7.1 ಪರಿಚಯ

ನಮ್ಮ ಜೀವನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಭೂಮಿಯ ಕಡೆಗೆ ಆಕರ್ಷಿತವಾಗುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಅರಿವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಎಸೆದ ಯಾವುದಾದರೂ ವಸ್ತು ಭೂಮಿಯ ಕಡೆಗೆ ಕೆಳಗೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ, ಮೇಲ್ಗಡೆ ಹೋಗುವುದು ಕೆಳಗಡೆ ಹೋಗುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದಣಿವುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಮೋಡಗಳಿಂದ ಮಳೆಬಿಂದುಗಳು ಭೂಮಿಯ ಕಡೆಗೆ ಬೀಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಅಂತಹ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿವೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು, ಅವುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ಭೂಮಿಯ ಕಡೆಗೆ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದವರು ಇಟಾಲಿಯನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗೆಲಿಲಿಯೋ (1564-1642) ಆಗಿದ್ದಾರೆ. ಈ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಅವರು ಸಾರ್ವಜನಿಕವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸತ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅವರು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಓರೆಯಾದ ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲೆ ಉರುಳುವ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಪಡೆದ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರು.

ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ವಿದ್ಯಮಾನವಾದ, ನಕ್ಷತ್ರಗಳು, ಗ್ರಹಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚಲನೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಯು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಅನೇಕ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ನಡೆದ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ವರ್ಷದಿಂದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾನಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ನಕ್ಷತ್ರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಸ್ತುಗಳೆಂದರೆ ಗ್ರಹಗಳು, ಅವು ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತವೆ. ಸುಮಾರು 2000 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಟಾಲೆಮಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಗಳಿಗೆ ಮೊದಲು ದಾಖಲಾದ ಮಾದರಿಯು ‘ಭೂಕೇಂದ್ರೀಯ’ ಮಾದರಿಯಾಗಿತ್ತು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಕಾಶಕಾಯಗಳು, ನಕ್ಷತ್ರಗಳು, ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳು, ಎಲ್ಲವೂ ಭೂಮಿಯ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ. ಆಕಾಶಕಾಯಗಳಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಏಕೈಕ ಚಲನೆಯು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚಲನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಗ್ರಹಗಳ ವೀಕ್ಷಿತ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಟಾಲೆಮಿಯಿಂದ ಚಲನೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮುಂದಿಡಲಾಯಿತು. ಗ್ರಹಗಳು ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಸ್ವತಃ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವಂತೆ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಸುಮಾರು 400 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಭಾರತೀಯ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಂದಲೂ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಮುಂದಿಡಲಾಯಿತು. ಆದರೆ ಸೂರ್ಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳು ಅದರ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ - ‘ಸೂರ್ಯಕೇಂದ್ರೀಯ’ ಮಾದರಿಯ - ಹೆಚ್ಚು ಸೊಗಸಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆರ್ಯಭಟ್ಟರು ( $5^{\text {th }}$ ಶತಮಾನ A.D.) ತಮ್ಮ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ನಿಕೋಲಸ್ ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್ (1473-1543) ಎಂಬ ಪೋಲಿಷ್ ಸನ್ಯಾಸಿ ಸ್ಥಿರ ಕೇಂದ್ರ ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಗ್ರಹಗಳು ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಚರ್ಚ್ ಅವಮಾನಿಸಿತು, ಆದರೆ ಅದರ ಬೆಂಬಲಿಗರಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹರಾದ ಗೆಲಿಲಿಯೋ ತಮ್ಮ ನಂಬಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಾನೂನು ಕ್ರಮವನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಯಿತು.

ಗೆಲಿಲಿಯೋ ಸಮಕಾಲೀನನಾಗಿದ್ದ ಸುಮಾರು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಡೆನ್ಮಾರ್ಕ್ನ ಟೈಕೋ ಬ್ರಹೆ (1546-1601) ಎಂಬ ಒಬ್ಬ ಶ್ರೀಮಂತ, ತನ್ನ ಜೀವಿತಾವಧಿಯನ್ನು ಬರಿಗಣ್ಣಿನಿಂದ ಗ್ರಹಗಳ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಳೆದನು. ಅವನ ಸಂಕಲಿತ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ನಂತರ ಅವನ ಸಹಾಯಕ ಜೊಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ (1571-1640) ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದನು. ಅವನು ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಮೂರು ಸೊಗಸಾದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಅವುಗಳು ಈಗ ಕೆಪ್ಲರ್ನ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರಾಗಿವೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳು ನ್ಯೂಟನ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದವು ಮತ್ತು ಅವನಿಗೆ ತನ್ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಮಹಾನ್ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜಿಗಿತವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿದವು.

7.2 ಕೆಪ್ಲರ್ನ ನಿಯಮಗಳು

ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಮೂರು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು:

1. ಕಕ್ಷೆಗಳ ನಿಯಮ : ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಹಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ನಾಭಿಯಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 7.1a) ಸ್ಥಿತವಾಗಿರುತ್ತಾನೆ (ಚಿತ್ರ 7.1a). ಈ ನಿಯಮವು ಕೇವಲ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಿದ ಕೋಪರ್ನಿಕನ್ ಮಾದರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನೆಯಾಗಿತ್ತು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು, ಅದರಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವು ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ. 7.1(a) ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಗ್ರಹವೊಂದು ಗೀಚಿದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ಹತ್ತಿರದ ಬಿಂದು P ಮತ್ತು ದೂರದ ಬಿಂದು A, P ಅನ್ನು ಪೆರಿಹೀಲಿಯನ್ ಎಂದು ಮತ್ತು A ಅನ್ನು ಅಪಹೀಲಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವು AP ದೂರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು

ಚಿತ್ರ. 7.1(b) ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಗೀಚುವುದು. ದಾರದ ತುದಿಗಳನ್ನು F1 ಮತ್ತು F2 ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ತುದಿಯು ದಾರವನ್ನು ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಹಿಡಿದುಕೊಂಡು ಸುತ್ತಲೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು $\mathrm{F}_1$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}_2$ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ. ದಾರದ ಉದ್ದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ತುದಿಗಳನ್ನು ಪಿನ್ಗಳಿಂದ $F_1$ ಮತ್ತು $F_2$ ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ. ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ತುದಿಯಿಂದ ದಾರವನ್ನು ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಎಳೆದು ನಂತರ ದಾರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಇರಿಸಿಕೊಂಡು ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಗೀಯಿರಿ. (ಚಿತ್ರ 7.1(b)) ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು $\mathrm{T}$ ಗೆ, $\mathrm{F}_1$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}_2$ ಗಳಿಂದ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ ಗಳನ್ನು ನಾಭಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು $\mathrm{F}_1$ ಮತ್ತು $\mathrm{F}_2$ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳು $\mathrm{P}$ ಮತ್ತು $\mathrm{A}$ ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿ, ಚಿತ್ರ 7.1(b) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. PA ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ $\mathrm{O}$ ಮತ್ತು ಉದ್ದ $\mathrm{PO}=$ AO ಅನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ, ಎರಡು ನಾಭಿಗಳು ಒಂದಾಗಿ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷವು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಿಯಮ : ಯಾವುದೇ ಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂರ್ಯನಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಸಮಾನ ಸಮಯಾವಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 7.2). ಗ್ರಹಗಳು ಸೂರ್ಯನಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿರುವಾಗ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವಾಗಕ್ಕಿಂತ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಚಲಿಸುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಎಂಬ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ ಈ ನಿಯಮ ಬರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ. 7.2 ಗ್ರಹ P ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ನೆರಳು ಮಾಡಿದ ಪ್ರದೇಶವು ಸಣ್ಣ ಸಮಯಾವಧಿ ∆t ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಪ್ರದೇಶ ∆A ಆಗಿದೆ.

3. ಆವರ್ತನಗಳ ನಿಯಮ : ಗ್ರಹದ ಪರಿಭ್ರಮಣೆಯ ಕಾಲಾವಧಿಯ ವರ್ಗವು ಗ್ರಹವು ಗೀಚಿದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಘನಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 7.1 ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ಎಂಟು* ಗ್ರಹಗಳ ಅಂದಾಜು ಪರಿಭ್ರಮಣಾ ಕಾಲಾವಧಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 7.1

ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಯ ಮಾಪನದಿಂದ ದತ್ತಾಂಶ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಆವರ್ತನಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{Semi-major axis in units of } 10^{10} \mathrm{~m}. \\ & T \equiv \text{Time period of revolution of the planet in years }(y). \\ & Q \equiv \text{The quotient } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{in units of } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದು ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಬಲವು ಗ್ರಹದ ಮೇಲಿನ ಬಲವು ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು ಗ್ರಹವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸದಿಶದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಸೂರ್ಯನು ಮೂಲಬಿಂದುವಲ್ಲಿರಲಿ ಮತ್ತು ಗ್ರಹದ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\mathbf{r}$ ಮತ್ತು $\mathbf{p}$ ಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಿ. ನಂತರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $\mathrm{m}$ ಇರುವ ಗ್ರಹವು ಸಮಯಾವಧಿ $\Delta t$ ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಪ್ರದೇಶವು (ಚಿತ್ರ 7.2) $\Delta \mathbf{A}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

ಆದ್ದರಿಂದ

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { since } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $\mathbf{v}$ ವೇಗವಾಗಿದೆ, $\mathbf{L}$ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಬಲಕ್ಕೆ, ಅದು $\mathbf{r}, \mathbf{L}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಗ್ರಹವು ಸುತ್ತಲೂ ಹೋದಂತೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಬಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಿಯಮವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.1 ಗ್ರಹದ ವೇಗವು ಪೆರಿಹೀಲಿಯನ್ $P$ ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರ 7.1(a) ರಲ್ಲಿ $V_P$ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯ-ಗ್ರಹ ದೂರ SP ಯು $r_P$ ಆಗಿರಲಿ. $\{r_P, V_P\}$ ಅನ್ನು ಅಪಹೀಲಿಯನ್ $\{r_A, V_A\}$ ನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ. ಗ್ರಹವು $B A C$ ಮತ್ತು $C P B$ ಗಳನ್ನು ದಾಟಲು ಸಮಾನ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೇ?

ಉತ್ತರ $P$ ನಲ್ಲಿನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಪರಿಮಾಣವು $L_p=m_p r_p V_p$ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ನಮಗೆ ತೋರಿಸುವಂತೆ $\mathbf{r}_p$ ಮತ್ತು $\mathbf{v}_p$ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, $L_A=m_p r_A V_A$. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಿಂದ

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

ಅಥವಾ $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

$r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ ಸದಿಶಗಳು $S B$ ಮತ್ತು $S C$ ಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶ $S B A C$ ಚಿತ್ರ 7.1 ರಲ್ಲಿ $\mathrm{SBPC}$ ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದಿಂದ, ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಗ್ರಹವು $B A C$ ಅನ್ನು ದಾಟಲು $C P B$ ಅನ್ನು ದಾಟಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

7.3 ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿಯಮ

ಒಂದು ಮರದಿಂದ ಸೇಬು ಬೀಳುವುದನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿ, ನ್ಯೂಟನ್ ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರೇರಿತರಾದರು ಎಂಬುದು ದಂತಕಥೆಯಾಗಿದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ನ ತರ್ಕವು ತ್ರಿಜ್ಯ $R_{m}$ ನ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುವ ಚಂದ್ರನು ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮುಖ ತ್ವರಣಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದಾಗಿತ್ತು, ಅದರ ಪರಿಮಾಣ

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $V$ ಚಂದ್ರನ ವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಾಲಾವಧಿ $T$ ಗೆ ಸಂಬಂಧ $V=2 \pi R_{m} / T$ ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಕಾಲಾವಧಿ $T$ ಸುಮಾರು 27.3 ದಿನಗಳು ಮತ್ತು $R_{m}$ ಈಗಾಗಲೇ ಸುಮಾರು $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿತ್ತು. ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (7.3) ನಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು $a_{m}$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ $g$ ನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವು ದೂರದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವು ಭೂಮಿಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರದ ವಿಲೋಮ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಾವು $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ ನ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ (7.3) ನಿಂದ $a_{\mathrm{m}}$ ನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ್ಮತವಾಗಿದೆ. ಈ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ನ್ಯೂಟನ್ರನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲು ಕಾರಣವಾದವು:

ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವು ಇತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಬಲವು ಅವುಗಳ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಉಲ್ಲೇಖವು ಮೂಲತಃ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರಂಥವಾದ ‘ನೈಸರ್ಗಿಕ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಣಿತೀಯ ತತ್ವಗಳು’ (ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ) ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ.

ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನ್ಯೂಟನ್ನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವು ಓದುತ್ತದೆ: ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $m_{2}$ ಮೇಲಿನ ಬಲ $\mathbf{F}$ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $m_{1}$ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (7.5) ಅನ್ನು ಸದಿಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

ಇಲ್ಲಿ $\mathrm{G}$ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, $\hat{\mathbf{r}}$ $m_1$ ನಿಂದ $m_2$ ಗೆ ಏಕಕ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ ಚಿತ್ರ 7.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ.

ಚಿತ್ರ. 7.3 m1 ಮೇಲಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲವು r ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಸದಿಶ r (r2 – r1 ) ಆಗಿದೆ.

$m_1$ ಮೇಲಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲವು $m_2$ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ $\mathbf{r}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಸದಿಶ $\mathbf{r}$ ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$) ಆಗಿದೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲವು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಬಲ $\mathbf{F}$ $-\mathbf{r}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $m_1$ ಮೇಲಿನ ಬಲವು $m_2$ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಮೂರನೇ ನಿಯಮದಿಂದ $-\mathbf{F}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಸ್ತು 1 ಮೇಲಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲ F₁₂ ಮತ್ತು ವಸ್ತು 2 ಮೇಲಿನ ಬಲ F₂₁ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ

F₁₂=-F₂₁.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣ (7.5) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು ಏಕೆಂದರೆ ನಿಯಮವು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ನಾವು ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದರ ಮೇಲಿನ ಬಲವು ಇತರ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಚಿತ್ರ 7.4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲಗಳ ಸದಿಶ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ. 7.4 ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m1 ಮೇಲಿನ ಒಟ್ಟು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲವು m2, m3 ಮತ್ತು m4 ಗಳಿಂದ ಉಂಟುಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲಗಳ ಸದಿಶ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

$m_1$ ಮೇಲಿನ ಒಟ್ಟು ಬಲವು

$$ F_1=\frac{G m_2 m_1}{r_{21}^2} \hat{r_{21}}+\frac{G m_3 m_1}{r_{31}^2} \hat{r_{31}}+\frac{G m_4 m_1}{r_{41}^2} \hat{r_{41}} $$

ಉದಾಹರಣೆ 7.2 ಮೂರು ಸಮಾನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $m \mathrm{~kg}$ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ $\mathrm{ABC}$ ನ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ.

(ಎ) ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು $\mathrm{G}$ ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $2 m$ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲ ಯಾವುದು?

(ಬಿ) ಶೃಂಗ $\mathrm{A}$ ನಲ್ಲಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿದರೆ ಬಲ ಯಾವುದು?

$\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (ಚಿತ್ರ 7.5 ನೋಡಿ)

ಉತ್ತರ (ಎ) GC ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ $x$-ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು $30^{\circ}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು GB ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ $x$-ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವೂ ಅದೇ ಆಗಿದೆ. ಸದಿಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಲಗಳು

ಚಿತ್ರ. 7.5 ∆ ABC ಯ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸಮಾನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು G ಯಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ 2m ಅನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{GA}}=\frac{G m(2 m)}{1} \hat{\mathbf{j}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{GB}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ & \mathbf{F_\mathrm{GC}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(+\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \end{aligned} $$

ಮೇಲ್ಪುಂಜದ ತತ್ತ್ವ ಮತ್ತು ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ನಿಯಮದಿಂದ, $(2 m)$ ಮೇಲಿನ ಪರಿಣಾಮಕ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲ $\mathbf{F}_{\mathrm{R}}$

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{R}}= \mathbf{F_\mathrm{GA}}+\mathbf{F_\mathrm{GB}}+\mathbf{F_\mathrm{GC}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{R}}=2 G m^{2} \hat{\mathbf{j}}+2 G m^{2}\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ &+2 G m^{2}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right)=0 \end{aligned} $$

ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮಕ ಬಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ.

(ಬಿ) ಈಗ ಶೃಂಗ A ನಲ್ಲಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿದರೆ

$$ \begin{aligned} & \mathrm{F_{G A}^{\prime}}=\frac{\mathrm{G} 2 m \cdot 2 m}{1} \hat{\mathrm{j}}=4 \mathrm{Gm}^{2} \hat{\mathrm{j}} \\ & \mathrm{F_{G B}^{\prime}}=\mathrm{F_G B} \text { and } \mathrm{F_G C}^{\prime}=\mathrm{F_G C} \\ & \mathrm{~F_{R}^{\prime}}=\mathrm{F_G A}^{\prime}+\mathrm{F_G B}^{\prime}+\mathrm{F_G C}^{\prime} \\ & \mathrm{F_{\mathrm{R}}^{\prime}}=2 G m^{2} \hat{\mathrm{j}} \end{aligned} $$

ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುವಿನ (ಭೂಮಿಯಂತಹ) ಮತ್ತು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ನಡುವಿನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲಕ್ಕೆ, ಸಮೀಕರಣ (7.5) ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮೇಲೆ ಬಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಲಗಳು ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಟ್ಟು ಬಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಈ ಬಲಗಳನ್ನು ಸದಿಶೀಯವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ ಸರಳ ನಿಯಮವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

(1) ಏಕರೂಪಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಟೊಳ್ಳಾದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಚಿಪ್ಪು ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ನಡುವಿನ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಬಲವು ಚಿಪ್ಪಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಚಿಪ್ಪಿನ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ ಎಂಬಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ಚಿಪ್ಪಿನ ವಿವಿಧ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲಗಳು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೊತೆಗೆ ಈ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬ