2.1 ಪರಿಚಯ

ಚಲನೆ ಎಂಬುದು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದುದು. ನಾವು ನಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಓಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸೈಕಲ್ ಚಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ನಿದ್ರಿಸುತ್ತಿರುವಾಗಲೂ ಗಾಳಿಯು ನಮ್ಮ ಶ್ವಾಸಕೋಶಗಳೊಳಗೆ ಹೋಗಿ ಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರಕ್ತವು ಧಮನಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಿರೆಗಳಲ್ಲಿ ಹರಿಯುತ್ತದೆ. ಮರಗಳಿಂದ ಎಲೆಗಳು ಬೀಳುವುದನ್ನು ಮತ್ತು ನೀರು ಅಣೆಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಹರಿಯುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೋಟಾರು ವಾಹನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳು ಜನರನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಥಳದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಸಾಗಿಸುತ್ತವೆ. ಭೂಮಿಯು ಪ್ರತಿ ಇಪ್ಪತ್ತನಾಲ್ಕು ಗಂಟೆಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ತನ್ನ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ವರ್ಷಕ್ಕೊಮ್ಮೆ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂರ್ಯನೇ ಮಿಲ್ಕಿ ವೇ ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿದ್ದು, ಅದು ತನ್ನ ಸ್ಥಳೀಯ ಗೆಲಕ್ಸಿಗಳ ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಮತ್ತೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ.

ಚಲನೆ ಎಂದರೆ ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆ. ಸ್ಥಾನವು ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ? ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ವರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಏಕರೂಪ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗಿನ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಚಲನೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮ ಚರ್ಚೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಿಂದು ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಗಾತ್ರವು ಸಮಂಜಸವಾದ ಸಮಯಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ಚಲಿಸುವ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಸರಿಸುಮಾರು ಊಹೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಜಜೀವನದ ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ದೋಷವಿಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಿಂದು-ಸದೃಶ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚಲನೆಯ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸದೆ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕಾರಣಗಳು ಅಧ್ಯಾಯ 4 ರ ವಿಷಯವಸ್ತುವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

2.2 ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ

ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು ಒಂದು ವಸ್ತುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಆ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ t ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವೇಗ v ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗವನ್ನು ಸಮಯಾವಧಿ ${\Delta T}$ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗುವಂತೆ ಸರಾಸರಿ ವೇಗದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ,

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ lim ∆t→0 ಎಂಬುದು ∆tg0 ಆಗುವಂತೆ ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರಾಶಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣ (2.1a) ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ರಾಶಿಯು t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ x ನ ವಿಕಲನ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪರಿಶಿಷ್ಟ 2.1 ನೋಡಿ). ಇದು ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಕಾಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಾನದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ.

ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣ (2.1a) ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ. ನಾವು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ t = 4 s (ಬಿಂದು P) ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಚಿತ್ರ 2.1 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಕಾರಿನ ಚಲನೆಗಾಗಿ. ನಾವು ∆t = 2 s ಅನ್ನು t = 4 s ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಂತರ, ಸರಾಸರಿ ವೇಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ರೇಖೆ $P_1P_2$ (ಚಿತ್ರ 2.1) ನ ಇಳಿಜಾರು 3 s ನಿಂದ 5 s ವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರದ ಸರಾಸರಿ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರ 2.1 ಸ್ಥಾನ-ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ವೇಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. t = 4 s ನಲ್ಲಿ ವೇಗವು ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು.

ಈಗ, ನಾವು $\Delta t$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $2 \mathrm{~s}$ ನಿಂದ 1 s ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ರೇಖೆ $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ ಆಗುತ್ತದೆ $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ ಮತ್ತು ಅದರ ಇಳಿಜಾರು $3.5 \mathrm{~s}$ ನಿಂದ $4.5 \mathrm{~s}$ ವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರದ ಸರಾಸರಿ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ $\Delta t \rightarrow 0$, ರೇಖೆ $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ-ಕಾಲ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $t$ $=4 \mathrm{~s}$ ನಲ್ಲಿ ವೇಗವು ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತೋರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಆದರೆ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಮಿತಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅರ್ಥವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 2.1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ, $x=0.08 t^3$. ಕೋಷ್ಟಕ 2.1 $\Delta x / \Delta t$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ $\Delta t$ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ ಮತ್ತು $0.01 \mathrm{~s}$ ಗಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ. ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ಗಳು $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ ಮತ್ತು $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ಐದನೇ ಕಾಲಮ್ಗಳು $x$ ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ ಮತ್ತು $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$. ಆರನೇ ಕಾಲಮ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ ಅನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್ $\Delta x$ ಮತ್ತು $\Delta t$ ನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ $\Delta t$ ನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2.1 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ ನ ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯ $t=4 \mathrm{~s}$ ನಲ್ಲಿ

ಕೋಷ್ಟಕ 2.1 ರಿಂದ ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು $\Delta t$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $2.0 \mathrm{~s}$ ನಿಂದ $0.010 \mathrm{~s}$ ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಸರಾಸರಿ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವು ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯ $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ಗೆ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು $t=4.0 \mathrm{~s}$ ನಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $\frac{d x}{d t}$ ನ ಮೌಲ್ಯ $t=4.0 \mathrm{~s}$ ನಲ್ಲಿ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಕಾರಿನ ಚಲನೆಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲೂ ವೇಗವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವಿಧಾನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಕೂಲಕರ ವಿಧಾನವಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ಥಾನ-ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ರೇಖಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು $\Delta t$ ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಸರಾಸರಿ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ವಿವಿಧ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳ ಡೇಟಾ ಅಥವಾ ಕಾಲದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸ್ಥಾನದ ನಿಖರವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನಮ್ಮಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ವಿವಿಧ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ನಂತರ, ನಾವು $\Delta x / \Delta t$ ಅನ್ನು $\Delta t$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಡೇಟಾದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕ 2.1 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾಡಿದಂತೆ ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ನೀಡಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವಿಕಲನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ $\frac{d x}{d t}$ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.1 x-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು x = a + bt2 ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$ ಮತ್ತು t ಅನ್ನು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. t = 0 s ಮತ್ತು t = 2.0 s ನಲ್ಲಿ ಅದರ ವೇಗ ಎಷ್ಟು? t = 2.0 s ಮತ್ತು t = 4.0 s ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ಉತ್ತರ ವಿಕಲನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ವೇಗ

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

$t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು $t=2.0 \mathrm{~s}$ ನಲ್ಲಿ, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$.

$ \text { ಸರಾಸರಿ ವೇಗ }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

ಏಕರೂಪ ಚಲನೆಗೆ, ವೇಗವು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲೂ ಸರಾಸರಿ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಎಂದರೆ ವೇಗದ ಪರಿಮಾಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ವೇಗ ಮತ್ತು $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$ ವೇಗ ಎರಡೂ $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ನ ಸಂಬಂಧಿತ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸೀಮಿತ ಸಮಯಾವಧಿಯ ಸರಾಸರಿ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವು ಸರಾಸರಿ ವೇಗದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೂ, ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವು ಆ ಕ್ಷಣದ ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಹಾಗೆ ಏಕೆ?

2.3 ತ್ವರಣ

ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಚಲನೆಯ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಬೇಕು? ದೂರ ಅಥವಾ ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರದಂತೆ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಬೇಕೇ? ಇದು ಗೆಲಿಲಿಯೋನ ಕಾಲದಲ್ಲೂ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು. ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ದೂರದೊಂದಿಗೆ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಮೊದಲು ಭಾವಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ, ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಬೀಳುವ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಓರೆಯಾದ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೂಲಕ, ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಮುಕ್ತ ಪತನದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ದೂರದೊಂದಿಗೆ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ – ಇದು ಬೀಳುವ ದೂರ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿ ತ್ವರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು.

ಸರಾಸರಿ ತ್ವರಣ a ಅನ್ನು ಸಮಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಸಮಯ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ :

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

ಅಲ್ಲಿ $v_2$ ಮತ್ತು $v_1$ ಗಳು $t_2$ ಮತ್ತು $t_1$ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗಗಳು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ವೇಗಗಳು. ಇದು ಪ್ರತಿ ಏಕಮಾನ ಸಮಯಕ್ಕೆ ವೇಗದ ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ತ್ವರಣದ SI ಏಕಮಾನವು $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ ಆಗಿದೆ.

ವೇಗ ವಿರುದ್ಧ ಸಮಯದ ಪ್ಲಾಟ್ನಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ತ್ವರಣವು $\left(v_2, t_2\right)$ ಮತ್ತು $\left(v_1, t_1\right)$ ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು.

ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ತ್ವರಣವನ್ನು ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ವೇಗದಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ :

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

ತತ್ಕ್ಷಣಿಕ ತ್ವರಣವು ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ $v-t$ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು.

ವೇಗವು ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ರಾಶಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯು ಈ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ವರಣವು ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದ (ಪರಿಮಾಣ) ಬದಲಾವಣೆ, ದಿಕ್ಕಿನ ಬದಲಾವಣೆ ಅಥವಾ ಎರಡರ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗಬಹುದು. ವೇಗದಂತೆ, ತ್ವರಣವೂ ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗಿನ ಚಲನೆಗಾಗಿ ಸ್ಥಾನ-ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಚಿತ್ರ 2.4 (a), (b) ಮತ್ತು (c) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣಕ್ಕಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ವಕ್ರವಾಗಿದೆ; ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ತ್ವರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅದು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 2.2 (a) ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣ; (b) ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣ, ಮತ್ತು (c) ಶೂನ್ಯ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗಿನ ಚಲನೆಗಾಗಿ ಸ್ಥಾನ-ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್.

ತ್ವರಣವು ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದಾದರೂ, ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿನ ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನವು ಸ್ಥಿರ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗಿನ ಚಲನೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ತ್ವರಣವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತ್ವರಣದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗವು $V$ ನಲ್ಲಿ $t$ $=0$ ಮತ್ತು $v$ ಸಮಯದಲ್ಲಿ $t$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { ಅಥವಾ, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

ಕೆಲವು ಸರಳ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗಾಗಿ ವೇಗ-ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಚಿತ್ರ 2.3 ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಿಗಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗಿನ ಚಲನೆಗಾಗಿ ವೇಗ-ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ :

ಚಿತ್ರ 2.3 ಸ್ಥಿರ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗಿನ ಚಲನೆಗಳಿಗಾಗಿ ವೇಗ–ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್. (a) ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲನೆ, (b) ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲನೆ, (c) ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲನೆ, (d) ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆ t1 ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಯ 0 ರಿಂದ $t_1$ ನಡುವೆ, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ x - ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $t_1$ ಮತ್ತು $t_2$ ನಡುವೆ ಅದು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

(a) ವಸ್ತುವು ಧನಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ.

(b) ವಸ್ತುವು ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ.

(c) ವಸ್ತುವು ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ.

(d) ವಸ್ತುವು $t_1$ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗ-ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್ನ ಒಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಳಕೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ, ಸ್ಥಿರ ವೇಗ u ನೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಸರಳ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಅದರ ವೇಗ-ಕಾಲ ಗ್ರಾಫ್ ಚಿತ್ರ 2.4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.4 v–t ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

v-t ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಕಾಲ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು t = 0 ಮತ್ತು t = T ನಡುವೆ ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು ಎತ್ತರ u ಮತ್ತು ಪಾದ T ಇರುವ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರದೇಶ = u × T = uT ಇದು ಈ ಸಮಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವು ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದು ಹೇಗೆ? ಯೋಚಿಸಿ! ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲಿನ ರಾಶಿಗಳ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದ ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ x-t, v-t, ಮತ್ತು a-t ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ ಆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಭೇದ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭೇದ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಇದರ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ತ್ವರಣ ಮತ್ತು ವೇಗವು ತತ್ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಠಾತ್ತನೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2.4 ಏಕರೂಪವಾಗಿ ತ್ವರಿತ ಚಲನೆಗಾಗಿನ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಏಕರೂಪವಾಗಿ ತ್ವರಿತ ಚಲನೆಗಾಗಿ, ಸ್ಥಳಾಂತರ $(x)$, ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ $(t)$, ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ $\left(v_0\right)$, ಅಂತಿಮ ವೇಗ $(v)$ ಮತ್ತು ತ್ವರಣ (a) ಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಕೆಲವು ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈಗಾಗಲೇ ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣ (2.4) ಏಕರೂಪ ತ್ವರಣ $a$ ನೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಅಂತಿಮ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ವೇಗಗಳು $v$ ಮತ್ತು $v_0$ ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ :

$$ v=v_o+a t (2.4) $$

ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.5 ರಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು : ಕ್ಷಣಗಳು 0 ಮತ್ತು $t=$ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ $\mathrm{ABC}+$ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶ $\mathrm{OACD}$

$$ =\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t $$

ಚಿತ್ರ 2.5 ಏಕರೂಪ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗಿನ ವಸ್ತುವಿಗಾಗಿ v-t ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶ.

ಹಿಂದಿನ ವಿಭ