3.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸರಳರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಾನ, ಸ್ಥಾನಾಂತರ, ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ವರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ರಾಶಿಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ಅಂಶವನ್ನು + ಮತ್ತು - ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ದಿಕ್ಕುಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ (ಸಮತಲ) ಅಥವಾ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ (ಆಕಾಶ) ವಿವರಿಸಲು, ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಭೌತಿಕ ರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲು ಸದಿಶಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸದಿಶ ಎಂದರೇನು? ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದು? ಸದಿಶವನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶ ಏನು? ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ವರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾವು ಇದನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸರಳ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ಥಿರ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರ ಚಲನೆಯು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಲನೆಯ ಪರಿಚಿತ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಏಕರೂಪ ವೃತ್ತಾಕಾರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ವಿವರಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಗಾಗಿ ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

3.2 ಅದಿಶಗಳು ಮತ್ತು ಸದಿಶಗಳು

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅದಿಶಗಳು ಅಥವಾ ಸದಿಶಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸದಿಶದೊಂದಿಗೆ ದಿಕ್ಕು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಆದರೆ ಅದಿಶದೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ಅದಿಶ ರಾಶಿಯು ಕೇವಲ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಏಕಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ, ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ದೇಹದ ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದ ಸಮಯ. ಅದಿಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅದಿಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ* ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು, ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಕ್ರಮವಾಗಿ 1.0 m ಮತ್ತು 0.5 m ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪರಿಧಿಯು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, 1.0 m + 0.5 m +1.0 m + 0.5 m = 3.0 m. ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಅದಿಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯೂ ಸಹ ಅದಿಶವಾಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿನದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ತಾಪಮಾನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 35.6 °C ಮತ್ತು 24.2 °C ಆಗಿವೆ. ನಂತರ, ಎರಡು ತಾಪಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 11.4 °C ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, 10 cm ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಲ್ಯೂಮಿನಿಯಂ ಘನದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ 2.7 kg ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಘನಫಲವು 10–3 m3 (ಅದಿಶ) ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಂದ್ರತೆಯು 2.7×103 kg m–3 (ಅದಿಶ) ಆಗಿದೆ. ಸದಿಶ ರಾಶಿಯು ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನದ ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಸಮಾನರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸದಿಶವನ್ನು ಅದರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸದಿಶಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ ಕೆಲವು ಭೌತಿಕ ರಾಶಿಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಥಾನಾಂತರ, ವೇಗ, ತ್ವರಣ ಮತ್ತು ಬಲ.

ಸದಿಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು, ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೇಗ ಸದಿಶವನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ v ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾದ್ದರಿಂದ, ಕೈಬರಹದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವಾಗ, ಸದಿಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾದ ಬಾಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ rv . ಹೀಗಾಗಿ, v ಮತ್ತು rv ಎರಡೂ ವೇಗ ಸದಿಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಸದಿಶದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು |v| = v ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸದಿಶವನ್ನು ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ A, a, p, q, r, … x, y, ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ A, a, p, q, r, … x, y.

3.2.1 ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಸದಿಶಗಳು

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ನಾವು ಅನುಕೂಲಕರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ O ಅನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. P ಮತ್ತು P′ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ t ಮತ್ತು t′ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನಗಳಾಗಿರಲಿ [ಚಿತ್ರ 3.1(a)]. ನಾವು O ಮತ್ತು P ಗಳನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯಿಂದ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, OP ಎಂಬುದು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಣವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ r ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ OP = r. P′ ಬಿಂದುವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, OP′ ಅನ್ನು r′ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸದಿಶ r ನ ಉದ್ದವು ಸದಿಶದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕು O ನಿಂದ ನೋಡಿದಂತೆ P ಇರುವ ದಿಕ್ಕಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುವು P ನಿಂದ P′ ಗೆ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಸದಿಶ PP′ (ಬಾಲ P ಮತ್ತು ತುದಿ P′ ನಲ್ಲಿ) ಅನ್ನು P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (t ಸಮಯದಲ್ಲಿ) P′ ಬಿಂದುವಿಗೆ (t′ ಸಮಯದಲ್ಲಿ) ಚಲನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಸದಿಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 3.1 (a) ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಸದಿಶಗಳು. (b) ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಸದಿಶ PQ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಚಲನೆಯ ಮಾರ್ಗಗಳು.

ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಸದಿಶವು ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸ್ಥಾನಗಳ ನಡುವೆ ವಸ್ತುವು ಕೈಗೊಂಡ ನಿಜವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 4.1(b) ನಲ್ಲಿ, ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು P ಮತ್ತು Q ಎಂದು ನೀಡಿದರೆ, ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಸದಿಶವು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಯಾಣ ಮಾರ್ಗಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ PQ ಆಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ PABCQ, PDQ, ಮತ್ತು PBEFQ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ವಸ್ತುವಿನ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರಳರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವಾಗ ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿಯೂ ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಲಾಗಿತ್ತು.

3.2.2 ಸದಿಶಗಳ ಸಮಾನತೆ

ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳು ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.**

ಚಿತ್ರ 3.2 (a) ಎರಡು ಸಮಾನ ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B. (b) ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು A′ ಮತ್ತು B′ ಗಳು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಅಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 3.2(a) ಎರಡು ಸಮಾನ ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅವುಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. B ಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸರಿಸಿ ಅದರ ಬಾಲ Q A ಯ ಬಾಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವವರೆಗೆ, ಅಂದರೆ Q O ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿ. ನಂತರ, ಅವುಗಳ ತುದಿಗಳು S ಮತ್ತು P ಗಳು ಸಹ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು ಸಮಾನ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು A = B ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 3.2(b) ನಲ್ಲಿ, ಸದಿಶಗಳು A′ ಮತ್ತು B′ ಗಳು ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಆದರೆ ಅವುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು B′ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸರಿಸಿದರೂ ಸಹ ಅದರ ಬಾಲ Q′ A′ ಯ ಬಾಲ O′ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದರೆ, B′ ಯ ತುದಿ S′ A′ ಯ ತುದಿ P′ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

3.3 ಸದಿಶಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

ಸದಿಶ A ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ λ ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣವು λ ಅಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ದಿಕ್ಕು A ಯ ದಿಕ್ಕಿನಂತೆಯೇ ಇರುವ ಸದಿಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸದಿಶ 2A A ಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 3.3(a) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ |A| ನ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸದಿಶ A ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ −λ ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ A ಯ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣವು |A| ನ λ ಪಟ್ಟು ಇರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸದಿಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ನೀಡಲಾದ ಸದಿಶ A ಅನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ –1 ಮತ್ತು –1.5, ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಚಿತ್ರ 3.3(b) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸದಿಶ A ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಅಂಶ λ ಅದರ ಸ್ವಂತ ಭೌತಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅದಿಶವಾಗಿರಬಹುದು. ನಂತರ, λ A ಯ ಆಯಾಮವು λ ಮತ್ತು A ಗಳ ಆಯಾಮಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸ್ಥಿರ ವೇಗ ಸದಿಶವನ್ನು ಕಾಲಾವಧಿಯಿಂದ (ಸಮಯದ) ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಸದಿಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 3.3 (a) ಸದಿಶ A ಮತ್ತು A ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶ ಸದಿಶ. (b) ಸದಿಶ A ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ –1 ಮತ್ತು –1.5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶ ಸದಿಶಗಳು.

3.4 ಸದಿಶಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ — ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವಿಧಾನ

ವಿಭಾಗ 3.2 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದಂತೆ, ಸದಿಶಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಸಮಾನರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಂಕಲನದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಈಗ ಈ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 3.4(a) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸದಿಶಗಳ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಮೊತ್ತ A + B ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸದಿಶ B ಯನ್ನು ಅದರ ಬಾಲವು ಸದಿಶ A ಯ ತಲೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಚಿತ್ರ 3.4(b) ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ. ನಂತರ, ನಾವು A ಯ ಬಾಲವನ್ನು B ಯ ತಲೆಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆ OQ ಸದಿಶ R ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳ ಮೊತ್ತ. ಈ ಸದಿಶ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಸದಿಶಗಳನ್ನು ತಲೆ-ನಿಂದ-ಬಾಲಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು ತಲೆ-ನಿಂದ-ಬಾಲ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ತ್ರಿಕೋನ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಚಿತ್ರ 3.4(c) ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ B + A ಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರೆ, ಅದೇ ಸದಿಶ R ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸದಿಶ ಸಂಕಲನವು ವಿನಿಮಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

A + B = B + A $\quad \quad \quad$ (3.1)

ಚಿತ್ರ 3.4 (a) ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B. (b) ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. (c) ಸದಿಶಗಳು B ಮತ್ತು A ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. (d) ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಸಹವರ್ತಿ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸದಿಶಗಳ ಸಂಕಲನವು ಚಿತ್ರ 3.4(d) ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಸಹವರ್ತಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ನಂತರ ಸದಿಶ C ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೊದಲು B ಮತ್ತು C ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ನಂತರ ಸದಿಶ A ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

ಎರಡು ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶ ಏನು? ಚಿತ್ರ 3.3(b) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು –A ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು A + (–A) ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಸದಿಶಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆದರೆ ದಿಕ್ಕುಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಫಲಿತಾಂಶ ಸದಿಶವು ಶೂನ್ಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು 0 ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ:

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶದ ಪರಿಮಾಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಸದಿಶ A ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. 0 ನ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವೇನು? ಚಿತ್ರ 3.1(a) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈಗ t ಸಮಯದಲ್ಲಿ P ನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವು P′ ಗೆ ಚಲಿಸಿ ನಂತರ P ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಅದರ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಏನು? ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಾನಾಂತರವು “ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶ” ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸದಿಶಗಳ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಸದಿಶಗಳ ಸಂಕಲನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು –B ಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ:

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 3.5 ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸದಿಶ $-\mathbf{B}$ ಅನ್ನು ಸದಿಶ $\mathbf{A}$ ಗೆ ಸೇರಿಸಿ $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ ಸದಿಶ $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ ಅನ್ನು ಅದೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಸದಿಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ನಮಗೆ ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು $\mathbf{A}$ ಮತ್ತು $\mathbf{B}$ ಇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನಾವು ಅವುಗಳ ಬಾಲಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3.6(a) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲ $\mathrm{O}$ ಗೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು $\mathbf{A}$ ಯ ತಲೆಯಿಂದ $\mathbf{B}$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಮತ್ತು B ಯ ತಲೆಯಿಂದ A ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ OQSP ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಈ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂಲ O ಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶ ಸದಿಶ R ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲ O ನಿಂದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣ (OS) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ [ಚಿತ್ರ 3.6(b)]. ಚಿತ್ರ 3.6(c) ನಲ್ಲಿ, A ಮತ್ತು B ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 3.5 (a) ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B, – B ಸಹ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. (b) ಸದಿಶ A ನಿಂದ ಸದಿಶ B ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು – ಫಲಿತಾಂಶ R2 ಆಗಿದೆ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ, ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳ ಸಂಕಲನ, ಅಂದರೆ R1 ಸಹ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 3.6 (a) ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಬಾಲಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ. (b) ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಡೆದ ಮೊತ್ತ A + B. (c) ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಧಾನವು ತ್ರಿಕೋನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.1 ಮಳೆಯು 35 m s–1 ವೇಗದಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಗಾಳಿಯು 12 m s–1 ವೇಗದಿಂದ ಪೂರ್ವದಿಂದ ಪಶ್ಚಿಮದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬೀಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಬಸ್ ನಿಲ್ದಾಣದಲ್ಲಿ ಕಾಯುತ್ತಿರುವ ಹುಡುಗನು ತನ್ನ ಛತ್ರಿಯನ್ನು ಯಾವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು?

ಉತ್ತರ ಮಳೆ ಮತ್ತು ಗಾಳಿಯ ವೇಗಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3.7 ನಲ್ಲಿ ಸದಿಶಗಳು $\mathbf{v_r}$ ಮತ್ತು $\mathbf{v_w}$ ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿವೆ. ಸದಿಶ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, $\mathbf{v_r}$ ಮತ್ತು $\mathbf{v_w}$ ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ $\mathrm{R}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. $\mathrm{R}$ ನ ಪರಿಮಾಣವು

$$ R=\sqrt{v _{r}^{2}+v _{w}^{2}}=\sqrt{35^{2}+12^{2}} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=37 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

$\theta$ ಯು $R$ ಅನ್ನು ಲಂಬದೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \tan \theta=\frac{v _{w}}{v _{r}}=\frac{12}{35}=0.343 $$

ಅಥವಾ, $\theta=\tan ^{-1}(0.343)=19^{\circ}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹುಡುಗನು ತನ್ನ ಛತ್ರಿಯನ್ನು ಪೂರ್ವದ ಕಡೆಗೆ ಲಂಬದೊಂದಿಗೆ ಸುಮಾರು $19^{\circ}$ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

3.5 ಸದಿಶಗಳ ವಿಭಜನೆ

a ಮತ್ತು b ಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೂನ್ಯೇತರ ಸದಿಶಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು A ಅನ್ನು ಅದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸದಿಶವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 3.8). A ಅನ್ನು ಎರಡು ಸದಿಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು — ಒಂದನ್ನು a ಅನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು b ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, O ಮತ್ತು P ಗಳನ್ನು ಸದಿಶ A ಯ ಬಾಲ ಮತ್ತು ತಲೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, O ಮೂಲಕ, a ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು P ಮೂಲಕ, b ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅವು Q ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲ