ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪೀಳಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಪೀಳಿಗೆ ಕಟ್ಟಿದ್ದನ್ನು ಕಿತ್ತುಹಾಕುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಬ್ಬನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದನ್ನು ಇನ್ನೊಬ್ಬನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿ ಪೀಳಿಗೆಯು ಹಳೆಯ ರಚನೆಗೆ ಹೊಸ ಕಥೆಯನ್ನು ಕಟ್ಟುತ್ತದೆ. - ಹರ್ಮನ್ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್

10.1 ಪರಿಚಯ

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನೇಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಿಮ್ಮ ಎತ್ತರ ಎಷ್ಟು? ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಆಟಗಾರನು ತನ್ನ ತಂಡದ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಪಾಸ್ ನೀಡಲು ಚೆಂಡನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊಡೆಯಬೇಕು? ಮೊದಲ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಉತ್ತರ 1.6 ಮೀಟರ್ ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ, ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯ (ಪರಿಮಾಣ) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅದಿಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಎರಡನೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ (ಬಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಇದು ಸ್ನಾಯು ಶಕ್ತಿ (ಪರಿಮಾಣ) ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು (ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ಎಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸದಿಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅದಿಶ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಉದ್ದ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಸಮಯ, ದೂರ, ವೇಗ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಘನಫಲ, ತಾಪಮಾನ, ಕೆಲಸ, ಹಣ, ವೋಲ್ಟೇಜ್, ಸಾಂದ್ರತೆ, ಪ್ರತಿರೋಧ ಇತ್ಯಾದಿ. ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ, ವೇಗ, ತ್ವರಣ, ಬಲ, ತೂಕ, ಆವೇಗ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ತೀವ್ರತೆ ಇತ್ಯಾದಿ ಸದಿಶ ಪ್ರಮಾಣಗಳು.

ಡಬ್ಲ್ಯೂ.ಆರ್. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ $(1805-1865)$

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸದಿಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಸದಿಶಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಸದಿಶಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅರಿವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

10.2 ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

’ $l$ ’ ಸಮತಲ ಅಥವಾ ತ್ರಿಮಾತೀಯ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಈ ರೇಖೆಗೆ ಬಾಣದ ತಲೆಗಳ ಮೂಲಕ ಎರಡು ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಈ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.1 (i), (ii)).

ಚಿತ್ರ 10.1

ಈಗ ಗಮನಿಸಿ, ನಾವು ರೇಖೆ $l$ ಅನ್ನು ರೇಖಾಖಂಡ AB ಗೆ ಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ರೇಖೆ $l$ ಮೇಲೆ ಎರಡು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾ ಖಂಡವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 10.1(iii)). ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾ ಖಂಡವು ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸದಿಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾ ಖಂಡವು ಒಂದು ಸದಿಶ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 10.1(iii)), ಇದನ್ನು $\overrightarrow{{}AB}$ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ $\vec{a}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ‘ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}AB}$ ’ ಅಥವಾ ‘ಸದಿಶ $\vec{a}$ ’ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}AB}$ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಬಿಂದು $A$ ಅನ್ನು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಬಿಂದು $B$ ಅನ್ನು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸದಿಶದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಸದಿಶದ ಪರಿಮಾಣ (ಅಥವಾ ಉದ್ದ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು $|\overrightarrow{{}AB}|$, ಅಥವಾ $|\vec{a}|$, ಅಥವಾ $a$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಣವು ಸದಿಶದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ ಉದ್ದವು ಎಂದಿಗೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, $|\vec{a}|<0$ ಎಂಬ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶ

XI ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ, ತ್ರಿಮಾತೀಯ ಬಲ-ಕೈ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ (ಚಿತ್ರ 10.2(i)). ಮೂಲ $O(0,0,0)$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ $(x, y, z)$ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದು $P$ ಅನ್ನು ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ, $O$ ಮತ್ತು $P$ ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}OP}$ ಅನ್ನು ಮೂಲ $O$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದು $P$ ನ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೂರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (XI ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ), $\overrightarrow{{}OP}$ (ಅಥವಾ $\vec{r}$ ) ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲ $O$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಿಂದುಗಳು $A, B, C$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.2 (ii)).

ಚಿತ್ರ 10.2

ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು

ಚಿತ್ರ 10.3 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಬಿಂದು $P(x, y, z)$ ನ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}OP}$ (ಅಥವಾ $\vec{r}$ ) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸದಿಶ $\vec{r}$ ನಿಂದ $x, y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಿದ ಕೋನಗಳು $\alpha$, $\beta, \gamma$ ಅನ್ನು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋನಗಳ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ $\cos \alpha, \cos \beta$ ಮತ್ತು $\cos \gamma$ ಅನ್ನು ಸದಿಶ $\vec{r}$ ನ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ $l, m$ ಮತ್ತು $n$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.3 ರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ OAP ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ, ನಾವು $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ $|\vec{r}|)$ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾದ OBP ಮತ್ತು OCP ನಿಂದ, ನಾವು $\cos \beta=\frac{y}{r}$ ಮತ್ತು $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಿಂದು P ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು $(l r, m r, n r)$ ಎಂದು ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $l r, m r$ ಮತ್ತು $n r$ ಅನ್ನು ಸದಿಶ $\vec{r}$ ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಅನುಪಾತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ $a, b$ ಮತ್ತು $c$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ ಆದರೆ $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

10.3 ಸದಿಶಗಳ ವಿಧಗಳು

ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಸದಿಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶ (ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\overrightarrow{{}0}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸದಿಶಗಳು $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ,

ಏಕಕ ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣವು ಏಕತ್ವ (ಅಂದರೆ, 1 ಏಕಕ) ಆಗಿರುವ ಸದಿಶವನ್ನು ಏಕಕ ಸದಿಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀಡಲಾದ ಸದಿಶ $\vec{a}$ ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಏಕಕ ಸದಿಶವನ್ನು $\hat{a}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.ಸಹ-ಆರಂಭಿಕ ಸದಿಶಗಳು ಒಂದೇ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಸಹ-ಆರಂಭಿಕ ಸದಿಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸರಳರೇಖೀಯ ಸದಿಶಗಳು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸದಿಶಗಳು ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಒಂದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳರೇಖೀಯ ಸದಿಶಗಳು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನ ಸದಿಶಗಳು ಎರಡು ಸದಿಶಗಳು $\vec{a}$ ಮತ್ತು $\vec{b}$ ಅವುಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\vec{a}=\vec{b}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸದಿಶದ ಋಣಾತ್ಮಕ ನೀಡಲಾದ ಸದಿಶದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\overrightarrow{{}AB}$ ) ಪರಿಮಾಣದಷ್ಟೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆದರೆ ದಿಕ್ಕು ಅದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಸದಿಶವನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಸದಿಶದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}BA}$ ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}AB}$ ನ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸದಿಶಗಳು ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಅದರ ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟಕ್ಕೆ ಒಳಪಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸದಿಶಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತ ಸದಿಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದುದ್ದಕ್ಕೂ, ನಾವು ಮುಕ್ತ ಸದಿಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ದಕ್ಷಿಣದ ಪಶ್ಚಿಮಕ್ಕೆ $40 km, 30^{\circ}$ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}OP}$ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.4).

ಚಿತ್ರ 10.4

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕೆಳಗಿನ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಅದಿಶಗಳು ಮತ್ತು ಸದಿಶಗಳು ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ.

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ ಉತ್ತರದ ಕಡೆಗೆ

ಪರಿಹಾರ

(i) ಸಮಯ-ಅದಿಶ

(ii) ಘನಫಲ-ಅದಿಶ

(iii) ಬಲ-ಸದಿಶ

(iv) ವೇಗ-ಅದಿಶ

(v) ಸಾಂದ್ರತೆ-ಅದಿಶ

(vi) ವೇಗ-ಸದಿಶ

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಚಿತ್ರ 10.5 ರಲ್ಲಿ, ಯಾವ ಸದಿಶಗಳು:

(i) ಸರಳರೇಖೀಯ

(ii) ಸಮಾನ

(iii) ಸಹ-ಆರಂಭಿಕ

ಪರಿಹಾರ

(i) ಸರಳರೇಖೀಯ ಸದಿಶಗಳು: $\vec{a}, \vec{c}$ ಮತ್ತು $\vec{d}$.

(ii) ಸಮಾನ ಸದಿಶಗಳು : $\vec{a}$ ಮತ್ತು $\vec{c}$.

(iii) ಸಹ-ಆರಂಭಿಕ ಸದಿಶಗಳು : $\vec{b}, \vec{c}$ ಮತ್ತು $\vec{d}$.

10.4 ಸದಿಶಗಳ ಸಂಕಲನ

ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}AB}$ ಎಂದರೆ ಸರಳವಾಗಿ ಬಿಂದು A ನಿಂದ ಬಿಂದು $B$ ಗೆ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟ. ಈಗ ಒಂದು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಒಬ್ಬ ಹುಡುಗಿ $A$ ನಿಂದ $B$ ಗೆ ಮತ್ತು ನಂತರ $B$ ನಿಂದ $C$ ಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತಾಳೆ (ಚಿತ್ರ 10.7). ಹುಡುಗಿಯು ಬಿಂದು $A$ ನಿಂದ ಬಿಂದು $C$ ಗೆ ಮಾಡಿದ ನಿವ್ವಳ ಸ್ಥಾನಪಲ್ಲಟವನ್ನು ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}AC}$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರ 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

ಇದನ್ನು ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ಸದಿಶಗಳನ್ನು $\vec{a}$ ಮತ್ತು $\vec{b}$ (ಚಿತ್ರ 10.8 (i)) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ಒಂದರ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.8(ii)).

ಚಿತ್ರ 10.8

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 10.8 (ii) ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸದಿಶ $\vec{b}$ ಅನ್ನು ಅದರ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವು $\vec{a}$ ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ನ ಮೂರನೇ ಬದಿ $AC$ ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ ಸದಿಶ $\vec{a}+\vec{b}$, ನಮಗೆ ಸದಿಶಗಳು $\vec{a}$ ಮತ್ತು $\vec{b}$ ನ ಮೊತ್ತ (ಅಥವಾ ಪರಿಣಾಮಕ) ನೀಡುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ, ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ (ಚಿತ್ರ 10.8 (ii)) ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

ಈಗ ಮತ್ತೆ, $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$ ರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

ಇದರರ್ಥ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವುದರಿಂದ (ಚಿತ್ರ 10.8(iii)) ಶೂನ್ಯ ಪರಿಣಾಮಕಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ಒಂದು ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣವು ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}BC}$ ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದಿಕ್ಕು ಅದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.8 (iii)), ಅಂದರೆ, $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ ನಂತರ, ಚಿತ್ರ 10.8 (iii) ರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ ಅನ್ನು $\vec{a}$ ಮತ್ತು $\vec{b}$ ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ನದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೋಣಿಯು ನದಿಯ ಹರಿವಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನದಿಯ ಒಂದು ದಡದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ದಡಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ, ಅದು ಎರಡು ವೇಗ ಸದಿಶಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ-ಒಂದು ದೋಣಿಯ ಎಂಜಿನ್ನಿಂದ ದೋಣಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ವೇಗ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ನದಿಯ ನೀರಿನ ಹರಿವಿನ ವೇಗ. ಈ ಎರಡು ವೇಗಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ದೋಣಿಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ದೋಣಿಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವೇಗ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ (ಅಂದರೆ, ಪರಿಣಾಮಕ ವೇಗ) ಬಗ್ಗೆ ನಿಖರವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಾವು ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು ಎರಡು ಸದಿಶಗಳನ್ನು $\vec{a}$ ಮತ್ತು $\vec{b}$ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎರಡು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳಿಂದ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.9), ನಂತರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ $\vec{a}+\vec{b}$ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣದಿಂದ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.9

ಗಮನಿಸಿ ಚಿತ್ರ 10.9 ರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಒಬ್ಬರು ಗಮನಿಸಬಹುದು

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ಅಥವಾ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ($\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ರಿಂದ )

ಇದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1 ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸದಿಶಗಳಿಗೆ $\vec{a}$ ಮತ್ತು $\vec{b}$,

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

(ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣ) ಪುರಾವೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ (ಚಿತ್ರ 10.10) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$ ಮತ್ತು $\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ತ್ರಿಕೋನ $ABC$ ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $ \overrightarrow{{}AC}=\vec{a}+\vec{b} $

ಈಗ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಸಮ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಚಿತ್ರ 10.10 ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $\overrightarrow{{}AD}=\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ ಮತ್ತು $\overrightarrow{{}DC}=\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$. ಮತ್ತೆ ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ,

ಚಿತ್ರ 10.10 ತ್ರಿಕೋನ $ADC$ ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AD}+\overrightarrow{{}DC}=\vec{b}+\vec{a} $

ಆದ್ದರಿಂದ

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸದಿಶಗಳಿಗೆ $a, b$ ಮತ್ತು $c$

$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $

ಪುರಾವೆ ಸದಿಶಗಳು $\vec{a}, \vec{b}$ ಮತ್ತು $\vec{c}$ ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\overrightarrow{{}PQ}, \overrightarrow{{}QR}$ ಮತ್ತು $\overrightarrow{{}RS}$ ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಚಿತ್ರ 10.11(i) ಮತ್ತು (ii) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ.

ಚಿತ್ರ 10.11

ನಂತರ $$\quad\quad\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QR}=\overrightarrow{{}PR}$$

ಮತ್ತು $$ \quad\quad\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}QR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}QS}$$

ಆದ್ದರಿಂದ $$ \quad\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\overrightarrow{{}PR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}PS}$$

ಮತ್ತು $$\quad \quad\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QS}=\overrightarrow{{}PS}$$

ಆದ್ದರಿಂದ $$\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$$

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಸದಿಶ ಸಂಕಲನದ ಸಹವರ್ತಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮೂರು ಸದಿಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸದಿಶ $a$ ಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ

$$ \vec{a}+\overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}+\vec{a}=\vec{a} $$

ಇಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯ ಸದಿಶ $\overrightarrow{{}0}$ ಅನ್ನು ಸದಿಶ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಕಲನ ತತ್ಸಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

10.5 ಸದಿಶದಿಂದ ಅದಿಶದ ಗುಣಾಕಾರ

$\vec{a}$ ನೀಡಲಾದ ಸದಿಶವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $\lambda$ ಒಂದು ಅದಿಶವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸದಿಶ $\vec{a}$ ನಿಂದ ಅದಿಶ $\lambda$ ನ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು $\lambda \vec{a}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸದಿಶ $\vec{a}$ ನಿಂದ ಅದಿಶ $\lambda$ ನ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ, $\lambda \vec{a}$ ಸಹ ಒಂದು ಸದಿಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸದಿಶ $\vec{a}$ ಗೆ ಸರಳರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ. ಸದಿಶ $\lambda \vec{a}$ ನ ದಿಕ್ಕು ಸದಿಶ $\vec{a}$ ನ ದಿಕ್ಕಿನಂತೆಯೇ (ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧ) ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು $\lambda$ ನ ಮೌಲ್ಯ ಧನಾತ್ಮಕ (ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಆಗಿರುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಸದಿಶ $\lambda \vec{a}$ ನ ಪರಿಮಾಣವು ಸದಿಶ $\vec{a}$ ನ ಪರಿಮಾಣದ $|\lambda|$ ಪಟ್ಟು, ಅಂದರೆ,

$$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}| $$

ಸದಿಶದಿಂದ ಅದಿಶದ ಗುಣಾಕಾರದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಶ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಚಿತ್ರ 10.12 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.12

$\lambda=-1$ ಆದಾಗ, ನಂತರ $\lambda \vec{a}=-\vec{a}$, ಇದು ಸದಿಶ $\vec{a}$ ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಸದಿಶ $\vec{a}$