8.1 ಪರಿಚಯ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, “ಅನುಕ್ರಮ” ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದಾಗ, ಆ ಸಂಗ್ರಹವು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೇ ಸದಸ್ಯ, ಮೂರನೇ ಸದಸ್ಯ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿವಿಧ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನವರು ಅಥವಾ ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ಠೇವಣಿ ಮಾಡಲಾದ ಹಣದ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ವಸ್ತುವಿನ ಸವಕಳಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮಾನವ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಹಲವಾರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಗತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ (A.P) ಬಗ್ಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, A.P. ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಚರ್ಚಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ; ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ, A.M. ಮತ್ತು G.M. ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ, ಸತತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಶ್ರೇಣಿಗಳು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುವುದು.

8.2 ಅನುಕ್ರಮಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

30 ವರ್ಷಗಳ ತಲೆಮಾರಿನ ಅಂತರವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, 300 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಇರಬಹುದಾದ ಪೂರ್ವಜರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ಅಂದರೆ, ತಂದೆತಾಯಂದಿರು, ಅಜ್ಜ-ಅಜ್ಜಿಯರು, ಮುತ್ತಜ್ಜ-ಮುತ್ತಜ್ಜಿಯರು, ಇತ್ಯಾದಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

ಇಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ತಲೆಮಾರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=\frac{300}{30}=10$

ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, …, ಹತ್ತನೇ ತಲೆಮಾರುಗಳಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪೂರ್ವಜರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಾವು ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

10 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ವಿಭಜನೆಯ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸತತ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು ಸಹ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, ಇತ್ಯಾದಿ, ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳು ಪದದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. $n^{\text{th }}$ ಪದವು ಅನುಕ್ರಮದ $n^{\text{th }}$ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು $a_n$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. $n^{\text{th }}$ ಪದವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪೂರ್ವಜರ ಅನುಕ್ರಮದ ಪದಗಳು:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

ಅಂತೆಯೇ, ಸತತ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ವಜರ ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು 10 ಪದಗಳನ್ನು (ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆ) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅನಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗದಿದ್ದರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಸತತ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಅನಂತವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮದ ವಿವಿಧ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ನಿಯಮವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ $2,4,6, \ldots$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$ \begin{aligned} & \text{ ಇಲ್ಲಿ } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. } \end{aligned} $

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಅನುಕ್ರಮದ $n^{\text{th }}$ ಪದವನ್ನು $a_n=2 n$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿ $n$ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ $1,3,5, \ldots$ ನಲ್ಲಿ, $n^{\text{th }}$ ಪದವನ್ನು $a_n=2 n-1$ ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $n$ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, $1,1,2,3,5,8, .$ ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಗೋಚರ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ $2,3,5,7, \ldots$, $n^{\text{th }}$ ನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೇವಲ ಮೌಖಿಕ ವಿವರಣೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪದಗಳನ್ನು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುವುದು ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಾರದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪದಗಳನ್ನು $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ನಾವು ಒಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೇಲಿನ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಅಥವಾ ಅದರ ಕೆಲವು ಉಪಗಣವನ್ನು ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ನಾವು $a_n$ ಗಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತ a(n) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

8.3 ಶ್ರೇಣಿಗಳು

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, ಒಂದು ನೀಡಲಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಅನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀಡಲಾದ ಅನುಕ್ರಮ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರುವಂತೆ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಿಗ್ಮಾ ಸಂಕೇತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ $\sum$ (ಸಿಗ್ಮಾ) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ಬಳಸಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಶ್ರೇಣಿ $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ ಅನ್ನು $\sum_{k=1}^{n} a_k$ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಅದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $1+3+5+7$ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು “ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊತ್ತ” ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ, ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊತ್ತವು 16 ಆಗಿದೆ.

ನಾವು ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

ಪರಿಹಾರ (i) ಇಲ್ಲಿ $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳು 7, 9 ಮತ್ತು 11 ಆಗಿವೆ.

(ii) ಇಲ್ಲಿ $a_n=\frac{n-3}{4}$. ಹೀಗಾಗಿ, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳು $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ ಮತ್ತು 0 ಆಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮದ $20^{\text{th }}$ ಪದ ಯಾವುದು? $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ ಪರಿಹಾರ $n=20$ ಅನ್ನು ಹಾಕುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಅನುಕ್ರಮ $a_n$ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

ಮೊದಲ ಐದು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇದೆ

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಐದು ಪದಗಳು $1,3,5,7$ ಮತ್ತು 9 ಆಗಿವೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಶ್ರೇಣಿಯು $1+3+5+7+9+\ldots$ ಆಗಿದೆ

8.4 ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ (G. P.)

ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಪದಗಳು ಹೇಗೆ ಪ್ರಗತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆ? ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಪದವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

(i) ರಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಬಳಿ $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಇದೆ.

(ii) ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಇದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, (iii) ರಲ್ಲಿ ಪದಗಳು ಹೇಗೆ ಪ್ರಗತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿ? ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಪದವು ತಕ್ಷಣ ಮುಂಚಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. (i) ರಲ್ಲಿ, ಈ ಸ್ಥಿರ ಅನುಪಾತವು 2 ಆಗಿದೆ; (ii) ರಲ್ಲಿ, ಅದು $-\frac{1}{3}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು (iii) ರಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಅನುಪಾತವು 0.01 ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅನುಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು G.P ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ ಅನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಪದವು ಶೂನ್ಯೇತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (ಸ್ಥಿರಾಂಕ), $k \geq 1$ ಗಾಗಿ.

$a_1=a$ ಎಂದು ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$, ಇಲ್ಲಿ $a$ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $r$ ಅನ್ನು G.P. ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ (i), (ii) ಮತ್ತು (iii) ರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $2,-\frac{1}{3}$ ಮತ್ತು 0.01 ಆಗಿವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ $n^{\text{th }}$ ಪದ ಅಥವಾ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಾವು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

$ \begin{aligned} & a=\text{ ಮೊದಲ ಪದ, } r=\text{ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ, } l=\text{ ಕೊನೆಯ ಪದ, } \\ & n=\text{ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, } \\ & S_n=\text{ ಮೊದಲ } n \text{ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ. } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P. ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ

ಮೊದಲ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪದ ‘$a$’ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ ‘$r$’ ಹೊಂದಿರುವ G.P. ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅದರ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು $a$ ಅನ್ನು $r$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ $a_2=a r$. ಅಂತೆಯೇ, ಮೂರನೇ ಪದವನ್ನು $a_2$ ಅನ್ನು $r$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

$1^{\text{st }}$ ಪದ $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ ಪದ $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ ಪದ $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ ಪದ $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ ಪದ $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

ನೀವು ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? $16^{\text{th }}$ ಪದ ಯಾವುದಾಗಿರುತ್ತದೆ?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಾದರಿಯು G.P. ನ $n^{\text{th }}$ ಪದವನ್ನು $a_n=a r^{n-1}$ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $a$, G.P. ಅನ್ನು G.P. ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರುವಂತೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿ $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ ಅಥವಾ $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

8.4.2. $n$ ಪದಗಳ $a$ G.P. ಗೆ ಮೊತ್ತ

G.P. ನ ಮೊದಲ ಪದವು $a$ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು $r$ ಆಗಿರಲಿ. G.P. ನ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಾವು $S_n$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ಪರಿಸ್ಥಿತಿ 1 $r=1$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಮ್ಮ ಬಳಿ $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ ಪದಗಳು $)=n a$ ಇರುತ್ತವೆ

ಪರಿಸ್ಥಿತಿ 2 $r \neq 1$ ಆಗಿದ್ದರೆ, (1) ಅನ್ನು $r$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇರುತ್ತದೆ

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(2) ಅನ್ನು (1) ರಿಂದ ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

ಉದಾಹರಣೆ 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ ನ $10^{\text{th }}$ ಮತ್ತು $n^{\text{th }}$ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ $a=5$ ಮತ್ತು $r=5$. ಹೀಗಾಗಿ, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$ ಮತ್ತು $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$.

ಉದಾಹರಣೆ 5 G.P., 2,8,32,… ನ $n$ ಪದಗಳವರೆಗೆ ಯಾವ ಪದವು 131072 ಆಗಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ 131072 ಅನ್ನು ನೀಡಲಾದ G.P. ನ $n^{\text{th }}$ ಪದವಾಗಿರಲಿ. ಇಲ್ಲಿ $a=2$ ಮತ್ತು $r=4$.

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ ಅಥವಾ $65536=4^{n-1}$

ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ $\quad 4^{8}=4^{n-1}$.

ಆದ್ದರಿಂದ $n-1=8$, ಅಂದರೆ, $n=9$. ಆದ್ದರಿಂದ, 131072 ಎಂಬುದು G.P. ನ $9^{\text{th }}$ ಪದವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಒಂದು G.P. ನಲ್ಲಿ, $3^{\text{rd }}$ ಪದವು 24 ಮತ್ತು $6^{\text{th }}$ ಪದವು 192 ಆಗಿದೆ. $10^{\text{th }}$ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

ಮತ್ತು $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) ಅನ್ನು (1) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $r=2$. (1) ರಲ್ಲಿ $r=2$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $a=6$.

ಆದ್ದರಿಂದ $a _{10}=6(2)^{9}=3072$.

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಶ್ರೇಣಿ $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$ ನ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಮೊದಲ 5 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ $a=1$ ಮತ್ತು $r=\frac{2}{3}$. ಆದ್ದರಿಂದ

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$.

ಉದಾಹರಣೆ 8 G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ ನ ಎಷ್ಟು ಪದಗಳು $sum \frac{3069}{512} ?$ ನೀಡಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ $n$ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. $a=3, r=\frac{1}{2}$ ಮತ್ತು $S_n=\frac{3069}{512}$ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಯಾವುದರಿಂದ $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

ಆದ್ದರಿಂದ $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

ಅಥವಾ $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad \frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

ಅಥವಾ $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ which gives } n=10$

ಉದಾಹರಣೆ 9 G.P. ನ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು $\frac{13}{12}$ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು -1 ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ ಮತ್ತು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $\frac{a}{r}, a$, ar ಗಳು G.P. ನ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ಮತ್ತು $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) ರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $a^{3}=-1$, ಅಂದರೆ, $a=-1$ (ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿ)

(1) ರಲ್ಲಿ $a=-1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇದೆ

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ or } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $$

ಇದು $r$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $r=-\frac{3}{4}$ ಅಥವಾ $-\frac{4}{3}$.

ಹೀಗಾಗಿ, G.P. ನ ಮೂರು ಪದಗಳು: $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$ ಗಾಗಿ $r=\frac{-3}{4}$ ಮತ್ತು $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$ ಗಾಗಿ $r=\frac{-4}{3}$,

ಉದಾಹರಣೆ10 ಅನುಕ್ರಮ 7, 77, 777, 7777, … ನ $n$ ಪದಗಳವರೆಗಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಇದು G.P. ಅಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪದಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅದನ್ನು G.P. ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಬಹುದು

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ to } n \text{ terms } $ $ \begin{aligned} & =\frac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ to } n \text{ term }] \\ & =\frac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+(10^{4}-1)+\ldots n \text{ terms }] \\ & =\frac{7}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+\ldots n \text{ terms })-(1+1+1+\ldots n \text{ terms })] \\ & =\frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]=\frac{7}{9}\left[\frac{10(10^{n}-1)}{9}-n \right] . \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 11 ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ 2 ತಂದೆತಾಯಂದಿರು, 4 ಅಜ್ಜ-ಅಜ್ಜಿಯರು, 8 ಮುತ್ತಜ್ಜ-ಮುತ್ತಜ್ಜಿಯರು, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಇದ್ದಾರೆ. ಅವನ ಸ್ವಂತದ ಹಿಂದಿನ ಹತ್ತು ತಲೆಮಾರುಗಳಲ್ಲಿ ಅವನ ಪೂರ್ವಜರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ $a=2, r=2$ ಮತ್ತು $n=10$

ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ $\quad S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$

ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇದೆ $ \quad\quad\quad\quad S_{10}=2(2^{10}-1)=2046 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಪೂರ್ವಜರ ಸಂಖ್ಯೆಯು 2046 ಆಗಿದೆ.

8.4.3 ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ (G.M.)

ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯು $\sqrt{a b}$ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ಮತ್ತು 8 ರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಯು 4 ಆಗಿದೆ. ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $2,4,8$ G.P. ನ ಸತತ ಪದಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು $a$ ಮತ್ತು $b$ ನೀಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅನುಕ್ರಮವು G.P. ಆಗುವಂತೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ನಾವು ಇಷ್ಟವಿದ್ದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು.

$G_1, G_2, \ldots, G_n$ ಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $a$ ಮತ್ತು $b$ ನಡುವೆ $n$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ $a, G_1, G_2, G_3, \ldots, G_n, b$ ಒಂದು G.P. ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $b$ $(n+2)^{\text{th }}$ ಪದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇದೆ

$ b=a r^{n+1}, \quad \text{ ಅಥವಾ } \quad r=(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}} \text{. } $

ಆದ್ದರಿಂದ $G_1=a r=a(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}, G_2=a r^{2}=a(\frac{b}{a})^{\frac{2}{n+1}}, G_3=a r^{3}=a(\frac{b}{a})^{\frac{3}{n+1}}$,

$$ G_n=a r^{n}=a(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n+1}} $$

ಉದಾಹರಣೆ12