ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಕುರೂಪಿ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಶಾಶ್ವತ ಸ್ಥಾನವಿಲ್ಲ … . ಗಣಿತೀಯ ಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಬಹಳ ಕಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜ, ನಾವು ಸುಂದರವಾದ ಕವಿತೆಯಿಂದ ಏನನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಓದಿದಾಗ ಅದನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದನ್ನು ಅದು ತಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. - ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿ

1.1 ಪರಿಚಯ

ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಪ್ರದೇಶ, ಸಹ-ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕ್ಲಾಸ್ XI ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾಸ್ತವ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳೊಂದಿಗೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ‘ಸಂಬಂಧ’ ಎಂಬ ಪದದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧದ ಅರ್ಥದಿಂದ ಎಳೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಪರ್ಕ ಅಥವಾ ಕೊಂಡಿ ಇದ್ದರೆ ಅವು ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. A ಒಂದು ಶಾಲೆಯ XII ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು B ಅದೇ ಶಾಲೆಯ XI ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ $A$ ನಿಂದ $B$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

ಲೆಜೂನ್ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : ಅಂತಿಮ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ a ಪಡೆದ ಒಟ್ಟು ಅಂಕಗಳು b ಅಂತಿಮ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಒಟ್ಟು ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ $b\}$ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದರಿಂದ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಿ, ನಾವು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ $A$ ನಿಂದ $B$ ಗೆ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು $A \times B$ ನ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉಪಗಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

$(a, b) \in R$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $a$ ಸಂಬಂಧ $R$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $b$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು $a R b$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $(a, b) \in R$, $a$ ಮತ್ತು $b$ ನಡುವೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಪರ್ಕ ಅಥವಾ ಕೊಂಡಿ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಚಿಂತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಲಾಸ್ XI ರಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಂತೆ, ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ, ವಿಲೋಮೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಿಮಾನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

1.2 ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಧಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಗಣ $A$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು $A \times A$ ನ ಉಪಗಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಖಾಲಿ ಗಣ $\phi$ ಮತ್ತು $A \times A$ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ. ವಿವರಣೆಗಾಗಿ, $A=\{1,2,3,4\}$ ಗಣದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಖಾಲಿ ಗಣವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ $(a, b)$ ಷರತ್ತು $a-b=10$ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಣ $A \times A$ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ A $\times$ A ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳು $(a, b)$ $|a-b| \geq 0$ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಈ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಮ್ಮನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಒಂದು ಗಣ $A$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, $A$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು $A$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, $R=\phi \subset A \times A$.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಒಂದು ಗಣ $A$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, $A$ ರ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು $A$ ರ ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, $R=A \times A$.

ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂಬಂಧ ಎರಡನ್ನೂ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತುಚ್ಛ ಸಂಬಂಧಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 $A$ ಒಂದು ಹುಡುಗರ ಶಾಲೆಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. $A$ ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಬಂಧ $R$ $R=\{(a, b): a$ $b\}$ ರ ಸಹೋದರಿ ಎಂಬುದು ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು $R^{\prime}=\{(a, b):$ $a$ ಮತ್ತು $b$ ರ ಎತ್ತರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 3 ಮೀಟರ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ $\}$ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಶಾಲೆಯು ಹುಡುಗರ ಶಾಲೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಶಾಲೆಯ ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಶಾಲೆಯ ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಸಹೋದರಿಯಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, $R=\phi$, ಇದು $R$ ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಲೆಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಎತ್ತರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 3 ಮೀಟರ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದು $R^{\prime}=A \times A$ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಕ್ಲಾಸ್ XI ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ರಾಸ್ಟರ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಗಣ ನಿರ್ಮಾತೃ ವಿಧಾನ. ಆದಾಗ್ಯೂ, $\{1,2,3,4\}$ ಗಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ ಎಂದು ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು $a R b$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ $b=a+1$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಎಂದು ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಾವು ಸಹ ಅನುಕೂಲಕರವಾದಾಗ ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

$(a, b) \in R$ ಆಗಿದ್ದರೆ, $a$ $b$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು $a R b$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಮೂರು ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸ್ವವಿವರ್ತಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ರಮಣೀಯ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3 ಒಂದು ಗಣ $A$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

(i) ಸ್ವವಿವರ್ತಿತ, $(a, a) \in R$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ $a \in A$ ಗೆ,

(ii) ಸಮ್ಮಿತೀಯ, $(a_{1}, a_{2}) \in R$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು $(a_{2}, a_{1}) \in R$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ $a_{1}, a_{2} \in A$ ಗೆ.

(iii) ಸಂಕ್ರಮಣೀಯ, $(a_{1}, a_{2}) \in R$ ಮತ್ತು $(a_{2}, a_{3}) \in R$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು $(a_{1}, a_{3}) \in R$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ ಗೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4 ಒಂದು ಗಣ $A$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, $R$ ಸ್ವವಿವರ್ತಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ರಮಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 $T$ ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $T$ ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಬಂಧ $R$ $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ $.T_{2}\}$ ಗೆ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆ. $R$ ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ $R$ ಸ್ವವಿವರ್ತಿತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನವು ಸ್ವತಃ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$ $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ ಗೆ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆ $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$ ಗೆ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $R$ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ $T_{2}$ ಗೆ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $T_{2}$ $T_{3} \Rightarrow T_{1}$ ಗೆ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆ $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ ಗೆ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $R$ ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 $ Let L$ ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $L$ ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧ $R$ $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ $.L_{2}\}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ. $R$ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಸ್ವವಿವರ್ತಿತ ಅಥವಾ ಸಂಕ್ರಮಣೀಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ $R$ ಸ್ವವಿವರ್ತಿತವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ರೇಖೆ $L_{1}$ ಸ್ವತಃ ಲಂಬವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, $(L_{1}, L_{1})$ $\notin R$. R ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ $(L_{1}, L_{2}) \in R$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$R$ ಸಂಕ್ರಮಣೀಯವಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, $L_{1}$ $L_{2}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $L_{2}$ $L_{3}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $L_{1}$ ಎಂದಿಗೂ $L_{3}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, $L_{1}$ $L_{3}$ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$ ಆದರೆ $(L_{1}, L_{3}) \notin R$.

ಚಿತ್ರ 1.1

ಉದಾಹರಣೆ 4 $\{1,2,3\}$ ಗಣದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಬಂಧ $R$ R=$\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ ಸ್ವವಿವರ್ತಿತವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅಥವಾ ಸಂಕ್ರಮಣೀಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ $R$ ಸ್ವವಿವರ್ತಿತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ $(1,1),(2,2)$ ಮತ್ತು $(3,3)$ $R$ ರಲ್ಲಿವೆ. ಹಾಗೆಯೇ, $R$ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $(1,2) \in R$ ಆದರೆ $(2,1) \notin R$. ಅಂತೆಯೇ, $R$ ಸಂಕ್ರಮಣೀಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $(1,2) \in R$ ಮತ್ತು $(2,3) \in R$ ಆದರೆ $(1,3) \notin R$.

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ $\mathbf{Z}$ ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಬಂಧ $R$ $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ $R$ ಸ್ವವಿವರ್ತಿತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 2 $(a-a)$ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ $a \in \mathbf{Z}$ ಗೆ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, $(a, b) \in R$ ಆಗಿದ್ದರೆ, 2 $a-b$ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 2 $b-a$ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $(b, a) \in R$, ಇದು $R$ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $(a, b) \in R$ ಮತ್ತು $(b, c) \in R$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $a-b$ ಮತ್ತು $b-c$ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಈಗ, $a-c=(a-b)+(b-c)$ ಸಮವಾಗಿದೆ (ಏಕೆ?). ಆದ್ದರಿಂದ, $(a-c)$ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು $R$ ಸಂಕ್ರಮಣೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $R$ $\mathbf{Z}$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 ರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳು $R$ ರಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು 0 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳು $R$ ರಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ $E$ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ $O$ ಗಳು $\mathbf{Z}$ ರ ಉಪಗಣಗಳಾಗಿವೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ:

(i) $E$ ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು $O$ ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

(ii) $E$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು $O$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

(iii) $E$ ಮತ್ತು $O$ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು $\mathbf{Z}=E \cup O$.

ಉಪಗಣ $E$ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನತಾ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು [0] ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, $O$ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನತಾ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು [1] ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ ಮತ್ತು $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲೆ ನೋಡಿದ್ದು ಒಂದು ಗಣ $X$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ $R$ ಗೆ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗಣ $X, R$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ $R$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, $X$ ಅನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಿನ್ನ ಉಪಗಣಗಳಾಗಿ $A_{i}$ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು $X$ ನ ವಿಭಜನೆಗಳು ಅಥವಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ:

(i) $A_{i}$ ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಎಲ್ಲಾ $i$ ಗೆ.

(ii) $A_{i}$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು $A_{j}, i \neq j$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ.

(iii) $\cup A_{j}=X$ ಮತ್ತು $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$.

ಉಪಗಣಗಳು $A_{i}$ ಗಳನ್ನು ಸಮಾನತಾ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಭಾಗವೆಂದರೆ ನಾವು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿಯೂ ಹೋಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಣ $\mathbf{Z}$ ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ವಿಭಿನ್ನ ಉಪಗಣಗಳು $A_{1}, A_{2}$ ಮತ್ತು $A_{3}$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು $\mathbf{Z}$ ಆಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

$\mathbf{Z}$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ $R$ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅದನ್ನು $R=\{(a, b): 3$ $a-b\}$ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 5 ರಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ವಾದಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, $R$ ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೇ, $A_{1}$ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, $\mathbf{Z}$ ರಲ್ಲಿ, $A_{2}$ 1 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $A_{3}$ 2 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, $\mathbf{Z}$ ರಲ್ಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ, $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$ ಮತ್ತು $A_{3}=[2]$. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$ ಮತ್ತು $A_{3}=[3 r+2]$, ಎಲ್ಲಾ $r \in \mathbf{Z}$ ಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ಗಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧ $R$ R=$\{(a, b) :$ a ಮತ್ತು b ಎರಡೂ ಬೆಸ ಅಥವಾ ಸಮ $\}$ ಆಗಿರಲಿ. $R$ ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ. ಮುಂದೆ, ಉಪಗಣ $\{1,3,5,7\}$ ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಉಪಗಣ $\{2,4,6\}$ ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಆದರೆ ಉಪಗಣ $\{1,3,5,7\}$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಉಪಗಣ $\{2,4,6\}$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ A ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಂಶ $a$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, $a$ ಮತ್ತು $a$ ಎರಡೂ ಬೆಸ ಅಥವಾ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ $(a, a) \in R$. ಮುಂದೆ, $(a, b) \in R \Rightarrow$ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಎರಡೂ ಬೆಸ ಅಥವಾ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು $\Rightarrow(b, a) \in R$. ಅಂತೆಯೇ, $(a, b) \in R$ ಮತ್ತು $(b, c) \in R \Rightarrow$ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು $a, b, c$, ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವಾಗಿರಬೇಕು $\Rightarrow(a, c) \in R$. ಆದ್ದರಿಂದ, $R$ ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, $\{1,3,5,7\}$ ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಉಪಗಣದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಬೆಸವಾಗಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಉಪಗಣ $\{2,4,6\}$ ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸಮವಾಗಿವೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಉಪಗಣ $\{1,3,5,7\}$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು $\{2,4,6\}$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $\{1,3,5,7\}$ ರ ಅಂಶಗಳು ಬೆಸವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ $\{2,4,6\}$ ರ ಅಂಶಗಳು ಸಮವಾಗಿವೆ.

1.3 ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಧಗಳು

ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕ್ಲಾಸ್ XI ರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯ, ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಕಾರ್ಯ, ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಕಾರ್ಯ, ಸಿಗ್ನಮ್ ಕಾರ್ಯ ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಶಿಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹಿಂದೆ ಮುಗಿಸಿದ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ ಮತ್ತು $f_{4}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 1.2 ರಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯ $f_{1}$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $X_{1}$ ರ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ $X_{1}$ ರ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವು $f_{2}$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿದೆ, ಅದು $b$ ಆಗಿದೆ. ಮುಂದೆ, $X_{2}$ ರಲ್ಲಿ $e$ ಮತ್ತು $f$ ನಂತಹ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳು $f_{1}$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $X_{1}$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ $X_{3}$ ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು $f_{3}$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $X_{1}$ ರ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5 $ A$ ಕಾರ್ಯ $f: X \rightarrow Y$ ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು (ಅಥವಾ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, $X$ ರ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು $f$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ $x_{1}, x_{2} \in X, f(x_{1})=f(x_{2})$ ಗೆ $x_{1}=x_{2}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, $f$ ಅನ್ನು ಅನೇಕ-ಒಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 1.2 (i) ಮತ್ತು (iv) ರಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು $f_{1}$ ಮತ್ತು $f_{4}$ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 1.2 (ii) ಮತ್ತು (iii) ರಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು $f_{2}$ ಮತ್ತು $f_{3}$ ಅನೇಕ-ಒಂದು ಆಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6 ಒಂದು ಕಾರ್ಯ $f: X \rightarrow Y$ ಅನ್ನು ಮೇಲೆ (ಅಥವಾ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, $Y$ ರ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು $f$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $X$ ರ ಕೆಲವು ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ $y \in Y$ ಗೆ, $X$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶ $x$ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ $f(x)=y$.

ಚಿತ್ರ 1.2 (iii), (iv) ರಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು $f_{3}$ ಮತ್ತು $f_{4}$ ಮೇಲೆ ಇವೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 1.2 (i) ರಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯ $f_{1}$ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $X_{2}$ ರಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು $e, f$ $f_{1}$ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ $X_{1}$ ರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಲ್ಲ.

ಚಿತ್ರ 1.2 (i) ರಿಂದ (iv)

ಟಿಪ್ಪಣಿ $f: X \rightarrow Y$ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ $f=Y$ ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7 ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ⟦285