ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು, ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ, ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಮಾನವೀಯ ಚೇತನದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸಲು ಒಂದು ಸಾಧನ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. - H. ಫ್ರೂಡೆಂಥಾಲ್

9.1 ಪರಿಚಯ

ನಾವು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಿಂದ ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫ್ರೆಂಚ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರು 1637 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ‘ಲಾ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ’ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದರು. ಈ ಪುಸ್ತಕವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸಿತು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಈಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲ, ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು,

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ, ವಿಭಾಗ ಸೂತ್ರಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ.

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ನಾವು ಮಾಡೋಣ. ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು, XY-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ $(6,-4)$ ಮತ್ತು $(3,0)$ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಚಿತ್ರ 9.1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ. 9.1

$(6,-4)$ ಬಿಂದುವು ಧನಾತ್ಮಕ $x$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾದ $y$-ಅಕ್ಷದಿಂದ 6 ಘಟಕಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ $y$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾದ $x$-ಅಕ್ಷದಿಂದ 4 ಘಟಕಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, $(3,0)$ ಬಿಂದುವು ಧನಾತ್ಮಕ $x$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾದ $y$-ಅಕ್ಷದಿಂದ 3 ಘಟಕಗಳ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು $x$-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಶೂನ್ಯ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೂತ್ರಗಳು:

ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ:

I. $P(x_1, y_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2)$ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $(6,-4)$ ಮತ್ತು $(3,0)$ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. $(x_1, y_1)$ ಮತ್ತು $(x_2, y_2)$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ, $m: n$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A $(1,-3)$ ಮತ್ತು $B(-3,9)$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ, $1: 3$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

III. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, $m=n$ ಆದರೆ, $(x_1, y_1)$ ಮತ್ತು $(x_2, y_2)$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.

IV. ಶೃಂಗಗಳು $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ ಮತ್ತು $(x_3, y_3)$ ಆಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೃಂಗಗಳು $(4,4),(3,-2)$ ಮತ್ತು $(-3,16)$ ಆಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

ಟಿಪ್ಪಣಿ ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು $A, B$ ಮತ್ತು $C$ ಒಂದೇ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಸರಳರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿ - ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ರೇಖೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಅನುಭವಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಮುಖ್ಯ ಗಮನವಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಇಳಿಜಾರು ಅತ್ಯಂತ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ.

9.2 ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ರೇಖೆಯು $x$-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ರೇಖೆ $l$ ಧನಾತ್ಮಕ $x$-ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ಕೋನ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) $\theta$ ಮತ್ತು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದು ರೇಖೆಯ ಒಲವು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (ಚಿತ್ರ 9.2).

ಚಿತ್ರ 9.2

$x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ $x$-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರೇಖೆಗಳು $0^{\circ}$ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ($y$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ) ಒಲವು $90^{\circ}$.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 $\theta$ ರೇಖೆ $l$ ನ ಒಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $\tan \theta$ ರೇಖೆ $l$ ನ ಇಳಿಜಾರು ಅಥವಾ ಪ್ರವಣತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಒಲವು $90^{\circ}$ ಆಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು $m$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ $x$-ಅಕ್ಷದ ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷದ ಇಳಿಜಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

9.2.1 ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು

ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿತವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.

$P(x_1, y_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2)$ ಅಲಂಬವಲ್ಲದ ರೇಖೆ $l$ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅದರ ಒಲವು $\theta$. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $x_1 \neq x_2$, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ರೇಖೆಯು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಇಳಿಜಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖೆ $l$ ನ ಒಲವು ಲಘು ಅಥವಾ ಗುರು ಆಗಿರಬಹುದು. ಈ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಲಂಬಗಳನ್ನು $QR$ ನ್ನು $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಮತ್ತು $PM$ ನ್ನು $RQ$ ಗೆ ಚಿತ್ರ 9.3 (i) ಮತ್ತು (ii) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಸಂದರ್ಭ 1 ಕೋನ $\theta$ ಲಘುವಾಗಿರುವಾಗ:

ಚಿತ್ರ 9.3

(i) ರಲ್ಲಿ, $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆ $l=m=\tan \theta$ ನ ಇಳಿಜಾರು.

ಆದರೆ $\triangle MPQ$ ರಲ್ಲಿ, ನಾವು $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

ಸಂದರ್ಭ II ಕೋನ $\theta$ ಗುರು ಆಗಿರುವಾಗ:

ಚಿತ್ರ 9.3

(ii) ರಲ್ಲಿ, ನಾವು $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$.

ಈಗ, ರೇಖೆ $l=m=\tan \theta$ ನ ಇಳಿಜಾರು.

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ $(x_1, y_1)$ ಮತ್ತು $(x_2, y_2)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು $m$ ಅನ್ನು $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

9.2.2 ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಅಲಂಬವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು $l_1$ ಮತ್ತು $l_2$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇಳಿಜಾರುಗಳು $m_1$ ಮತ್ತು $m_2$ ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳ ಒಲವುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\alpha$ ಮತ್ತು $\beta$ ಆಗಿರಲಿ. ರೇಖೆ $\boldsymbol{l_1}$ ಯು $\boldsymbol{l_2}$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 9.4), ಆಗ ಅವುಗಳ ಒಲವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ,

ಚಿತ್ರ 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, } \tan \alpha=\tan \beta $

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad m _{1}=m _{2}$, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ವಿಪರ್ಯಯವಾಗಿ, ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ $l_1$ ಮತ್ತು $l_2$ ನ ಇಳಿಜಾರು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ,

$$ m_1=m_2 $$

ಆಗ

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಫಲನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ($0^{\circ}$ ಮತ್ತು $180^{\circ}$ ನಡುವೆ), $\alpha=\beta$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಅಲಂಬವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು $l_1$ ಮತ್ತು $l_2$ ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ.

ರೇಖೆಗಳು $ \boldsymbol{l_1 } $ ಮತ್ತು $\boldsymbol{l_2 } $ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 9.5), ಆಗ $\beta=\alpha+90^{\circ}$.

ಚಿತ್ರ 9.5

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

ಅಂದರೆ, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ ಅಥವಾ $\quad m_1 m_2=-1$

ವಿಪರ್ಯಯವಾಗಿ, $m_1 m_2=-1$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, $\tan \alpha \tan \beta=-1$.

ಆಗ $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ ಅಥವಾ $\tan (\beta-90^{\circ})$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\alpha$ ಮತ್ತು $\beta$ ಗಳು $90^{\circ}$ ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳು $l_1$ ಮತ್ತು $l_2$ ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಅಲಂಬವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಋಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ,

ಅಂದರೆ, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ ಅಥವಾ, $m_1 m_2=-1$.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರೇಖೆಗಳ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(ಎ) $(3,-2)$ ಮತ್ತು $(-1,4)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ,

(ಬಿ) $(3,-2)$ ಮತ್ತು $(7,-2)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ,

(ಸಿ) $(3,-2)$ ಮತ್ತು $(3,4)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ,

(ಡಿ) ಧನಾತ್ಮಕ $x$-ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ $60^{\circ}$ ಒಲವನ್ನು ಮಾಡುವ.

ಪರಿಹಾರ (ಎ) $(3,-2)$ ಮತ್ತು $(-1,4)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(ಬಿ) $(3,-2)$ ಮತ್ತು $(7,-2)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(ಸಿ) $(3,-2)$ ಮತ್ತು $(3,4)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. } $

(ಡಿ) ಇಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಒಲವು $\alpha=60^{\circ}$. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ನಾವು ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿದಾಗ, ಆ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

$L_1$ ಮತ್ತು $L_2$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇಳಿಜಾರುಗಳು $m_1$ ಮತ್ತು $m_2$ ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಅಲಂಬವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ರೇಖೆಗಳು $L_1$ ಮತ್ತು $L_2$ ಗಳ ಒಲವುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\alpha_1$ ಮತ್ತು $\alpha_2$ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಆಗ

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಿದಾಗ, ಅವು ಲಂಬವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳ ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ $180^{\circ}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ರೇಖೆಗಳು $L_1$ ಮತ್ತು $L_2$ ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು $\theta$ ಮತ್ತು $\phi$ ಆಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 9.6). ಆಗ

ಚಿತ್ರ 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

ಆದ್ದರಿಂದ $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ ಏಕೆಂದರೆ $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ ಮತ್ತು $\phi=180^{\circ}-\theta$

ಆದ್ದರಿಂದ $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, ಏಕೆಂದರೆ $1+m_1 m_2 \neq 0$

ಈಗ, ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ:

ಸಂದರ್ಭ I $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $\tan \theta$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\tan \phi$ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಅರ್ಥ $\theta$ ಲಘುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\phi$ ಗುರು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂದರ್ಭ II $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $\tan \theta$ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\tan \phi$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಅರ್ಥ $\theta$ ಗುರು ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\phi$ ಲಘುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $m_1$ ಮತ್ತು $m_2$ ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಗಳು $L_1$ ಮತ್ತು $L_2$ ಗಳ ನಡುವಿನ ಲಘು ಕೋನ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\theta$) ಅನ್ನು

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ ಏಕೆಂದರೆ } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಗುರು ಕೋನವನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\phi$) $\phi=180^{\circ}-\theta$ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ $\frac{\pi}{4}$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು $\frac{1}{2}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಇಳಿಜಾರುಗಳು $m_1$ ಮತ್ತು $m_2$ ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಲಘು ಕೋನ $\theta$ ಅನ್ನು

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

$m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$ ಮತ್ತು $\theta=\frac{\pi}{4}$ ಆಗಿರಲಿ.

ಈಗ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ or } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

ಇದು $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ ಅಥವಾ $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ $m=3$ ಅಥವಾ $m=-\frac{1}{3}$.

ಹೀಗಾಗಿ, ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು 3 ಅಥವಾ $-\frac{1}{3}$. ಎರಡು ಉತ್ತರಗಳ ಕಾರಣವನ್ನು ಚಿತ್ರ 9.7 ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 9.7

ಉದಾಹರಣೆ 3 $(-2,6)$ ಮತ್ತು $(4,8)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯು $(8,12)$ ಮತ್ತು $(x, 24)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ. $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $(-2,6)$ ಮತ್ತು $(4,8)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

$(8,12)$ ಮತ್ತು $(x, 24)$ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, $m_1 m_2=-1$, ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ or } x=4 \text{. } $$

9.3 ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳು

ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು ಅದರ ಮೇಲೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಸಂಬಂಧವು ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡುತ್ತದೆ:

ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುವು ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಗೆ ಹೇಳಬಹುದು? ಇದರ ಉತ್ತರವು ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗಾಗಿ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಷರತ್ತು ನಮಗೆ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಇರಬಹುದು. $P(x, y)$ XY-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $L$ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. $L$ ರ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಬಿಂದು $P$ ಗಾಗಿ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆ ಅಥವಾ ಷರತ್ತನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ, $P$ ಯು $L$ ಮೇಲೆ ಇದ್ದಾಗ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸುಳ್ಳು. ಸಹಜವಾಗಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ಕೇವಲ ಚರಾಕ್ಷರಗಳು $x$ ಮತ್ತು $y$ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈಗ, ನಾವು ವಿವಿಧ ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

9.3.1 ಸಮಾಂತರ ಮತ್ತು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳು

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆ $L$ ಯು $x$ ಅಕ್ಷದಿಂದ $a$ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಆಗ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಲಂಬಕೋಟಿ ಯಾವುದೇ $a$ ಅಥವಾ $-a$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ [ಚಿತ್ರ 9.8 (ಎ)]. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆ $L$ ನ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ $y=a$ ಅಥವಾ $y=-a$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ರೇಖೆಯು $y$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ ಇರುವುದರ ಪ್ರಕಾರ ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $y$-ಅಕ್ಷದಿಂದ $b$ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ $x=b$ ಅಥವಾ $x=-b$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ [ಚಿತ್ರ 9.8(ಬಿ)].

ಉದಾಹರಣೆ 4 $(-2,3)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 9.9

ಪರಿಹಾರ ರೇಖೆಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಚಿತ್ರ 9.9 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. $x$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ $y$-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು $(-2,3)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ $y=3$ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $y$-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು $(-2,3)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ $x=-2$ ಆಗಿದೆ.

9.3.2 ಬಿಂದು-ಇಳಿಜಾರು ರೂಪ

$P_0(x_0, y_0)$ ಅಲಂಬವಲ್ಲದ ರೇಖೆ $L$ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಇಳಿಜಾರು $m$. $P(x, y)$ L ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 9.10).

ಚಿತ್ರ 9.10

ಆಗ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, $L$ ನ ಇಳಿಜಾರನ್ನು

$ m=\frac{y-y_0}{x-x_0} \text{, ಅಂದರೆ, } y-y_0=m(x-x_0