ಗಣಿತವು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. — ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್

2.1 ಪರಿಚಯ

ಅಧ್ಯಾಯ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಒಂದು ಫಲನದ ವಿಲೋಮ $f$, $f^{-1}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ $f$ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಅನೇಕ ಫಲನಗಳು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು, ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. XI ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳು ಅವುಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ನಿರೂಪಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅವರ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಅನೇಕ ಸಮಾಕಲನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಯಭಟ

($476-550$ A. D.)

2.2 ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

XI ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಸೈನ್ ಫಲನ, ಅಂದರೆ, ಸೈನ್ : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ಕೊಸೈನ್ ಫಲನ, ಅಂದರೆ, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನ, ಅಂದರೆ, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನ, ಅಂದರೆ, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

ಸೆಕೆಂಟ್ ಫಲನ, ಅಂದರೆ, ಸೆಕ್ : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

ಕೋಸೆಕೆಂಟ್ ಫಲನ, ಅಂದರೆ, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

ಅಧ್ಯಾಯ 1 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಲಿತಂತೆ, $f: X \rightarrow Y$ ಅಂದರೆ $f(x)=y$ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಫಲನ $g: Y \rightarrow X$ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಅಂದರೆ $g(y)=x$, ಇಲ್ಲಿ $x \in X$ ಮತ್ತು $y=f(x), y \in$ Y. ಇಲ್ಲಿ, $g=$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $f$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $g=$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $f$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಫಲನ $g$ ಅನ್ನು $f$ ನ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $f^{-1}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, $g$ ಸಹ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು $g$ ನ ವಿಲೋಮವು $f$ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$. ನಮಗೆ ಇದೂ ಇದೆ

ಮತ್ತು $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

ಸೈನ್ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರ $[-1,1]$ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ $[-1,1]$ ಆಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೈನ್ ಫಲನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $[-1,1]$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಫಲನದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಸೈನ್ ಫಲನದ ವಿಲೋಮವನ್ನು $\sin ^{-1}$ (ಆರ್ಕ್ ಸೈನ್ ಫಲನ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $\sin ^{-1}$ ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $[-1,1]$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ಅಥವಾ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು $\sin ^{-1}$ ಫಲನದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ಇರುವ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿ ಇತರ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು $\sin ^{-1}$ ನ ವಿಭಿನ್ನ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ನಾವು $\sin ^{-1}$ ಫಲನವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಪ್ತಿ $[-1,1]$ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ಇರುವ ಫಲನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

ವಿಲೋಮ ಫಲನಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ ಆಗಿದ್ದರೆ $-1 \leq x \leq 1$ ಮತ್ತು $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ ಆಗಿದ್ದರೆ $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, $y=\sin ^{-1} x$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $\sin y=x$.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

(i) ಅಧ್ಯಾಯ 1 ರಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, $y=f(x)$ ಒಂದು ವಿಲೋಮೀಯ ಫಲನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $x=f^{-1}(y)$. ಹೀಗಾಗಿ, $\sin^{-1}$ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ $x$ ಮತ್ತು $y$ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, $(a, b)$ ಸೈನ್ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $(b, a)$ ಸೈನ್ ಫಲನದ ವಿಲೋಮದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $y=\sin ^{-1} x$ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು $y=\sin x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ $x$ ಮತ್ತು $y$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. $y=\sin x$ ಮತ್ತು $y=\sin ^{-1} x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.1 (i), (ii), (iii) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. $y=\sin ^{-1} x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ನ ಗಾಢ ಭಾಗವು ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

(ii) ವಿಲೋಮ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ಫಲನದ ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ರೇಖೆ $y=x$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಫಲನ) ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು $y=\sin x$ ಮತ್ತು $y=\sin ^{-1} x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 2.1 (iii)).

ಸೈನ್ ಫಲನದಂತೆ, ಕೊಸೈನ್ ಫಲನವು ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $[-1,1]$ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು $[0, \pi]$ ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ $[-1,1]$ ಆಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೊಸೈನ್ ಫಲನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ದ್ವಿವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $[-1,1]$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಫಲನದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಫಲನದ ವಿಲೋಮವನ್ನು $\cos ^{-1}$ (ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಫಲನ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $\cos ^{-1}$ ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $[-1,1]$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು $\cos ^{-1}$ ಫಲನದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿ $[0, \pi]$ ಇರುವ ಶಾಖೆಯನ್ನು $\cos ^{-1}$ ಫಲನದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು $y=\sin ^{-1} x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. $y=\sin x$ ಮತ್ತು $y=\cos ^{-1} x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.2 (i) ಮತ್ತು (ii) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ. 2.2 (i)

ಚಿತ್ರ 2.2 (ii)

ಈಗ ನಾವು $\csc^{-1} x$ ಮತ್ತು $\sec^{-1} x$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಚರ್ಚಿಸೋಣ:

$cosec x=\frac{1}{\sin x}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೋಸೆಕ್ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $\{x: x \in \mathbf{R}$ ಮತ್ತು $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ ಅಥವಾ $y \leq -1\}$ ಆಗಿದೆ ಅಂದರೆ, ಗಣ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ $y=cosec x$ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು $-1<y<1$ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\pi$ ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಾವು ಕೋಸೆಕ್ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೋಸೆಕ್ ಫಲನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ದ್ವಿವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $cosec^{-1}$ ಅನ್ನು ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}-(-1,1)$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು. ವ್ಯಾಪ್ತಿ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫಲನವನ್ನು $cosec^{-1}$ ನ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ ಮತ್ತು $y=\csc^{-1} x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.3 (i), (ii) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, $y=\sec x$ ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಸೆಕ್ (ಸೆಕೆಂಟ್ ಫಲನ) ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು $-1<y<1$ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\frac{\pi}{2}$ ನ ಬೆಸ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಾವು ಸೆಕೆಂಟ್ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೆಕೆಂಟ್ ಫಲನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ದ್ವಿವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}-{-1,1}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $\sec ^{-1}$ ಅನ್ನು ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}-(-1,1)$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು $sec^{-1}$ ಫಲನದ ವಿಭಿನ್ನ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿ $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ ಇರುವ ಶಾಖೆಯನ್ನು $sec^{-1}$ ಫಲನದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

$y=\sec x$ ಮತ್ತು $y=\sec^{-1} x$ ಫಲನಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.4 (i), (ii) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈಗ $\tan ^{-1}$ ಮತ್ತು $\cot ^{-1}$ ಅನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ

ಟ್ಯಾನ್ ಫಲನದ (ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನ) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಫಲನವು $\frac{\pi}{2}$ ನ ಬೆಸ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಾವು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, ನಂತರ ಅದು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ದ್ವಿವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $\tan ^{-1}$ ಅನ್ನು ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು $\tan ^{-1}$ ಫಲನದ ವಿಭಿನ್ನ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿ $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ಇರುವ ಶಾಖೆಯನ್ನು $\tan ^{-1}$ ಫಲನದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

$y=\tan x$ ಮತ್ತು $y=\arctan x$ ಫಲನದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.5 (i), (ii) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೋಟ್ ಫಲನದ (ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನ) ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಗಣ $\{x: x \in \mathbf{R}$ ಮತ್ತು $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನವು $\pi$ ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಾವು ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು $(0, \pi)$ ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ದ್ವಿವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ $\mathbf{R}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಫಲನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಅದು ದ್ವಿವಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $\cot ^{-1}$ ಅನ್ನು ಒಂದು ಫಲನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\mathbf{R}$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾದ $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು $\cot ^{-1}$ ಫಲನದ ವಿಭಿನ್ನ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿ $(0, \pi)$ ಇರುವ ಫಲನವನ್ನು $\cot ^{-1}$ ಫಲನದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ ಮತ್ತು $y=\cot^{-1} x$ ನ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.6 (i), (ii) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳನ್ನು (ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆಗಳು) ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ

1. $\sin ^{-1} x$ ಅನ್ನು $(\sin x)^{-1}$ ನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳಿಗೆ.

2. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ಯಾವುದೇ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದಿದ್ದಾಗ, ನಾವು ಆ ಫಲನದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ.

3. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ಮೌಲ್ಯವು ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ ನ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\sin ^{-1}$ ನ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ ಮತ್ತು $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ ನ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು $\frac{\pi}{4}$ ಆಗಿದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ ನ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

$\cot ^{-1}$ ನ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು $(0, \pi)$ ಮತ್ತು $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ ನ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು $\frac{2 \pi}{3}$ ಆಗಿದೆ

2.3 ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆಗಳೊಳಗೆ ಮತ್ತು ಅವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವು $x$ ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ $x$ ನ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿವರಗಳಿಗೆ ನಾವು ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಚರ್ಚೆಯು ಈ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ.

$y=\sin ^{-1} x$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $x=\sin y$ ಮತ್ತು $x=\sin y$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $y=\sin ^{-1} x$ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

$$ \sin (\sin ^{-1} x)=x, x \in[-1,1] \text { and } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$

ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಉಳಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ನಾವು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

(i) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x, 0 \leq x \leq 1$

ಪರಿಹಾರ

(i) $x=\sin \theta$ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ $\sin ^{-1} x=\theta$ ಆಗಿದ್ದರೆ $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$. ನಮಗೆ ಇದೆ

$$ \begin{alignedat} \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) \\ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \quad \text{for } \theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \\ & = 2 \sin^{-1} x \end{aligned} $$

(ii) $x=\cos \theta$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ ಮೇಲಿನಂತೆ ಮುಂದುವರೆದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$

ಉದಾಹರಣೆ 4 $\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x},-\frac{3 \pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ಅನ್ನು ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{alignedat} \tan ^{-1}(\frac{\cos x}{1-\sin x}) & =\tan ^{-1}[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})^{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}]=\tan ^{-1}[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})]=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} + n\pi \text{ for some integer } n \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 5 $\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}), x>1$ ಅನ್ನು ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $x=\sec \theta$ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ $\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}=\tan \theta$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x$, ಇದು ಸರಳ ರೂಪವಾಗಿದೆ.

ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 6 $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

$\sin ^{-1}(\sin x)=x$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\frac{3 \pi}{5}$

ಆದರೆ $\quad \frac{3 \pi}{5} \notin[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ಇದು $\sin ^{-1} x$ ನ ಮುಖ್ಯ ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ

ಆದಾಗ್ಯೂ $\quad \sin (\frac{3 \pi}{5})=\sin (\pi-\frac{3 \pi}{5})=\sin \frac{2 \pi}{5}$ ಮತ್ತು $\frac{2 \pi}{5} \in[0, \frac{\pi}{2}]$

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5}$

ಸಾರಾಂಶ

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಫಲನಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಳು (ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯ ಶಾಖೆಗಳು) ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿವ