ಗಣಿತೀಯ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ತರ್ಕವಲ್ಲ, ಕಲ್ಪನೆ ಶಕ್ತಿಯೇ. - ಎ.ಡಿಮೋರ್ಗನ್

11.1 ಪರಿಚಯ

XI ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ತ್ರಿಮಾಪೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಕೇವಲ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದೆವು. ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸದಿಶಗಳ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಸದಿಶ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತ್ರಿಮಾಪೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. 3-ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಈ ವಿಧಾನದ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ, ಇದು ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸೊಗಸಾದ* ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ, ಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ, ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನ, ಎರಡು ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅತ್ಯಂತ ಕಿರಿದಾದ ದೂರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕಿರುವ ದೂರದ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸದಿಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೂ, ನಾವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು

ಅಧ್ಯಾಯ 10 ರಿಂದ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖೆ $L$ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\alpha, \beta$ ಮತ್ತು $\gamma$ ಕೋನಗಳನ್ನು $x, y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ದಿಕ್ಕು ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಕೋನಗಳ ಕೊಸೈನುಗಳು, ಅಂದರೆ, $\cos \alpha, \cos \beta$ ಮತ್ತು $\cos \gamma$ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖೆ $L$ ನ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು $L$ ರ ದಿಕ್ಕನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ದಿಕ್ಕು ಕೋನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪೂರಕ ಕೋನಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $\pi-\alpha, \pi-\beta$ ಮತ್ತು $\pi-\gamma$. ಹೀಗಾಗಿ, ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ತಿರುಗುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ 11.1

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾದ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳ ಸೆಟ್ ಹೊಂದಲು, ನಾವು ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಅನನ್ಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು $l, m$ ಮತ್ತು $n$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಯು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಅದರ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. $l, m, n$ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $a, b, c$ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $a=\lambda l, b=\lambda m$ ಮತ್ತು $c=\lambda n$, ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ $\lambda \in \mathbf{R}$ ಗೆ.

ಗಮನಿಸಿ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ದಿಕ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

$a, b, c$ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $l, m$ ಮತ್ತು $n$ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳಾಗಿರಲಿ (ದಿ.ಕೊ). ನಂತರ

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

ಆದ್ದರಿಂದ $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

ಆದರೆ $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

ಆದ್ದರಿಂದ $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

ಅಥವಾ $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

ಆದ್ದರಿಂದ, (1) ರಿಂದ, ರೇಖೆಯ ದಿ.ಕೊ.ಗಳು $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

ಇಲ್ಲಿ, $k$ ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು $l, m$ ಮತ್ತು $n$ ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗೆ, $a, b, c$ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $k a, k b, k c ; k \neq 0$ ಕೂಡ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೆಟ್ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು ಕೂಡ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಗೆ ಅನಂತವಾದ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ.

11.2.1 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು

ಎರಡು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೇಖೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, ನಾವು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಾದ $P(x_1, y_1, z_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2, z_2)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 11.2 (ಎ)).

ಚಿತ್ರ 11.2

$l, m, n$ ರೇಖೆ PQ ಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\alpha, \beta$ ಮತ್ತು $\gamma$ ಕೋನಗಳನ್ನು $x, y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಲಿ.

$P$ ಮತ್ತು $Q$ ನಿಂದ $XY$-ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಅವು $R$ ಮತ್ತು $S$ ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. $P$ ನಿಂದ $QS$ ಗೆ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಅದು $N$ ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ $PNQ, \angle PQN=\gamma$ (ಚಿತ್ರ 11.2 (ಬಿ)).

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ ಆದ್ದರಿಂದ, $P(x_1, y_1, z_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2, z_2)$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾ ಖಂಡದ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

ಇಲ್ಲಿ $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

ಗಮನಿಸಿ $P(x_1, y_1, z_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2, z_2)$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾ ಖಂಡದ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ $90^{\circ}, 60^{\circ}$ ಮತ್ತು $30^{\circ}$ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ $x, y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದರ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $d . c$ ಆಗಿರಲಿ. ರೇಖೆಯ ‘$s$ $l, m, n$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಒಂದು ರೇಖೆಯು 2, - 1, - 2 ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

ಅಥವಾ $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

ಉದಾಹರಣೆ 3 $(-2,4,-5)$ ಮತ್ತು $(1,2,3)$ ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾದ $P(x_1, y_1, z_1)$ ಮತ್ತು $Q(x_2, y_2, z_2)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

ಇಲ್ಲಿ $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ಇಲ್ಲಿ $P$ $(-2,4,-5)$ ಮತ್ತು $Q$ $(1,2,3)$ ಆಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

ಉದಾಹರಣೆ 4 $x, y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $x$-ಅಕ್ಷವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $0^{\circ}, 90^{\circ}$ ಮತ್ತು $90^{\circ}$ ಕೋನಗಳನ್ನು $x, y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $x$-ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ ಅಂದರೆ, $1,0,0$ ಆಗಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, $y$-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $0,1,0$ ಮತ್ತು $0,0,1$ ಆಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ ಮತ್ತು $C(3,8,-11)$ ಬಿಂದುಗಳು ಸರಳರೇಖೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ A ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು

$1-2,-2-3,3+4$ ಅಂದರೆ, $-1,-5,7$.

$B$ ಮತ್ತು $C$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು $3-1,8+2,-11-3$, ಅಂದರೆ, $2,10,-14$.

$AB$ ಮತ್ತು $BC$ ರ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, $AB$ $BC$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಬಿಂದು $B$ ಎರಡೂ $AB$ ಮತ್ತು $BC$ ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $A, B, C$ ಸರಳರೇಖೀಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

11.3 ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ನಾವು XI ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಈಗ ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸದಿಶ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು

(i) ಅದು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ

(ii) ಅದು ಎರಡು ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

11.3.1 ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು $\vec{a}$ ನೀಡಲಾದ ಸದಿಶ $\vec{b}$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

$\vec{a}$ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಬಿಂದು $O$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದು A ಯ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶವಾಗಿರಲಿ. $l$ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದು $A$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಸದಿಶ $\vec{b}$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲಿ. $\vec{r}$ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ (ಚಿತ್ರ 11.3) ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು $P$ ನ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶವಾಗಿರಲಿ.

ನಂತರ $\overrightarrow{{}AP}$ ಸದಿಶ $\vec{b}$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, ಇಲ್ಲಿ $\lambda$ ಕೆಲವು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಆದರೆ $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

ಅಂದರೆ $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯತಾಂಕ $\lambda$ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು $P$ ನ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಯ ಸದಿಶ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

ಟಿಪ್ಪಣಿ $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $a, b, c$ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, $a, b, c$ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, $b$ ಅನ್ನು $|\vec{b}|$ ನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಸದಿಶ ರೂಪದಿಂದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ರೂಪದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದು $A$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x_1, y_1, z_1)$ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು $a, b, c$ ಆಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು $P$ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು $(x, y, z)$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

ಮತ್ತು $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು $\hat{i}, \hat{j}$ ಮತ್ತು $\hat{k}$ ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

ಇವು ರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ನಿಯತಾಂಕ $\lambda$ ಅನ್ನು (2) ರಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

ಇದು ರೇಖೆಯ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ $l, m, n$ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಬಿಂದು $(5,2,-4)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಸದಿಶ $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸದಿಶ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಯ ಸದಿಶ ಸಮೀಕರಣವು

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

ಈಗ, $\vec{r}$ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು $P(x, y, z)$ ನ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

ಇದು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

11.4 ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

$L_1$ ಮತ್ತು $L_2$ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $a_1, b_1, c_1$ ಮತ್ತು $a_2, b_2, c_2$ ಆಗಿರಲಿ. $P$ $L_1$ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $Q$ $L_2$ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಚಿತ್ರ 11.6 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಾದ $OP$ ಮತ್ತು $OQ$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $\theta$ OP ಮತ್ತು OQ ಗಳ ನಡುವಿನ ಲಘುಕೋನವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಾದ OP ಮತ್ತು OQ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $a_1, b_1, c_1$ ಮತ್ತು $a_2, b_2, c_2$ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸದಿಶಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ $\theta$ ಅನ್ನು $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$\sin \theta$ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

ಗಮನಿಸಿ ರೇಖೆಗಳಾದ $L_1$ ಮತ್ತು $L_2$ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ರೇಖೆಗಳಾದ $L_1^{\prime}$ ಮತ್ತು $L_2^{\prime}$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $L_1$ ಮತ್ತು $L_2$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ.

ರೇಖೆಗಳಾದ $L_1$ ಮತ್ತು $L_2$ ಗಳಿಗೆ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ದಿಕ್ಕೊಸೈನುಗಳು, ಅಂದರೆ, $l_1, m_1, n_1$ $L_1$ ಗೆ ಮತ್ತು $l_2, m_2, n_2$ $L_2$ ಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ (1) ಮತ್ತು (2) ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

ಮತ್ತು $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು $a_1, b_1, c_1$ ಮತ್ತು $a_2, b_2, c_2$ ಆಗಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು

(i) ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಂದರೆ $\theta=90^{\circ}$ ಆಗಿದ್ದರೆ (1) ರಿಂದ

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ii) ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಂದರೆ $\theta=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ (2) ರಿಂದ

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$$

ಈಗ, ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. $\theta$ ಲಘುಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ ರೇಖೆಗಳಾದ $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ ಮತ್ತು $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ, $\theta$ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ

ನಂತರ $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

ಮತ್ತು $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

ಇಲ್ಲಿ, $a_1, b _{1,} c_1$ ಮತ್ತು $a _{2,}, b_2, c_2$ ಕ್ರಮವಾಗಿ ರೇಖೆಗಳ (1) ಮತ್ತು (2) ರ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾದ ರೇಖಾ ಜೋಡಿಯ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

ಮತ್ತು $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿ $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ ಮತ್ತು $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ $\theta$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

ಉದಾಹರಣೆ 8 ರೇಖಾ ಜೋಡಿಯ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮತ್ತು $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

ಪರಿಹಾರ ಮೊದಲ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು 3, 5, 4 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕು ಅನುಪಾತಗಳು $1,1,2$ ಆಗಿವೆ. $\theta$ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕೋನವು $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$ ಆಗಿದೆ.

11.5 ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅತ್ಯಂತ ಕಿರಿದಾದ ದೂರ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅತ್ಯಂತ ಕಿರಿದಾದ ದೂರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅತ್ಯಂತ ಕಿರಿದಾದ ದೂರವು ಲಂಬ ದೂರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಲಂಬದ ಉದ್ದ.

ಇನ್ನಷ್ಟು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಛೇದಿಸದ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ರೇಖಾ ಜೋಡಿಗಳು ಸಹತಲೀಯವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಾತ್ರ 1, 3, 2 ಘಟಕಗಳ ಕೋಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಚಿತ್ರ 11.5 ಕ್ರಮವಾಗಿ $x, y$ ಮತ್ತು $z$-ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಿತ್ರ 11.5.

CE ಗೆ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆ GE ಮತ್ತು ಒಂದು ಮೂಲೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆ DB ನೇರವಾಗಿ A ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಗೋಡೆಯ ಕೆಳಗೆ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಗಳು ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳು ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅತ್ಯಂತ ಕಿರಿದಾದ ದೂರದಿಂದ ನಾವು ಅರ್ಥೈಸುವುದು ಒಂದು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದ ಖಂಡದ ಉದ್ದವು ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ, ಅತ್ಯಂತ ಕಿರಿದಾದ ದೂರದ ರೇ