ಗಣಿತದ ಸಾರಾಂಶವು ಅದರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಲ್ಲಿದೆ. - ಕ್ಯಾಂಟರ್

3.1 ಪರಿಚಯ

ಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಜ್ಞಾನ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸಾಧನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇತರ ನೇರವಾದ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಈ ಗಣಿತೀಯ ಸಾಧನವು ನಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು ಬಹಳ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಕಾಸವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮತ್ತು ಸರಳ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಯತ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಆ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮೀರಿಸುತ್ತದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಾಗಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಬಜೆಟ್ ಮಾಡುವುದು, ಮಾರಾಟದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ, ವೆಚ್ಚದ ಅಂದಾಜು, ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು ಮುಂತಾದ ವ್ಯವಹಾರ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ವರ್ಧನೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಫಲನದಂತಹ ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಗೂಢಲಿಪಿ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲೂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗಣಿತೀಯ ಸಾಧನವನ್ನು ಕೆಲವು ವಿಜ್ಞಾನ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಆನುವಂಶಿಕತೆ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ, ಆಧುನಿಕ ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೈಗಾರಿಕಾ ನಿರ್ವಹಣೆಯಲ್ಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವೆಂದು ನಾವು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ.

3.2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ರಾಧಾ ಬಳಿ 15 ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳಿವೆ ಎಂಬ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. [ ] ಒಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರಾಧಾ ಬಳಿ ಇರುವ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ತಿಳುವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದನ್ನು [15] ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈಗ, ರಾಧಾ ಬಳಿ 15 ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳು ಮತ್ತು 6 ಪೆನ್‌ಗಳಿವೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾದರೆ. [ ] ಒಳಗಿನ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ರಾಧಾ ಬಳಿ ಇರುವ ಪೆನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ತಿಳುವಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದನ್ನು $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ರಾಧಾ ಮತ್ತು ಅವಳ ಇಬ್ಬರು ಸ್ನೇಹಿತರು ಫೌಜಿಯಾ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ರಾನ್ ಅವರಿಂದ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಪೆನ್‌ಗಳ ಸ್ವಾಧೀನದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ನಾವು ಈಗ ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

ಈಗ ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

ಅಥವಾ

ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಮೊದಲ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ರಾಧಾ, ಫೌಜಿಯಾ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ರಾನ್ ಅವರಿಂದ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ರಾಧಾ, ಫೌಜಿಯಾ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ರಾನ್ ಅವರಿಂದ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಪೆನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡನೇ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ರಾಧಾ, ಫೌಜಿಯಾ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ರಾನ್ ಅವರಿಂದ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ರಾಧಾ, ಫೌಜಿಯಾ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ರಾನ್ ಅವರಿಂದ ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಂಡ ಪೆನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ರೀತಿಯ ಜೋಡಣೆ ಅಥವಾ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆದೇಶಿತ ಆಯತಾಕಾರದ bmatrix ಆಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ನಮೂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಳಗಿನವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳ ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದೂ, ಅಂಶಗಳ ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾಲಂಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $A$ ನಲ್ಲಿ 3 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 2 ಕಾಲಂಗಳಿವೆ, $B$ ನಲ್ಲಿ 3 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 3 ಕಾಲಂಗಳಿವೆ ಆದರೆ $C$ ನಲ್ಲಿ 2 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 3 ಕಾಲಂಗಳಿವೆ.

3.2.1 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕ್ರಮ

$m$ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು $n$ ಕಾಲಂಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು $m \times n$ ಕ್ರಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ $m \times n$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ($m$ ನಿಂದ $n$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಓದಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ, ನಾವು $A$ ಅನ್ನು $3 \times 2$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ, $B$ ಅನ್ನು $3 \times 3$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಮತ್ತು $C$ ಅನ್ನು $2 \times 3$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. $A$ ನಲ್ಲಿ $3 \times 2=6$ ಅಂಶಗಳಿವೆ, $B$ ಮತ್ತು $C$ ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ 9 ಮತ್ತು 6 ಅಂಶಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು $m \times n$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕೆಳಗಿನ ಆಯತಾಕಾರದ bmatrix ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

ಅಥವಾ $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

ಹೀಗಾಗಿ $i^{\text {th }}$ ನೇ ಸಾಲು $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ $j^{\text {th }}$ ನೇ ಕಾಲಂ $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ,

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $a_{i j}$, $i^{\text {th }}$ ನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು $j^{\text {th }}$ ನೇ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು $(i, j)^{\text {th }}$ ನೇ ಅಂಶ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು. ಒಂದು $m \times n$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು $m n$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ

1. $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ ಎಂಬ ಸಂಕೇತವನ್ನು ನಾವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ $A$ ಎಂಬುದು $m \times n$ ಕ್ರಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲು.

2. ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು $(x, y)$ ಅನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಕಾಲಂ ಅಥವಾ ಸಾಲು) ಆಗಿ $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (ಅಥವಾ $.[x, y]$) ಎಂದು ನಾವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಿಂದು $P(0,1)$ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಬಹುದು

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಮುಚ್ಚಿದ ಸರಳರೇಖೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೃಂಗಗಳು A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ ಇರುವ ಚತುರ್ಭುಜ $A B C D$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಈಗ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ $ABCD$ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗಳ ಶೃಂಗಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಈಗ, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 I, II ಮತ್ತು III ಎಂಬ ಮೂರು ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಲ್ಲಿ ಪುರುಷ ಮತ್ತು ಮಹಿಳಾ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಮೇಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು $3 \times 2$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ. ಮೂರನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿರುವ ನಮೂದು ಏನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು $3 \times 2$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

ಮೂರನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿರುವ ನಮೂದು ಕಾರ್ಖಾನೆ III ರಲ್ಲಿನ ಮಹಿಳಾ ಕಾರ್ಮಿಕರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ 8 ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಸಾಧ್ಯ ಕ್ರಮಗಳು ಯಾವುವು?

ಪರಿಹಾರ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $m \times n$ ಕ್ರಮದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು $m n$ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, 8 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, 8 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆದೇಶಿತ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯ ಆದೇಶಿತ ಜೋಡಿಗಳು $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಧ್ಯ ಕ್ರಮಗಳು $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ ನೀಡಲಾಗಿರುವ ಒಂದು $3 \times 2$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು $3 \times 2$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

3.3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

(i) ಕಾಲಂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾಲಂ ಇದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಾಲಂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ ಎಂಬುದು $4 \times 1$ ಕ್ರಮದ ಕಾಲಂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ ಎಂಬುದು $m \times 1$ ಕ್ರಮದ ಕಾಲಂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

(ii) ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಲು ಇದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ ಎಂಬುದು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ ಎಂಬುದು $1 \times n$ ಕ್ರಮದ ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

(iii) ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಲಂಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು $m \times n$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ $m=n$ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ‘$n$’ ಕ್ರಮದ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ ಎಂಬುದು 3 ಕ್ರಮದ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ ಎಂಬುದು $m$ ಕ್ರಮದ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ $A=[a_{i j}]$ ಎಂಬುದು $n$ ಕ್ರಮದ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಂಶಗಳು (ನಮೂದುಗಳು) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಕರ್ಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$ ಆಗಿದ್ದರೆ.

ನಂತರ A ಯ ಕರ್ಣದ ಅಂಶಗಳು 1, 4, 6 ಆಗಿವೆ.

(iv) ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಒಂದು ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ $b_{i j}=0$, ಆಗ $i \neq j$.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, ಕ್ರಮವಾಗಿ 1,2,3 ಕ್ರಮಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.

(v) ಅದಿಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅದಿಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಅದರ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ ಅನ್ನು ಅದಿಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { when } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { when } i=j, \text { for some constant } k . \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

ಕ್ರಮವಾಗಿ 1,2 ಮತ್ತು 3 ಕ್ರಮಗಳ ಅದಿಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.

(vi) ಐಕ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಕರ್ಣದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಎಲ್ಲಾ 1 ಆಗಿರುವ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಐಕ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A=[a_{i j}]_{n \times n}$ ಒಂದು

ಐಕ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ $a_{ij}=\begin{cases}1 & \text { if } & i=j \\ 0 & \text { if } & i \neq j\end{cases}.$.

ನಾವು $n$ ಕ್ರಮದ ಐಕ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು $I_{n}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕ್ರಮವು ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ I ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ ಕ್ರಮವಾಗಿ 1, 2 ಮತ್ತು 3 ಕ್ರಮಗಳ ಐಕ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ಅದಿಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಐಕ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ $k=1$ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐಕ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಂದು ಅದಿಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(vii) ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ ಎಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು $O$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಕ್ರಮವು ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

3.3.1 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು $A=[a_{i j}]$ ಮತ್ತು $B=[b_{i j}]$ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ

(i) ಅವು ಒಂದೇ ಕ್ರಮದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ

(ii) $A$ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು $B$ ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ $a_{i j}=b_{i j}$ ಎಲ್ಲಾ $i$ ಮತ್ತು $j$ ಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ಮತ್ತು $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ಸಮಾನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿವೆ ಆದರೆ $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ಮತ್ತು $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ಸಮಾನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲ. ಸಂಕೇತಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು $A=B$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

$ \text { ಒಂದು ವೇಳೆ }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, ಆಗ }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಒಂದು ವೇಳೆ $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$

$a, b, c, x, y$ ಮತ್ತು $z$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನೀಡಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{aligned} & x+3=0, \\ & z+4=6 \\ & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, \\ & 0=2 c+2 \\ & b-3=2 b+4 \text {, } \end{aligned} $$

ಸರಳೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $$

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ $a, b, c$, ಮತ್ತು $d$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} $$

ಪರಿಹಾರ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & =4 & 5 c-d & =11 \\ a-2 b & =-3 & 4 c+3 d & =24 \end{bmatrix} $$

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ a=1, b=2, c=3 \text { and } d=4 $$

3.4 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಸಂಕಲನ, ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಅದಿಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಗುಣಾಕಾರ.

3.4.1 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಸಂಕಲನ

ಫಾತಿಮಾ ಬಳಿ A ಮತ್ತು B ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಖಾನೆಯು ಹುಡುಗರು ಮತ್ತು ಹುಡುಗಿಯರಿಗಾಗಿ 1,2 ಮತ್ತು 3 ಎಂಬ ಲೇಬಲ್ ಹಾಕಿದ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬೆಲೆಯ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರೀಡಾ ಶೂಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರತಿ ಬೆಲೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕ್ರೀಡಾ ಶೂಗಳ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಫಾತಿಮಾ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾಳೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪಾದನೆ

ವರ್ಗ 1 ರಲ್ಲಿ : ಹುಡುಗರಿಗೆ $(80+90)$, ಹುಡುಗಿಯರಿಗೆ $(60+50)$

ವರ್ಗ 2 ರಲ್ಲಿ : ಹುಡುಗರಿಗೆ $(75+70)$, ಹುಡುಗಿಯರಿಗೆ $(65+55)$

ವರ್ಗ 3 ರಲ್ಲಿ : ಹುಡುಗರಿಗೆ $(90+75)$, ಹುಡುಗಿಯರಿಗೆ $(85+75)$

ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದ