸೂಚಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $a+b$ ರ ಸೂಚಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈಗ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 7.1):

ಚಿತ್ರ 7.1

ಮುಂದಿನ ಸಾಲನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆಯೇ? ಹೌದು, ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೂಚಿ 1 ರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 1 ಗಳ ಸಂಕಲನವು ಸೂಚಿ 2 ರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 2 ಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಸೂಚಿ 2 ರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 1,2 ಮತ್ತು 2, 1 ರ ಸಂಕಲನವು ಸೂಚಿ 3 ರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 3 ಮತ್ತು 3 ಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ 1 ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಯಾವುದೇ ಸೂಚಿಯವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಚಿತ್ರ 7.2 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ

ಚಿತ್ರ 7.2 ರಲ್ಲಿನ ರಚನೆಯು ತ್ರಿಕೋನದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ 1 ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಓರೆಯಾದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಓಡುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಹೆಸರಿನ ನಂತರ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪಿಂಗಲನಿಂದ ಮೇರು ಪ್ರಸ್ತಾರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದ್ವಿಪದದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ. ನಾವು $(2 x+3 y)^{5}$ ಅನ್ನು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ. ಸೂಚಿ 5 ರ ಸಾಲು

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

ಈ ಸಾಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಗಮನಿಕೆಗಳು (i), (ii) ಮತ್ತು (iii) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

ಈಗ, ನಾವು $(2 x+3 y)^{12}$ ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲು ಸೂಚಿ 12 ಗಾಗಿ ಸಾಲನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸೂಚಿ 12 ರವರೆಗೆ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಉದ್ದವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ನೀವು ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಬೇಕಾದರೆ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸೂಚಿಯ ಸಾಲಿಗೆ ಮುಂಚಿನ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯದೆ, ಯಾವುದೇ ಘಾತಕ್ಕೆ ದ್ವಿಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ ಮತ್ತು $n$ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ. ಹಾಗೆಯೇ, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಈಗ ಈ ರೀತಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 7.3)

ಚಿತ್ರ 7.3 ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ

ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ನಾವು ಈಗ ಹಿಂದಿನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯದೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಚಿಗೆ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಾಲನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂಚಿ 7 ಗಾಗಿ ಸಾಲು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಗಮನಿಕೆಗಳು (i), (ii) ಮತ್ತು (iii) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

ದ್ವಿಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಈಗ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸೂಚಿ $n$ ಗೆ ಈ ಗಮನಿಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಲ್ಪಿಸಬಹುದು. ಈಗ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸೂಚಿಗೆ ದ್ವಿಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ.

7.2.1 ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $n$ ಗೆ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

ಪುರಾವೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಗಣಿತೀಯ ಆಗಮನದ ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಯು ಇರಲಿ

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ ಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

ಹೀಗಾಗಿ, $P(1)$ ನಿಜ.

$P(k)$ ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $k$ ಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ.

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

$P(k+1)$ ಸಹ ನಿಜ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

ಈಗ, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [ನಿಜವಾದ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ ಮತ್ತು $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ)

ಹೀಗಾಗಿ, $P(k+1)$ ನಿಜವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ $P(k)$ ನಿಜ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತೀಯ ಆಗಮನದ ತತ್ತ್ವದಿಂದ, $P(n)$ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $n$ ಗೆ ನಿಜ.

ನಾವು $(x+2)^{6}$ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ:

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

ಹೀಗೆ $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

ಗಮನಿಕೆಗಳು

1. ಸಂಕೇತ $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, ಇಲ್ಲಿ $b^{0}=1=a^{n-n}$.

ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸಹ ಹೇಳಬಹುದು

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಣಾಂಕಗಳು ${ }^{n} C_r$ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

3. $(a+b)^{n}$ ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ $(n+1)$ ಪದಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಸೂಚಿಗಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು.

4. ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳಲ್ಲಿ $a$ ರ ಸೂಚಿಯು ಏಕಮಾನದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊದಲ ಪದದಲ್ಲಿ $n$, ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ $(n-1)$, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಕೊನೆಯ ಪದದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ $b$ ರ ಸೂಚಿಯು ಏಕಮಾನದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಪದದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಕೊನೆಯ ಪದದಲ್ಲಿ $n$ ನಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

5. $(a+b)^{n}$ ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ, $a$ ಮತ್ತು $b$ ರ ಸೂಚಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೊದಲ ಪದದಲ್ಲಿ $n+0=n$, ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ $(n-1)+1=n$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಕೊನೆಯ ಪದದಲ್ಲಿ $0+n=n$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ರ ಸೂಚಿಗಳ ಮೊತ್ತವು $n$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು.

7.2.2 ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳು

$(a+b)^{n}$ ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ,

(i) $a=x$ ಮತ್ತು $b=-y$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

ಹೀಗೆ $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) $a=1, b=x$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

ಹೀಗೆ $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

ವಿಶೇಷವಾಗಿ, $x=1$ ಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) $a=1, b=-x$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

ವಿಶೇಷವಾಗಿ, $x=1$ ಗೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

ಉದಾಹರಣೆ 1 $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 2 $(98)^{5}$ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು 98 ಅನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಬರೆಯಿರಿ $98=100-2$

ಆದ್ದರಿಂದ, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು (1.01) ${ }^{1000000}$ ಅಥವಾ 10,000 ?

ಪರಿಹಾರ 1.01 ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\ & =1+10000+\text{ other positive terms } \\ & >10000 \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad(1.01)^{1000000}>10000$

ಉದಾಹರಣೆ 4 ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, $6^{n}-5 n$ ಯಾವಾಗಲೂ 25 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $a$ ಮತ್ತು $b$ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೆ $q$ ಮತ್ತು $r$ ಅಂದರೆ $a=b q+r$, ಆಗ ನಾವು $b$ ಯು $a$ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿ $q$ ಅನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು $r$ ಅನ್ನು ಶೇಷ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $6^{n}-5 n$ ಅನ್ನು 25 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ 1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು, ನಾವು $6^{n}-5 n=25 k+1$ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿ $k$ ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$a=5$ ಗೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

ಅಂದರೆ. $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

ಅಂದರೆ $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

ಅಥವಾ $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

ಅಥವಾ $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$

ಇದು ಯಾವಾಗ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ $25,6^{n}-5 n$ ಶೇಷ 1 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾರಾಂಶ

• ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $n$ ಗೆ ದ್ವಿಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$

• ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಟಿಪ್ಪಣಿ

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಮೇರು-ಪ್ರಸ್ತಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿತ್ತು, ಅದನ್ನು ಪಿಂಗಲನು ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಛಂದ ಶಾಸ್ತ್ರ (200B.C.) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು 1303 ರಲ್ಲಿ ಚೀನೀ ಗಣಿತಜ್ಞ ಚು-ಶಿ-ಕೀಯ ಕೃತಿಯಲ್ಲೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಮೈಕೇಲ್ ಸ್ಟಿಪೆಲ್ (1486-1567) ಅಂದಾಜು 1544 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ (1572) ಸಹ $(a+b)^{n}$ ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ, $n=1,2 \ldots, 7$ ಗೆ ಮತ್ತು ಔಗ್ಟ್ರೆಡ್ (1631) ಅವುಗಳನ್ನು $n=1,2, \ldots, 10$ ಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಪಿಂಗಲನ ಮೇರುಪ್ರಸ್ತಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ರಚನೆಯನ್ನು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ (1623-1662) 1665 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು.

$n$ ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಸ್ತುತ ರೂಪವು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಬರೆದ ಮತ್ತು 1665 ರಲ್ಲಿ ಮರಣೋತ್ತರ ಪ್ರಕಟವಾದ ಟ್ರೇಟ್ ಡು ತ್ರಿಯಾಂಗೆ ಅರಿತ್ಮೆಟಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು.