ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕೇವಲ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ - ಸಿ.ಎಸ್. ಪೀರ್ಸ್

13.1 ಪರಿಚಯ

ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ $(1601-1665)$

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ರಷ್ಯಾದ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎ.ಎನ್. ಕೋಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ (1903-1987) ರಚಿಸಿದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾದರಿ ಆವರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಘಟನೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತಾ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತಾ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವಿಚಲನವನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅಧ್ಯಾಯದ ಕೊನೆಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದುದ್ದಕ್ಕೂ, ನಾವು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ.

13.2 ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮಾದರಿ ಆವರಣದಿಂದ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯು ಇನ್ನೊಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆಯೇ? ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಮೂರು ನ್ಯಾಯಸಮ್ಮತ ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿಮ್ಮುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರಯೋಗದ ಮಾದರಿ ಆವರಣವು

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

ನಾಣ್ಯಗಳು ನ್ಯಾಯಸಮ್ಮತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ $\frac{1}{8}$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು. $E$ ‘ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ತಲೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $F$ ‘ಮೊದಲ ನಾಣ್ಯವು ಬಾಲವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

ಅಥವಾ $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

ಆದ್ದರಿಂದ $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

ಅಥವಾ $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$ ನೊಂದಿಗೆ

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

ಈಗ, ನಮಗೆ ಮೊದಲ ನಾಣ್ಯವು ಬಾಲವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀಡಿದರೆ, ಅಂದರೆ F ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ $E$ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? $F$ ಸಂಭವಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ, $E$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಮೊದಲ ನಾಣ್ಯವು ಬಾಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗದ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಘಟನೆ $E$ ಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಮಾದರಿ ಆವರಣವನ್ನು $S$ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅದರ ಉಪಗುಂಪು $F$ ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಘಟನೆ $F$ ಸಂಭವಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ, $F$ ನ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುವು ಘಟನೆ $E$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ THH.

ಹೀಗೆ, $E$ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು $F$ ಅನ್ನು ಮಾದರಿ ಆವರಣವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ $=\frac{1}{4}$,

ಅಥವಾ $\quad$ ಘಟನೆ $E$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ನೀಡಿದಾಗ $F$ ಸಂಭವನೀಯತೆ $=\frac{1}{4}$

ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ $E$ ಅನ್ನು $E$ ನೀಡಿದಾಗ $F$ ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು $P(E \mid F)$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

$F$ ನ ಅಂಶಗಳು ಘಟನೆ $E$ ಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅವು $E$ ಮತ್ತು $F$ ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ $E \cap F$ ನ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳು.

ಹೀಗೆ, ನಾವು $E$ ನೀಡಿದಾಗ $F$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

ಮಾದರಿ ಆವರಣದ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, $P(EIF)$ ಅನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

ಗಮನಿಸಿ (1) ಮಾತ್ರ $P(F) \neq 0$ ಆಗಿರುವಾಗ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ, $F \neq \phi$ (ಏಕೆ?) ಹೀಗೆ, ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 $E$ ಮತ್ತು $F$ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದ ಒಂದೇ ಮಾದರಿ ಆವರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಘಟನೆ $E$ ನೀಡಿದಾಗ $F$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ, ಅಂದರೆ $P(E \mid F)$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

$E$ ಮತ್ತು $F$ ಪ್ರಯೋಗದ ಮಾದರಿ ಆವರಣ $S$ ನ ಘಟನೆಗಳಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಗುಣಲಕ್ಷಣ $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

ಹೀಗೆ $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

ಅಥವಾ $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

ಗುಣಲಕ್ಷಣ 2 $A$ ಮತ್ತು $B$ ಮಾದರಿ ಆವರಣ $S$ ಮತ್ತು $F$ ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ $S$ ನ ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ $P(F) \neq 0$, ನಂತರ

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, $A$ ಮತ್ತು $B$ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ

ನಮಗೆ ಇದೆ $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕದ ಮೇಲೆ ಯೂನಿಯನ್ನ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮದಿಂದ)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

$A$ ಮತ್ತು $B$ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟನೆಗಳಾಗಿರುವಾಗ, ನಂತರ

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

$\mathrm{A}$ ಮತ್ತು $\mathrm{B}$ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟನೆಗಳಾಗಿರುವಾಗ, ನಂತರ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

ಗುಣಲಕ್ಷಣ $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

ಗುಣಲಕ್ಷಣ 1 ರಿಂದ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

ಈಗ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ ಮತ್ತು $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $P(A \mid B)$ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ಇದೆ $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಒಂದು ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮಕ್ಕಳಿದ್ದಾರೆ. ಅವರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ಹುಡುಗನಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಮಕ್ಕಳು ಹುಡುಗರಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ $b$ ಹುಡುಗನನ್ನು ಮತ್ತು $g$ ಹುಡುಗಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ಪ್ರಯೋಗದ ಮಾದರಿ ಆವರಣವು

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

$E$ ಮತ್ತು $F$ ಕೆಳಗಿನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ:

E: ‘ಎರಡೂ ಮಕ್ಕಳು ಹುಡುಗರು’

$F$: ‘ಕನಿಷ್ಠ ಒಬ್ಬ ಮಗು ಹುಡುಗ’

ನಂತರ $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

ಈಗ $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

ಹೀಗೆ $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

ಆದ್ದರಿಂದ $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

ಉದಾಹರಣೆ 3 1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹತ್ತು ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಬೆರೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಳೆದ ಕಾರ್ಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ A ಯು ‘ಎಳೆದ ಕಾರ್ಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು B ಯು ‘ಎಳೆದ ಕಾರ್ಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಾವು $P(AlB)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಈಗ, ಪ್ರಯೋಗದ ಮಾದರಿ ಆವರಣವು $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

ನಂತರ $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

ಮತ್ತು $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

ಸಹ $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಒಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ 1000 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿದ್ದಾರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ 430 ಮಹಿಳೆಯರು. $430,10 \%$ ಮಹಿಳೆಯರು ಹನ್ನೆರಡನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಹನ್ನೆರಡನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತಾನೆ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು, ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಹುಡುಗಿಯಾಗಿದ್ದರೆ?

ಪರಿಹಾರ E ಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಹನ್ನೆರಡನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಓದುತ್ತಾನೆ ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ ಮತ್ತು $F$ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಹುಡುಗಿಯಾಗಿರುವ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಾವು $P(EIF)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಈಗ $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ ಮತ್ತು $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$ (ಏಕೆ?)

ನಂತರ $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟನೆಗಳು A ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

A: ಮೂರನೇ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ 4

B: ಮೊದಲ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ 6 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಎಸೆತದಲ್ಲಿ 5

B ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂದು ನೀಡಿದಾಗ A ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಮಾದರಿ ಆವರಣವು 216 ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಈಗ

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

ಮತ್ತು $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

ಈಗ $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

ನಂತರ $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 6 ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ $E$ ‘ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಕನಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $F$ ‘ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 6’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ.

ನಂತರ, $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಇದೆ $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ and } P(F)=\frac{5}{36} $$

ಸಹ $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

ಆದ್ದರಿಂದ $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಾಗಿ, ಪ್ರಯೋಗದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾದರಿ ಆವರಣದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು $P(E \cap F)$ ಮತ್ತು $P(F)$ ಅನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಚಿಮ್ಮಿ ಆದರೆ ಅದು ಬಾಲವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರೆ, ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆಯಿರಿ. ‘ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಾಲವಿದೆ’ ಎಂದು ನೀಡಿದಾಗ ‘ದಾಳವು 4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ‘ಟ್ರೀ ಡಯಾಗ್ರಾಂ’ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಯೋಗದ ಮಾದರಿ ಆವರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

ಇಲ್ಲಿ $(H, H)$ ಎರಡೂ ಎಸೆತಗಳು ತಲೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು $(T, i)$ ಮೊದಲ ಎಸೆತವು ಬಾಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ $i$ ದಾಳದ ಮೇಲೆ $i=1,2,3,4,5,6$ ಗಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ, 8 ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು

$(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3)(T, 4),(T, 5),(T, 6)$ ಗಳು $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ

ಇದು ಚಿತ್ರ 13.2 ರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

$F$ ‘ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬಾಲವಿದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $E$ ‘ದಾಳವು 4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ.

ನಂತರ $$ \begin{aligned} & F=\{(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} \\ & E=\{(T, 5),(T, 6)\} \text{ and } E \cap F=\{(T, 5),(T, 6)\} \end{aligned} $$

ಈಗ $$ \begin{aligned} P(F)= & P(\{(H, T)\})+P(\{(T, 1)\})+P(\{(T, 2)\})+P(\{(T, 3)\}) \\ & +P(\{(T, 4)\})+P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\}) \\ = & \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

ಮತ್ತು $\quad P(E \cap F)=P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}$

13.3 ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಗುಣಾಕಾರ ಪ್ರಮೇಯ

$E$ ಮತ್ತು $F$ ಮಾದರಿ ಆವರಣ $S$ ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಗುಂಪು $E \cap F$ ಎರಡೂ $E$ ಮತ್ತು $F$ ಸಂಭವಿಸಿವೆ ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, $E \cap F$ ಘಟನೆಗಳು $E$ ಮತ್ತು $F$ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಂಭವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಘಟನೆ $E \cap F$ ಅನ್ನು $EF$ ಎಂದು ಸಹ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಬಹಳ ಬಾರಿ ನಾವು ಘಟನೆ EF ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ‘ರಾಜ ಮತ್ತು ರಾಣಿ’ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಘಟನೆ EF ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಡೆದಂತೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಘಟನೆ $E$ ನೀಡಿದಾಗ $F$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು $P(E \mid F)$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

$$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $$

ಈ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

$$ P(E \cap F)=P(F) . P(E \mid F) \tag{1} $$

ಸಹ, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=\frac{P(F \cap E)}{P(E)}, P(E) \neq 0 \\ & P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}(\text{ since } E \cap F=F \cap E) \end{aligned} $$

ಹೀಗೆ, $$ P(E \cap F)=P(E) . P(F \mid E) \tag{2} $$

(1) ಮತ್ತು (2) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{aligned} P(E \cap F) & =P(E) P(F \mid E) \\ & =P(F) P(E \mid F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \text{ and } P(F) \neq 0 . \end{aligned} $$

ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 ಒಂದು ಕಲಶದಲ್ಲಿ 10 ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು 5 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಕಲಶದಿಂದ ಎರಡು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಒಂದರ ನಂತರ ಒಂದರಂತೆ ಬದಲಾವಣೆ ಇಲ್ಲದೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಳೆದ ಎರಡೂ ಚೆಂಡುಗಳು ಕಪ್ಪಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ $E$ ಮತ್ತು $F$ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚೆಂಡುಗಳು ಕಪ್ಪಾಗಿ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ನಾವು $P(E \cap F)$ ಅಥವಾ $P(EF)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಈಗ $$ P(E)=P(\text{ black ball in first draw })=\frac{10}{15} $$

ಮೊದಲ ಚೆಂಡು ಕಪ್ಪಾಗಿ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಘಟನೆ $E$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ, ಈಗ ಕಲಶದಲ್ಲಿ 9 ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು ಐದು ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳು ಉಳಿದಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಚೆಂಡು ಕಪ್ಪಾಗಿ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಮೊದಲ ಎಳೆತದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡು ಕಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀಡಿದರೆ, $F$ ನೀಡಿದಾಗ $E$ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ಅಲ್ಲ.

ಅಂದರೆ $$ P(F \mid E)=\frac{9}{14} $$

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) & =\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G} \mid \mathrm{EF}) \\ & =\frac{10}{15} \times \frac{9}{14}=\frac{3}{7} \end{aligned} $$

ಹೆಚ್ಚಿನ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮ $E, F$ ಮತ್ತು $G$ ಮಾದರಿ ಆವರಣದ ಮೂರು ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ P(E \cap F \cap G)=P(E) P(F \mid E) P(G \mid(E \cap F))=P(E) P(F \mid E) P(G \mid E F) $$

ಅಂತೆಯೇ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಮೂರು ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 52 ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕದಡಿದ ಕಾರ್ಡ್ಗಳ ಪ್ಯಾಕ್ನಿಂದ ಮೂರು ಕಾರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಾವಣೆ ಇಲ್ಲದೆ ಸತತವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ಕಾರ್ಡ್ಗಳು ರಾಜರು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಎಳೆದ ಕಾರ್ಡ್ ಒಂದು ಎಕ್ಕಾ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ $K$ ಎಳೆದ ಕಾರ್ಡ್ ರಾಜ ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ ಮತ್ತು $A$ ಎಳೆದ ಕಾರ್ಡ್ ಒಂದು ಎಕ್ಕಾ ಎಂಬ ಘಟನೆಯಾಗಿರಲಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು P (KKA) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು

ಈಗ $$ P(K)=\frac{4}{52} $$

ಸಹ, $P(K \mid K)$ ಒಂದು ರಾಜನನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ರಾಜನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಈಗ $(52-1)=51$ ಕಾರ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ರಾಜರಿದ್ದಾರೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ $$ P(K \mid K)=\frac{3}{51} $$

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, $P(A \mid KK)$ ಎರಡು ರಾಜರನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನೊಂದಿಗೆ ಮೂರನೇ ಎಳೆದ ಕಾರ್ಡ್ ಒಂದು ಎಕ್ಕಾ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಈಗ ಎಡ 50 ಕಾರ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಎಕ್ಕಾಗಳಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ $$ P(A \mid KK)=\frac{4}{50} $$

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{aligned} P(KKA) & =P(K) \quad P(K \mid K) \quad P(A \mid KK) \\ & =\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50}=\frac{2}{5525} \end{aligned} $$

13.4 ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು

52 ಆಟ