6.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಒಂದೇ ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. (ಕಣವನ್ನು ಆದರ್ಶವಾಗಿ ಗಾತ್ರವಿಲ್ಲದ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರದ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕಣದ ಚಲನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಆ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ವಸ್ತುವು ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುಗಳ (ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರದ ವಸ್ತುಗಳ) ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಣದ ಆದರ್ಶೀಕೃತ ಮಾದರಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಅಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳುವಳಿಕೆ ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುವು, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬೃಹತ್ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳನ್ನು ದೃಢ ವಸ್ತುಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಆದರ್ಶವಾಗಿ ದೃಢ ವಸ್ತುವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಮತ್ತು ಬದಲಾಗದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವಸ್ತುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಕಣಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ವಸ್ತು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ದೃಢವಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೈಜ ವಸ್ತುಗಳು ಬಲಗಳ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗಳು ನಗಣ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಚಕ್ರಗಳು, ಬೊಂಬೆಗಳು, ಉಕ್ಕಿನ ಕಂಬಿಗಳು, ಅಣುಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳಂತಹ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವು ವಕ್ರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಆಕಾರದಿಂದ ತಿರುಚಲ್ಪಡುತ್ತವೆ), ಬಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ದೃಢವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

6.1.1 ದೃಢ ವಸ್ತುವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು?

ದೃಢ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಚಲನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಓರೆಯಾದ ಸಮತಲದ ಕೆಳಗೆ ಜಾರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಬ್ಲಾಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ದೃಢ ವಸ್ತುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಸಮತಲದ ಕೆಳಗೆ ಅದರ ಚಲನೆಯು ವಸ್ತುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಣಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳು ಒಂದೇ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ದೃಢ ವಸ್ತುವು ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿದೆ (ಚಿತ್ರ 6.1).

ಚಿತ್ರ 6.1 ಓರೆಯಾದ ಸಮತಲದ ಕೆಳಗೆ ಬ್ಲಾಕ್ನ ಸ್ಥಾನಾಂತರ (ಜಾರುವ) ಚಲನೆ (ಬ್ಲಾಕ್ನ P1 ಅಥವಾ P2 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.)

ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಣಗಳು ಒಂದೇ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಈಗ ಅದೇ ಓರೆಯಾದ ಸಮತಲದ ಕೆಳಗೆ ಘನ ಲೋಹದ ಅಥವಾ ಮರದ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಉರುಳುವ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 6.2). ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ದೃಢ ವಸ್ತು, ಅಂದರೆ ಸಿಲಿಂಡರ್, ಓರೆಯಾದ ಸಮತಲದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಚಿತ್ರ 6.2 ತೋರಿಸುವಂತೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಕಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಸ್ತುವು ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅದರ ಚಲನೆಯು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಜೊತೆಗೆ ‘ಬೇರೆ ಏನೋ’ ಆಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ. 6.2 ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಉರುಳುವ ಚಲನೆ. ಇದು ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಚಲನೆಯಲ್ಲ. ಬಿಂದುಗಳು P1, P2, P3 ಮತ್ತು P4 ಗಳು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ವೇಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಬಾಣಗಳಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಜಾರದೆ ಉರುಳಿದರೆ, ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದು P3 ನ ವೇಗವು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ‘ಬೇರೆ ಏನೋ’ ಏನೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಂತೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲಾದ ದೃಢ ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ದೃಢ ವಸ್ತುವು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದದಿರಲು ಅದನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಏಕೈಕ ಚಲನೆಯು ಭ್ರಮಣವಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುವು ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷವು ಅದರ ಭ್ರಮಣ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಸುತ್ತಲೂ ನೋಡಿದರೆ, ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಭ್ರಮಣದ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು, ಸೀಲಿಂಗ್ ಫ್ಯಾನ್, ಕುಂಬಾರನ ಚಕ್ರ, ಮೇಳದಲ್ಲಿ ದೈತ್ಯ ಚಕ್ರ, ಮೆರ್ರಿ-ಗೋ-ರೌಂಡ್ ಇತ್ಯಾದಿ (ಚಿತ್ರ 6.3(a) ಮತ್ತು (b)).

ಚಿತ್ರ. 6.3 ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಭ್ರಮಣ (a) ಸೀಲಿಂಗ್ ಫ್ಯಾನ್ (b) ಕುಂಬಾರನ ಚಕ್ರ

ಚಿತ್ರ. 6.4 z-ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಭ್ರಮಣ (P1 ಅಥವಾ P2 ನಂತಹ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರ (C1 ಅಥವಾ C2) ಅನ್ನು ಭ್ರಮಣ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ (r1 ಅಥವಾ r2) ಬಿಂದುವಿನ (P1 ಅಥವಾ P2) ಅಕ್ಷದಿಂದ ಲಂಬ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. P3 ನಂತಹ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಭ್ರಮಣ ಎಂದರೇನು, ಅದು ಯಾವುದರಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಭ್ರಮಣದಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರತಿ ಕಣವು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು, ಅದು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 6.4 ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ (ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನ $z$-ಅಕ್ಷ) ಸುತ್ತ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಭ್ರಮಣ ಚಲನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. $P_1$ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಕಣವಾಗಿರಲಿ, ಅದನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದಿಂದ $r$ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಕಣ $P_1$ ತ್ರಿಜ್ಯ $r_1$ ನ ವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರ $C_1$ ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ. ಚಿತ್ರವು ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಇನ್ನೊಂದು ಕಣ $P_2$ ಅನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, $P_2$ ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದಿಂದ $r_2$ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಕಣ $P_2$ ತ್ರಿಜ್ಯ $r_2$ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ $C_2$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತವು ಸಹ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ. $P_1$ ಮತ್ತು $P_2$ ಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವೃತ್ತಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎರಡೂ ಸಮತಲಗಳು ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. $P_3, r=0$ ನಂತಹ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕಣಕ್ಕೆ. ವಸ್ತುವು ತಿರುಗುತ್ತಿರುವಾಗ ಯಾವುದೇ ಅಂತಹ ಕಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಭ್ರಮಣ ಅಕ್ಷವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭ್ರಮಣದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಕ್ಷವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯ ಭ್ರಮಣದ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವ ಬೊಂಬೆ [ಚಿತ್ರ 6.5(a)]. (ಬೊಂಬೆಯು ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಜಾರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.) ಅಂತಹ ಸುತ್ತುವ ಬೊಂಬೆಯ ಅಕ್ಷವು ಅದರ ನೆಲದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಚಿತ್ರ 6.5(a) ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಶಂಕುವನ್ನು ಸ್ವೀಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಅನುಭವದಿಂದ ತಿಳಿದಿದೆ. (ಲಂಬದ ಸುತ್ತ ಬೊಂಬೆಯ ಅಕ್ಷದ ಈ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಚಲನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಗಮನಿಸಿ, ನೆಲದೊಂದಿಗಿನ ಬೊಂಬೆಯ ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಬೊಂಬೆಯ ಭ್ರಮಣ ಅಕ್ಷವು ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಭ್ರಮಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಆಂದೋಲನ ಮಾಡುವ ಟೇಬಲ್ ಫ್ಯಾನ್ ಅಥವಾ ಪೆಡೆಸ್ಟಲ್ ಫ್ಯಾನ್ [ಚಿತ್ರ 6.5(b)]. ಅಂತಹ ಫ್ಯಾನ್ನ ಭ್ರಮಣ ಅಕ್ಷವು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಪಿವೋಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 6.5(b) ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದು O) ಸಮತಲ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನ (ಪಾರ್ಶ್ವದ) ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಿರಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ. 6.5 (a) ಸುತ್ತುವ ಬೊಂಬೆ (ನೆಲದೊಂದಿಗಿನ ಬೊಂಬೆಯ ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದು, ಅದ ತುದಿ O, ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ.)

ಚಿತ್ರ. 6.5 (b) ತಿರುಗುವ ಫಲಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನ ಮಾಡುವ ಟೇಬಲ್ ಫ್ಯಾನ್. ಫ್ಯಾನ್ನ ಪಿವೋಟ್, ಬಿಂದು O, ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಫ್ಯಾನ್ನ ಫಲಕಗಳು ಭ್ರಮಣ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿವೆ, ಆದರೆ ಫ್ಯಾನ್ ಫಲಕಗಳ ಭ್ರಮಣ ಅಕ್ಷವು ಆಂದೋಲನ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ

ಫ್ಯಾನ್ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಕ್ಷವು ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ, ಈ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬೊಂಬೆ ಅಥವಾ ಪೆಡೆಸ್ಟಲ್ ಫ್ಯಾನ್ನ ಭ್ರಮಣದಂತಹ ಭ್ರಮಣದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಒಂದು ರೇಖೆ ಅಲ್ಲ, ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಭ್ರಮಣದ ಸರಳ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆ (ಅಂದರೆ ಅಕ್ಷ) ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ. 6.6(a) ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆ

ಚಿತ್ರ. 6.6(b) ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುವ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆ.

ಚಿತ್ರ 6.6 (a) ಮತ್ತು 6.6 (b) ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ $P$ ವಸ್ತುವಿನ ನಿರಂಕುಶ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ; $O$ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. $O$ ಗಳ ಪಥಗಳು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಪಥಗಳು $\mathrm{Tr_1}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Tr_2}$ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದರೆ ಸಾಕು. ಸಮಯದ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳು $O$ ಮತ್ತು $\mathrm{P}$ ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 6.6 (a) ಮತ್ತು (b) ಎರಡರಲ್ಲೂ ಕ್ರಮವಾಗಿ $O_{1}, O_{2}$, ಮತ್ತು $O_{3}$, ಮತ್ತು $P_{1}, P_{2}$ ಮತ್ತು $P_{3}$ ಗಳಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 6.6(a) ನಿಂದ ನೋಡಿದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ $O$ ಮತ್ತು $P$ ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಕಣಗಳ ವೇಗಗಳು ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಾಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಮನಿಸಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $O P$ ನ ದಿಕ್ಕು, ಅಂದರೆ OP ಸ್ಥಿರ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ಕೋನ, ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಸಮತಲ, ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}$. ಚಿತ್ರ 6.6 (b) ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣದ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ $O$ ಮತ್ತು $P$ ಗಳ ವೇಗಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗೆಯೇ, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ ಮತ್ತು $\alpha_{3}$ ಎಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಮಗೆ ಭ್ರಮಣವು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳದ ಹೊರತು ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ.

ಓರೆಯಾದ ಸಮತಲದ ಕೆಳಗೆ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಉರುಳುವ ಚಲನೆಯು ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಭ್ರಮಣ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಾಂತರದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಉರುಳುವ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿನ ‘ಬೇರೆ ಏನೋ’ ಭ್ರಮಣ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನೀವು ಚಿತ್ರ 6.6(a) ಮತ್ತು (b) ಗಳನ್ನು ಶಿಕ್ಷಣಾತ್ಮಕವೆಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಎರಡೂ ಚಿತ್ರಗಳು ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಪಥದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ 6.6(a), ಚಲನೆಯು ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ; ಇನ್ನೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ [ಚಿತ್ರ 6.6(b)] ಅದು ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. (ಭಾರವಾದ ಪುಸ್ತಕದಂತಹ ದೃಢ ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೋರಿಸಲಾದ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು.)

ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿಭಾಗದ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ: ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಿವೋಟ್ ಮಾಡದ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸದ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯು ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಅಥವಾ ಸ್ಥಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಿವೋಟ್ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ದೃಢ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯು ಭ್ರಮಣವಾಗಿದೆ. ಭ್ರಮಣವು ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ (ಉದಾ. ಸೀಲಿಂಗ್ ಫ್ಯಾನ್) ಅಥವಾ ಚಲಿಸುವ (ಉದಾ. ಆಂದೋಲನ ಮಾಡುವ ಟೇಬಲ್ ಫ್ಯಾನ್ [ಚಿತ್ರ 6.5(b)]) ಆಗಿರಬಹುದು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಮಾತ್ರ ಭ್ರಮಣ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

6.2 ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರ

ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಎರಡು ಕಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಎರಡು ಕಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು $x$ - ಅಕ್ಷವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ. 6.7

ಎರಡು ಕಣಗಳ ದೂರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $x_{1}$ ಮತ್ತು $x_{2}$ ಗಳಾಗಿರಲಿ, ಕೆಲವು ಮೂಲ $\mathrm{O}$ ನಿಂದ. $m_{1}$ ಮತ್ತು $m_{2}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ಕಣಗಳ ದ್ರವ್ಯಮಾನಗಳಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರವು $\mathrm{C}$ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಅದು $X$ ದೂರದಲ್ಲಿ $\mathrm{O}$ ನಿಂದ ಇರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $X$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}}{m_{1}+m_{2}} \tag{6.1} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (6.1) ರಲ್ಲಿ, $X$ ಅನ್ನು $x_{1}$ ಮತ್ತು $x_{2}$ ಗಳ ದ್ರವ್ಯಮಾನ-ತೂಕಿತ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಕಣಗಳು ಒಂದೇ ದ್ರವ್ಯಮಾನ $m_{1}=m_{2}=m$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ

$$ X=\frac{m x_{1}+m x_{2}}{2 m}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} $$

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನ ದ್ರವ್ಯಮಾನದ ಎರಡು ಕಣಗಳಿಗೆ, ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರವು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ $n$ ಕಣಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ದ್ರವ್ಯಮಾನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $m_{1}, m_{2}$, … $m_{n}$ ಗಳಾಗಿರಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ $x$-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

$$X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+\ldots+m_{n} x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}=\frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}} \tag {6.2}$$

ಇಲ್ಲಿ $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ ಗಳು ಕಣಗಳ ಮೂಲದಿಂದ ದೂರಗಳು; $X$ ಅನ್ನು ಸಹ ಅದೇ ಮೂಲದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತ $\sum$ (ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ ಸಿಗ್ಮಾ) ಸಂಕಲನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ $n$ ಕಣಗಳ ಮೇಲೆ. ಮೊತ್ತ

$$ \sum m_{i}=M $$

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ದ್ರವ್ಯಮಾನವಾಗಿದೆ.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಮೂರು ಕಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅವು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು $x$ - ಮತ್ತು $y-$ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕಣಗಳು ಇರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೂರು ಕಣಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ಮತ್ತು $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಮೂರು ಕಣಗಳ ದ್ರವ್ಯಮಾನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $m_{1}, m_{2}$ ಮತ್ತು $m_{3}$ ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಮೂರು ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{C}$ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(X, Y)$ ಗಳಿಂದ ಸ್ಥಾನ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{align*} & X=\frac{m _{1} x _{1}+m _{2} x _{2}+m _{3} x _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3a} \\ & Y=\frac{m _{1} y _{1}+m _{2} y _{2}+m _{3} y _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3b} \end{align*} $$

ಸಮಾನ ದ್ರವ್ಯಮಾನ $m=m_{1}=m_{2} =m_{3}$ ನ ಕಣಗಳಿಗೆ

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m\left(x _{1}+x _{2}+x _{3}\right)}{3 m}=\frac{x _{1}+x _{2}+x _{3}}{3} \\ & Y=\frac{m\left(y _{1}+y _{2}+y _{3}\right)}{3 m}=\frac{y _{1}+y _{2}+y _{3}}{3} \end{aligned} $$

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನ ದ್ರವ್ಯಮಾನದ ಮೂರು ಕಣಗಳಿಗೆ, ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರವು ಕಣಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ (6.3a) ಮತ್ತು (6.3b) ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ $n$ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರವು $(X, Y, Z)$ ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ

$$ \begin{align*} & X=\frac{\sum m _{i} x _{i}}{M} \tag{6.4a} \\ & Y=\frac{\sum m _{i} y _{i}}{M} \tag{6.4b} \end{align*} $$

ಮತ್ತು $Z=\frac{\sum m _{i} Z _{i}}{M}$

ಇಲ್ಲಿ $M=\sum m_{i}$ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ದ್ರವ್ಯಮಾನವಾಗಿದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ $i$ 1 ರಿಂದ $n ; m_{i}$ ವರೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, $i^{\text {th }}$ ಕಣದ ದ್ರವ್ಯಮಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $i^{\text {th }}$ ಕಣದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು $\left(x_{\mathrm{i}}, y_{\mathrm{i}}, z_{\mathrm{i}}\right)$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು (6.4a), (6.4b) ಮತ್ತು (6.4c) ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶಗಳ ಸಂಕೇತನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. $\mathbf{r_i}$ $i^{\text {th }}$ ಕಣದ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $\mathbf{R}$ ದ್ರವ್ಯಮಾನ ಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶವಾಗಿರಲಿ:

$$ \mathbf{r}_i=x_i \hat{\mathbf{i}}+y_i \hat{\mathbf{j}}+z_i \hat{\mathbf{k}} $$

$$\text{and} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=X \hat{\mathbf{i}}+Y \hat{\mathbf{j}}+Z \hat{\mathbf{k}}$$

$$\text{Then} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=\frac{\sum m_{i} \mathbf{r_i}}{M} \tag{6.4d}$$

ಬಲಭಾಗದ ಮೊತ್ತವು ಸದಿಶ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಸದಿಶಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ನಾವು ಸಾಧಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗ