5.1 ಪರಿಚಯ

‘ಕಾರ್ಯ’, ‘ಶಕ್ತಿ’ ಮತ್ತು ‘ಸಾಮರ್ಥ್ಯ’ ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ದೈನಂದಿನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಲವನ್ನು ಉಳುಮೆ ಮಾಡುವ ರೈತ, ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ಹೊತ್ತು ತರುತ್ತಿರುವ ಕಟ್ಟಡ ಕಾರ್ಮಿಕ, ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ, ಸುಂದರ ನಿಸರ್ಗ ದೃಶ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತಿರುವ ಕಲಾವಿದ, ಎಲ್ಲರೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ‘ಕಾರ್ಯ’ ಎಂಬ ಪದವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ದಿನದಲ್ಲಿ 14-16 ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ದೊಡ್ಡ ಸಹನಶಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘ ದೂರದ ಓಟಗಾರ್ತಿಯನ್ನು ಅವರ ಸಹನಶಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಶಕ್ತಿಗಾಗಿ ನಾವು ಮೆಚ್ಚುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಶಕ್ತಿಯು ನಮ್ಮ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವಾಗಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲೂ ಸಹ, ‘ಶಕ್ತಿ’ ಎಂಬ ಪದವು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ‘ಕಾರ್ಯ’ ಎಂಬ ಪದವು ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ‘ಸಾಮರ್ಥ್ಯ’ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳ ಛಾಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕರಾಟೆ ಅಥವಾ ಬಾಕ್ಸಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ‘ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ’ ಪಂಚ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದ ಛಾಯೆಯು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ‘ಸಾಮರ್ಥ್ಯ’ ಪದದ ಅರ್ಥಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ. ಈ ಪದಗಳು ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಶಾರೀರಿಕ ಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಸಡಿಲವಾದ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೂರು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಈ ಅಧ್ಯಾಯದ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಗಣಿತದ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧ.

5.1.1 ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧ

ನಾವು ಅಧ್ಯಾಯ 3 ರಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ, ವೇಗ, ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ, ಬಲ ಇತ್ಯಾದಿ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎದುರಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ: ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ ಹೊಸ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಧ್ಯಾಯ 6 ರಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾದ A ಮತ್ತು B ಯ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧ ಅಥವಾ ಡಾಟ್ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು A.B ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಓದಿ $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $\theta$ ಎಂಬುದು ಚಿತ್ರ 5.1(a) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. $A, B$ ಮತ್ತು $\cos \theta$ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, $\mathbf{A}$ ಮತ್ತು $\mathbf{B}$ ನ ಡಾಟ್ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್, $\mathbf{A}$ ಮತ್ತು $\mathbf{B}$, ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧವು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣ (5.1a) ನಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, $B \cos \theta$ ಎಂಬುದು ಚಿತ್ರ 5.1 (b) ರಲ್ಲಿ $\mathbf{B}$ ನ $\mathbf{A}$ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $A \cos \theta$ ಎಂಬುದು ಚಿತ್ರ 5.1 (c) ರಲ್ಲಿ $\mathbf{A}$ ನ $\mathbf{B}$ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, A.B ಎಂಬುದು $\mathbf{A}$ ನ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು $\mathbf{B}$ ನ A ಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಘಟಕದ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಇದು $\mathbf{B}$ ನ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು $\mathbf{A}$ ನ $\mathbf{B}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಘಟಕದ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣ (5.1a) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಪರಿವರ್ತಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧವು ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

ಇನ್ನೂ, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

ಇಲ್ಲಿ $\lambda$ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ವ್ಯಾಯಾಮವಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಯೂನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧವು

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮತ್ತು (ಸಮೀಕರಣ 5.1b) ನಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$ ರಿಂದ.

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, $\mathbf{A}$ ಮತ್ತು $\mathbf{B}$ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.1 ಬಲ $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ ಯೂನಿಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ ಯೂನಿಟ್ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. $\mathbf{F}$ ನ $\mathbf{d}$ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ ಯೂನಿಟ್

ಈಗ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

ಮತ್ತು $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

ಚಿತ್ರ 5.1 (a) ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾದ A ಮತ್ತು B ಯ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ: A.B = A B cos θ. (b) B cos θ ಎಂಬುದು B ಯ A ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. (c) A cos θ ಎಂಬುದು A ಯ B ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ.

5.2 ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಗತಿಶಕ್ತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು: ಕಾರ್ಯ-ಶಕ್ತಿ ಪ್ರಮೇಯ

ಸ್ಥಿರ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ $a$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಾಯ 3 ರಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸಲಾಗಿದೆ,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $u$ ಮತ್ತು $v$ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ವೇಗಗಳು ಮತ್ತು $s$ ಪಾರವಾಗಿರುವ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು $m / 2$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

ಅಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಹಂತವು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣ (5.2) ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

ಇಲ್ಲಿ $\mathbf{a}$ ಮತ್ತು $\mathbf{d}$ ಕ್ರಮವಾಗಿ ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು $\mathrm{m} / 2$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಗತಿಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಪ್ರೇರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ‘ಸಮೂಹದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಬಾರಿ ವೇಗದ ವರ್ಗ’ ಎಂಬ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದವರೆಗಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ‘ಗತಿಶಕ್ತಿ’ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು $K$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗವು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಲದ ಘಟಕದ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ‘ಕಾರ್ಯ’ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು W ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (5.2b) ನಂತರ

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $K_{i}$ ಮತ್ತು $K_{f}$ ಕ್ರಮವಾಗಿ ವಸ್ತುವಿನ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಗತಿಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾರ್ಯವು ಬಲ ಮತ್ತು ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಮೇಲೆ ಶರೀರದ ಮೇಲೆ ಬಲದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣ (5.2) ಕೂಡ ಕಾರ್ಯ-ಶಕ್ತಿ (WE) ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ: ಕಣದ ಗತಿಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ನಿವ್ವಳ ಬಲದಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೇಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಂತರದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.2 ಮಳೆಬಿಂದುವು ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲ ಮತ್ತು ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿರೋಧಕ ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ಬೀಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನಂತರದದ್ದು ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. $1.00 \mathrm{~g}$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಬಿಂದುವನ್ನು $1.00 \mathrm{~km}$ ಎತ್ತರದಿಂದ ಬೀಳುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ವೇಗದಿಂದ ನೆಲವನ್ನು ಹೊಡೆಯುತ್ತದೆ. (a) ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯ ಏನು? ತಿಳಿಯದ ಪ್ರತಿರೋಧಕ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯ ಏನು?

ಉತ್ತರ (a) ಬಿಂದುವಿನ ಗತಿಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ಇಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದ್ದೇವೆ. $g$ $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವು,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) ಕಾರ್ಯ-ಶಕ್ತಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

ಇಲ್ಲಿ $W_{r}$ ಮಳೆಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿರೋಧಕ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.

5.3 ಕಾರ್ಯ

ಮೊದಲೇ ನೋಡಿದಂತೆ, ಕಾರ್ಯವು ಬಲ ಮತ್ತು ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. $m$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಬಲ $\mathbf{F}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವಸ್ತುವು ಚಿತ್ರ 5.2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಧನಾತ್ಮಕ $x$-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ $\mathbf{d}$ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.2 ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಬಲ F ನ ಪ್ರಭಾವದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ d ಅನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಲದ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟದ ಪ್ರಮಾಣದ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬಲವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಇಟ್ಟಿಗೆ ಗೋಡೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿ ತಳ್ಳಿದಾಗ, ನೀವು ಗೋಡೆಯ ಮೇಲೆ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುವ ಬಲವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೂ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನಾಯುಗಳು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಸಂಕೋಚನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಡಿಲಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ದಣಿದುಹೋಗುತ್ತೀರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅರ್ಥವು ದೈನಂದಿನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

(i) ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಂತೆ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. 150 $\mathrm{kg}$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು $30 \mathrm{~s}$ ಕಾಲದವರೆಗೆ ತನ್ನ ಭುಜದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಹಿಡಿದಿರುವ ವೇಟ್ಲಿಫ್ಟರ್ ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೋಡ್ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

(ii) ಬಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಯವಾದ ಸಮತಲ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲ ಬಲದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಯಾವುದೇ ಘರ್ಷಣೆ ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ), ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಅನುಭವಿಸಬಹುದು.

(iii) ಬಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಹೀಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$. ನಯವಾದ ಸಮತಲ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವ ಬ್ಲಾಕ್ಗೆ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲ $m g$ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟಕ್ಕೆ ಲಂಬ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಚಂದ್ರನ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಭೂಮಿಯ ಸುತ್ತ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದರೆ, ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲವು ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಚಂದ್ರನ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವು ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಭೂಮಿಯ ಬಲವು ತ್ರಿಜ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\theta=\pi / 2$.

ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬಹುದು. $\theta$ $0^{\circ}$ ಮತ್ತು $90^{\circ}, \cos \theta$ ನಡುವೆ ಇದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣ (5.4) ರಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $\theta$ $90^{\circ}$ ಮತ್ತು $180^{\circ}, \cos \theta$ ನಡುವೆ ಇದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಘರ್ಷಣ ಬಲವು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\theta=180^{\circ}$. ನಂತರ ಘರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$.

ಸಮೀಕರಣ (5.4) ರಿಂದ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದೇ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$. ಇವುಗಳ SI ಘಟಕವು ಜೌಲ್ (J) ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೇಮ್ಸ್ ಪ್ರೆಸ್ಕಾಟ್ ಜೌಲ್ (1811-1869) ನ ನಂತರ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯು ಭೌತಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುವುದರಿಂದ, ಪರ್ಯಾಯ ಘಟಕಗಳು ಹೇರಳವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ 5.1 ರಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 5.1 $\mathrm{J}$ ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ/ಶಕ್ತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ ಘಟಕಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 5.3 ಒಂದು ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್ $10 \mathrm{~m}$ ನಲ್ಲಿ ಸ್ಕಿಡಿಂಗ್ ನಿಲುಗಡೆಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ರಸ್ತೆಯಿಂದ ಸೈಕಲ್ ಮೇಲಿನ ಬಲವು $200 \mathrm{~N}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. (a) ರಸ್ತೆಯು ಸೈಕಲ್ ಮೇಲೆ ಎಷ್ಟು ಕಾರ್ಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ? (b) ಸೈಕಲ್ ರಸ್ತೆಯ ಮೇಲೆ ಎಷ್ಟು ಕಾರ್ಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರ ರಸ್ತೆಯಿಂದ ಸೈಕಲ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವು ರಸ್ತೆಯಿಂದ ಸೈಕಲ್ ಮೇಲೆ ನಿಲುಗಡೆ (ಘರ್ಷಣ) ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

(a) ನಿಲುಗಡೆ ಬಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವು ಪರಸ್ಪರ $180^{\circ}$ ( $\pi \mathrm{rad}$) ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ರಸ್ತೆಯಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯ,

$$ \begin{aligned} W_{r} & =F d \cos \theta \\ & =200 \times 10 \times \cos \pi \\ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

WE ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸೈಕಲ್ ಅನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುವ ಈ ಋಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

(b) ನ್ಯೂಟನ್ನ ಮೂರನೇ ನಿಯಮದಿಂದ ಸೈಕಲ್ ಕಾರಣ ರಸ್ತೆಯ ಮೇಲೆ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಬಲವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಮಾಣವು 200 N ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಸ್ತೆಯು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸೈಕಲ್ ರಸ್ತೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.3 ರ ಪಾಠವೆಂದರೆ ಶರೀರ A ಮೇಲೆ ಶರೀರ $\mathrm{B}$ ನಿಂದ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುವ ಬಲವು ಯಾವಾಗಲೂ B ಮೇಲೆ A ಯಿಂದ ಚಾಲನೆ ಮಾಡುವ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನ್ಯೂಟನ್ನ ಮೂರನೇ ನಿಯಮ); ಆದರೆ B ಯಿಂದ A ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವು $\mathrm{B}$ ಮೇಲೆ $\mathrm{A}$ ನಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

5.4 ಗತಿಶಕ್ತಿ

ಮೊದಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, $m$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಸ್ತುವು $\mathbf{v}$ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಗತಿಶಕ್ತಿ $K$ ಆಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2} m v^{2} \tag{5.5} \end{equation*} $$

ಕೋಷ್ಟಕ 5.2 ವಿಶಿಷ್ಟ ಗತಿಶಕ್ತಿಗಳು (K)

ಗತಿಶಕ್ತಿಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಗತಿಶಕ್ತಿಯು ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸದ್ಗುಣದಿಂದ ವಸ್ತುವು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ದೀರ್ಘಕಾಲದಿಂದ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ವೇಗವಾಗಿ ಹರಿಯುವ ನದಿಯ ಗತಿಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಪೀಠಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾಯಿ ಹಡಗುಗಳು ಗಾಳಿಯ ಗತಿಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಕೋಷ್ಟಕ 5.2 ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳ ಗತಿಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.4 ಬ್ಯಾಲಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಪ್ರದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಪೊಲೀಸ್ ಅಧಿಕಾರಿಯು $50.0 \mathrm{~g}$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಗುಂಡನ್ನು $200 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ವೇಗದಲ್ಲಿ (ಕೋಷ್ಟಕ 5.2 ನೋಡಿ) $2.00 \mathrm{~cm}$ ದಪ್ಪದ ಮೃದು ಪ್ಲೈವುಡ್ ಮೇಲೆ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಗುಂಡು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಗತಿಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ $10 \%$ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊರಬರುತ್ತದೆ. ಗುಂಡಿನ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ಉತ್ತರ ಗುಂಡಿನ ಆರಂಭಿಕ ಗತಿಶಕ್ತಿಯು $m v^{2} / 2=1000 \mathrm{~J}$ ಆಗಿದೆ. ಇದು $0.1 \times 1000=100 \mathrm{~J}$ ಅಂತಿಮ ಗತಿಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. $v_{f}$ ಗುಂಡಿನ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ವೇಗವಾಗಿದ್ದರೆ,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_{f}^{2}=100 \mathrm{~J} \\ & v_{f}=\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}} \\ & \quad=63.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

ವೇಗವು ಸರಿಸುಮಾರು $68 \%$ ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ (90 % ಅಲ್ಲ).

5.5 ಬದಲಾಗುವ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯ

ಸ್ಥಿರ ಬಲವು ಅಪರೂಪ. ಇದು ಬದಲಾಗುವ ಬಲವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎದುರಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 5.3 ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ಬಲದ ಪ್ಲಾಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ $\Delta x$ ಸಣ್ಣದಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬಲ $F(x)$ ಅನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವು

$$ \Delta W=F(x) \Delta x $$

ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 5.3(a) ರಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 5.3(a) ರಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಒಟ್ಟು ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ