13.1 ಪರಿಚಯ

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವರ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕದ ಚಲನೆ. ಈ ಎರಡೂ ಚಲನೆಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಲ್ಲ. ಸೌರಮಂಡಲದಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಗಳ ಏಕರೂಪ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೀಯ ಚಲನೆಯ ಬಗ್ಗೆಯೂ ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಚಲನೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯಾಂತರದ ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಬಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ತೊಟ್ಟಿಲಲ್ಲಿ ಓಲಾಡುವುದು ಅಥವಾ ಉಯ್ಯಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಉಯ್ಯಾಲೆ ಆಡುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸಿರಬೇಕು. ಈ ಎರಡೂ ಚಲನೆಗಳು ಸ್ವಭಾವತಃ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಗ್ರಹದ ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುವು ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ಹಿಂದೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಗೋಡೆಯ ಗಡಿಯಾರದ ಲೋಲಕವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಆವರ್ತಕ ಮುಂದೆ-ಹಿಂದೆ ಚಲನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೇರಳವಾಗಿವೆ: ನದಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ-ಕೆಳಗೆ ತೂಗಾಡುವ ದೋಣಿ, ಉಗಿ ಎಂಜಿನ್ನಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ-ಮುಂದೆ ಹೋಗುವ ಪಿಸ್ಟನ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಚಲನೆಯನ್ನು ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ; ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅದರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಿತಾರ್, ಗಿಟಾರ್ ಅಥವಾ ಪಿಟೀಲು ನಂತಹ ಸಂಗೀತ ವಾದ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಆಹ್ಲಾದಕರ ಧ್ವನಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಂಪಿಸುವ ತಂತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಡ್ರಮ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪೊರೆಗಳು ಮತ್ತು ಟೆಲಿಫೋನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪೀಕರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿನ ಡಯಾಫ್ರಾಮ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ-ಹಿಂದೆ ಕಂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಗಾಳಿಯ ಅಣುಗಳ ಕಂಪನಗಳು ಧ್ವನಿಯ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಘನವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ, ಪರಮಾಣುಗಳು ಅವುಗಳ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಕಂಪನಗಳ ಸರಾಸರಿ ಶಕ್ತಿಯು ತಾಪಮಾನಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಎಸಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಬರಾಜು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ (ಶೂನ್ಯ) ಬಗ್ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೋಗುವ ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆಗೆ ಕಾಲಾವಧಿ, ಆವರ್ತನ, ಸ್ಥಾನಾಂತರ, ವಿಸ್ತಾರ ಮತ್ತು ಪ್ರಾವಸ್ಥೆ ನಂತಹ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

13.2 ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಗಳು

ಚಿತ್ರ 13.1 ಕೆಲವು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕೀಟವು ರಾಂಪ್ ಅನ್ನು ಏರಿ ಕೆಳಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಸಮಯದ ವಿರುದ್ಧ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು ಚಿತ್ರ 13.1 (a) ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮಗು ಮೆಟ್ಟಿಲನ್ನು ಏರಿ, ಕೆಳಗೆ ಬಂದು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಅದರ ಎತ್ತರವು ಚಿತ್ರ 13.1 (b) ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ನೀವು ನೆಲದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಅಂಗೈ ಮತ್ತು ನೆಲದ ನಡುವೆ ಬೌನ್ಸ್ ಮಾಡುವ ಆಟವನ್ನು ಆಡುವಾಗ, ಅದರ ಎತ್ತರ ವಿರುದ್ಧ ಸಮಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಚಿತ್ರ 13.1 (c) ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 13.1 (c) ನಲ್ಲಿನ ಎರಡೂ ಬಾಗಿದ ಭಾಗಗಳು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪರವಲಯದ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ವಿಭಾಗ 2.6 ನೋಡಿ),

$h=u t+\frac{1}{2} g t^{2}$ ಕೆಳಗಿನ ಚಲನೆಗೆ, ಮತ್ತು

$h=u t-\frac{1}{2} g t^{2}$ ಮೇಲ್ಮುಖ ಚಲನೆಗೆ,

ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ $u$. ಇವು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಯಮಿತ ಸಮಯಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಚಲನೆಯನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 13.1 ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ ಅವಧಿ T.

ಬಹಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವ ದೇಹವು ಅದರ ಮಾರ್ಗದ ಒಳಗೆ ಎಲ್ಲೋ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ದೇಹವು ಈ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿವ್ವಳ ಬಾಹ್ಯ ಬಲವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಅಲ್ಲಿಯೇ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಟ್ಟರೆ, ಅದು ಅಲ್ಲಿಯೇ ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ದೇಹವನ್ನು ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಥಾನಾಂತರಿಸಿದರೆ, ದೇಹವನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಒಂದು ಬಲವು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಂದೋಲನಗಳು ಅಥವಾ ಕಂಪನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೌಲ್ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾದ ಚೆಂಡು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಥಾನಾಂತರಗೊಂಡರೆ, ಅದು ಬೌಲ್ನಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಯೂ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯೂ ಆಂದೋಲಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಲನೆಯು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಆಂದೋಲಕವಲ್ಲ.

ಆಂದೋಲನಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪನಗಳ ನಡುವೆ ಗಮನಾರ್ಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ. ಆವರ್ತನವು ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಆಂದೋಲನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮರದ ಕೊಂಬೆಯ ಆಂದೋಲನ), ಆವರ್ತನವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಪನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಗೀತ ವಾದ್ಯದ ತಂತಿಯ ಕಂಪನ).

ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಯು ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಯ ಸರಳ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆಂದೋಲಿಸುವ ದೇಹದ ಮೇಲಿನ ಬಲವು ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಅದರ ಸ್ಥಾನಾಂತರಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಈ ಚಲನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅದರ ಆಂದೋಲನದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಬಲವು ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಾನದ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಆಂದೋಲಿಸುವ ದೇಹಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಘರ್ಷಣೆ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಲೀನಕಾರಿ ಕಾರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ನಂದಿಸುವಿಕೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಬಾಹ್ಯ ಆವರ್ತಕ ಏಜೆನ್ಸಿಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಆಂದೋಲಿಸುವಂತೆ ಒತ್ತಾಯಿಸಬಹುದು. ನಾವು ನಂದಿದ ಮತ್ತು ಬಲವಂತದ ಆಂದೋಲನಗಳ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಾಯದ ನಂತರ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವುದೇ ವಸ್ತು ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು ಬೃಹತ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಆಂದೋಲಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಮಾಧ್ಯಮದ ಘಟಕಗಳ ಸಾಮೂಹಿಕ ಆಂದೋಲನಗಳು ತರಂಗಗಳಾಗಿ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತವೆ. ತರಂಗಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ತರಂಗಗಳು, ಭೂಕಂಪನ ತರಂಗಗಳು, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ತರಂಗಗಳು ಸೇರಿವೆ. ನಾವು ಮುಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ತರಂಗ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

13.2.1 ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನ

ಯಾವುದೇ ಚಲನೆಯು ನಿಯಮಿತ ಸಮಯಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನನ್ನು ತಾನೇ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಚಲನೆಯು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯಾಂತರವನ್ನು ಅದರ ಅವಧಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಧಿಯನ್ನು $T$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅದರ SI ಘಟಕವು ಸೆಕೆಂಡ್ ಆಗಿದೆ. ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಅವು ಸೆಕೆಂಡ್ಗಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ತುಂಬಾ ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಸಮಯದ ಇತರ ಅನುಕೂಲಕರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಸ್ಫಟಿಕದ ಕಂಪನಗಳ ಅವಧಿಯನ್ನು ಮೈಕ್ರೋಸೆಕೆಂಡ್ಗಳ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ $\left(10^{-6} \mathrm{~s}\right)$ $\mu \mathrm{s}$ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಗ್ರಹ ಬುಧದ ಕಕ್ಷೀಯ ಅವಧಿಯು 88 ಭೂಮಿಯ ದಿನಗಳು. ಹ್ಯಾಲಿಯ ಧೂಮಕೇತು ಪ್ರತಿ 76 ವರ್ಷಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

$T$ ನ ಪರಸ್ಪರವು ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಆವರ್ತನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು $v$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. $v$ ಮತ್ತು $T$ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು

$$ \begin{equation*} v=1 / T \tag{13.1} \end{equation*} $$

$v$ ನ ಘಟಕವು ಹೀಗೆ $\mathrm{s}^{-1}$ ಆಗಿದೆ. ರೇಡಿಯೋ ತರಂಗಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ ಹೆನ್ರಿಕ್ ರುಡೋಲ್ಫ್ ಹರ್ಟ್ಜ್ (1857-1894) ನ ನಂತರ, ಆವರ್ತನದ ಘಟಕಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹರ್ಟ್ಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ($\mathrm{Hz}$ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗಿದೆ). ಹೀಗೆ,

1 ಹರ್ಟ್ಜ್ $=1 \mathrm{~Hz}=1$ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಆಂದೋಲನ $=1 \mathrm{~s}^{-1}$

ಗಮನಿಸಿ, ಆವರ್ತನ $v$ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 13.1 ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ಮಾನವ ಹೃದಯವು ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ 75 ಬಾರಿ ಬಡಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಅದರ ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ಅವಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಉತ್ತರ ಹೃದಯದ ಬೀಟ್ ಆವರ್ತನ $=75 /(1 \mathrm{~min})$

$$ \begin{aligned} & =75 /(60 \mathrm{~s}) \\ & =1.25 \mathrm{~s}^{-1} \\ & =1.25 \mathrm{~Hz} \\ \text { The time period } T \quad & =1 /\left(1.25 \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =0.8 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

13.2.2 ಸ್ಥಾನಾಂತರ

ವಿಭಾಗ 3.2 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಣದ ಸ್ಥಾನಾಂತರವನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಭೌತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉಕ್ಕಿನ ಚೆಂಡಿನ ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರವು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಸ್ಥಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯು ಅನುಕೂಲದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ನ ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಗೋಡೆಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ [ಚಿತ್ರ 13.2(ಎ) ನೋಡಿ]. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ದೇಹದ ಸ್ಥಾನಾಂತರವನ್ನು ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಅಳೆಯುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಆಂದೋಲಿಸುವ ಸರಳ ಲೋಲಕಕ್ಕೆ, ಲಂಬದಿಂದ ಕೋನವನ್ನು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು [ಚಿತ್ರ 13.2(ಬಿ) ನೋಡಿ]. ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಪದವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಾನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇತರ ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಇರಬಹುದು. ಕೆಪಾಸಿಟರ್ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ವೋಲ್ಟೇಜ್, $\mathrm{AC}$ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಧ್ವನಿ ತರಂಗದ ಪ್ರಸರಣದಲ್ಲಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಬೆಳಕಿನ ತರಂಗದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಾಂತರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಥಾನಾಂತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆಂದೋಲನಗಳ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 13.2(ಎ) ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಬ್ಲಾಕ್, ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಗೋಡೆಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ಲಾಕ್ ಘರ್ಷಣಾರಹಿತ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ಲಾಕ್ನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಅದರ ದೂರ ಅಥವಾ ಸ್ಥಾನಾಂತರ x ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು

ಚಿತ್ರ 13.2(ಬಿ) ಆಂದೋಲಿಸುವ ಸರಳ ಲೋಲಕ; ಅದರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಲಂಬದಿಂದ ಕೋನೀಯ ಸ್ಥಾನಾಂತರ θ ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಸ್ಥಾನಾಂತರವನ್ನು ಸಮಯದ ಗಣಿತೀಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} f(t)=A \cos \omega t \tag{13.3a} \end{equation*} $$

ಈ ಕಾರ್ಯದ ವಾದವಾದ $\omega t$, $2 \pi$ ರೇಡಿಯನ್ಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಕದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ $f(t)$ ನಂತರ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಧಿ, $T$, ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} T=\frac{2 \pi}{\omega} \tag{13.3b} \end{equation*} $$

ಹೀಗೆ, ಕಾರ್ಯ $f(t)$ ಅವಧಿ $T$ ನೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ,

$$ f(t)=f(t+T) $$

ನಾವು ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, $f(t)=A \sin \omega t$, ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು,

$$ \begin{equation*} f(t)=A \sin \omega t+B \cos \omega t \tag{13.3c} \end{equation*} $$

ಅದೇ ಅವಧಿ $T$ ನೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು,

$$ A=D \cos \phi \text { and } B=D \sin \phi $$

ಸಮೀಕರಣ (13.3c) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು,

$$ \begin{equation*} f(t)=D \sin (\omega t+\phi), \tag{13.3d} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $D$ ಮತ್ತು $\phi$ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ನೀಡಲಾಗಿವೆ

$$ D=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \text { and } \varphi=\tan ^{-1} \frac{B}{A} $$

ಆವರ್ತಕ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಹಾನ್ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜೀನ್ ಬ್ಯಾಪ್ಟಿಸ್ಟ್ ಜೋಸೆಫ್ ಫೋರಿಯರ್ (1768-1830) ರಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದಾಗಿದೆ: ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಯದ ಅವಧಿಗಳ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಆಗಿ ಸೂಕ್ತ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 13.2 ಸಮಯದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು (a) ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು (b) ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ? ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೂ ಅವಧಿಯನ್ನು ನೀಡಿ [$\omega$ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ]

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$

(ii) $\sin \omega t+\cos 2 \omega t+\sin 4 \omega t$

(iii) $\mathrm{e}^{-\omega t}$

(iv) $\log (\omega t)$

ಉತ್ತರ

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$ ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)$ ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಈಗ $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)=\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4+2 \pi)$

$$=\sqrt{2} \sin [\omega(\mathrm{t}+2 \pi / \omega)+\pi / 4]$$

ಕಾರ್ಯದ ಆವರ್ತಕ ಸಮಯವು $2 \pi / \omega$ ಆಗಿದೆ.

(ii) ಇದು ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪದವು ವಿಭಿನ್ನ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಅವಧಿಯು ಕಾರ್ಯವು ತನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ನಂತರದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, $\sin \omega t$ ಅವಧಿ $T_{0}=2 \pi / \omega ; \cos 2 \omega t$ ಅವಧಿ $\pi / \omega=T_{0} / 2$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು $\sin 4 \omega t$ ಅವಧಿ $2 \pi / 4 \omega=T_{o} / 4$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪದದ ಅವಧಿಯು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳ ಅವಧಿಗಳ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ನಂತರದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯಾಂತರವು $T_{0}$ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊತ್ತವು ಅವಧಿ $2 \pi / \omega$ ನೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

(iii) ಕಾರ್ಯ $e^{-\omega t}$ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲ, ಇದು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $t \rightarrow \infty$ ಆಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ, ತನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

(iv) ಕಾರ್ಯ $\log (\omega t)$ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ $t$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ತನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. $t \rightarrow \infty, \log (\omega t)$ $\infty$ ಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಭೌತಿಕ ಸ್ಥಾನಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

13.3 ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆ

ಚಿತ್ರ 13.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ಹಿಂದೆ ಆಂದೋಲಿಸುವ ಕಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕಣದ ಸ್ಥಾನಾಂತರ $x$ ಮೂಲದಿಂದ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಹೀಗೆ ಬದಲಾದರೆ ಈ ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಯು ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

$$ \begin{equation*} x(t)=A \cos (\omega t+\phi) \tag{13.4} \end{equation*} $$

ಚಿತ್ರ 13.3 x-ಅಕ್ಷದ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ಹಿಂದೆ ಕಂಪಿಸುವ ಕಣ,

• A ಮತ್ತು –A ನ ಮಿತಿಗಳ ನಡುವೆ.

ಇಲ್ಲಿ $A, \omega$ ಮತ್ತು $\phi$ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆ (SHM) ಯಾವುದೇ ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯಲ್ಲ ಆದರೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರವು ಸಮಯದ ಸೈನುಸಾಯ್ಡಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಆಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 13.4 SHM ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಣದ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಸಮಯಾಂತರವು $T / 4$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $T$ ಚಲನೆಯ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 13.5 $x$ ವಿರುದ್ಧ $t$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಾನಾಂತರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಗಳು $A$, $\omega$ ಮತ್ತು $\phi$ ಇದು ನೀಡಲಾದ SHM ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಹೆಸರುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಚಿತ್ರ 13.6 ರಲ್ಲಿ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚಿತ್ರ 13.4 t = 0, T/4, T/2, 3T/4, T, 5T/4 ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ SHM ನಲ್ಲಿ ಕಣದ ಸ್ಥಳ. ಚಲನೆಯು ತನ್ನನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಸಮಯ T ಆಗಿದೆ. ನೀವು ಆರಂಭಿಕ (t = 0) ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಯಾವ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡರೂ T ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೇಗವು ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಾನಾಂತರಕ್ಕೆ (x = 0 ನಲ್ಲಿ) ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ತೀವ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

SHM ನ ವಿಸ್ತಾರ $A$ ಕಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಥಾನಾಂತರದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. [ಗಮನಿಸಿ, $A$ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು]

ಚಿತ್ರ 13.5 ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಚಲನೆಗಾಗಿ ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಾನಾಂತರ.

ಚಿತ್ರ 13.6 ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅರ್ಥ (13.4)

ಸಮಯದ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು +1 ರಿಂದ -1