ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತೀಯ ಸತ್ಯಗಳು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ - ಸಿ.ಪಿ. ಸ್ಟೈನ್ಮೆಟ್ಜ್

4.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ,

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

ಎಂಬ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈಗ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಇದೆಯೇ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು $a_1 b_2-a_2 b_1$ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ನೆನಪಿಡಿ: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ಅಥವಾ $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$ ಆದರೆ, ರೇಖೀಯ

ಪಿ.ಎಸ್. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ $(1749-1827)$ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ). ಪರಿಹಾರದ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ $a_1 b_2-a_2 b_1$ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯು $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು A ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಥವಾ det A ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ವಿಜ್ಞಾನ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ, ಇತ್ಯಾದಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನೈಜ ಪ್ರವೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದವರೆಗಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ವಿವಿಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಮೈನರ್ಗಳು, ಸಹಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ, ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಂಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

4.2 ನಿರ್ಣಾಯಕ

ಪ್ರತಿ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A=[a _{i j}]$ ಗೆ (ಕ್ರಮಾಂಕ $n$), ನಾವು A ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ A ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. $M$ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ, $K$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಮತ್ತು $f: M \to K$ ಅನ್ನು $f(A)=k$ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಇಲ್ಲಿ $A \in M$ ಮತ್ತು $k \in K$, ಆಗ $f(A)$ ಅನ್ನು $A$ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು $|A|$ ಅಥವಾ $det A$ ಅಥವಾ $\Delta$ ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ ಆದರೆ, A ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

(i) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ, $|A|$ ಅನ್ನು $A$ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $A$ ನ ಮಾಪಾಂಕ ಎಂದು ಓದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

(ii) ಕೇವಲ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.

4.2.1 ಒಂದನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ

$A=[a]$ ಅನ್ನು ಕ್ರಮಾಂಕ 1 ರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಆಗ $A$ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು $a$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

4.2.2 ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ

$\text{Let}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ be a matrix of order } 2 \times 2, $

ಆಗ $A$ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

ಉದಾಹರಣೆ 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ ಇದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ ಇದೆ

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 $3 \times 3$ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ

ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಆರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ

3, ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು $(R_1, R_2.$ ಮತ್ತು $.R_3)$ ಮತ್ತು ಮೂರು ಕಾಲಮ್ಗಳು $(C_1, C_2.$ ಮತ್ತು $C_3)$ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$\text{i.e}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಣೆ $(\mathbf{R} _1)$

ಹಂತ 1 $\mathbf{R} _ {1}$ ನ ಮೊದಲ ಅಂಶ $ a _ {11}$ ಅನ್ನು $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು $|A|$ ನ ಮೊದಲ ಸಾಲು $(R_1)$ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ $(C _ {1})$ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ, ಏಕೆಂದರೆ $a _ {11}$ $ R _ {1} $ ಮತ್ತು $ C _ {1} $ ರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ,

$\text{i.e.,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

ಹಂತ 2 $R_1$ ನ 2 ನೇ ಅಂಶ $a _{12}$ ಅನ್ನು $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು $|A|$ ನ ಮೊದಲ ಸಾಲು $(R_1)$ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಕಾಲಮ್ $(C_2)$ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ, ಏಕೆಂದರೆ $a _{12}$ $R_1$ ಮತ್ತು $C_2$ ರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ,

ಅಂದರೆ, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

ಹಂತ 3 $R_1$ ನ ಮೂರನೇ ಅಂಶ $a _{13}$ ಅನ್ನು $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು $|A|$ ನ ಮೊದಲ ಸಾಲು $(R_1)$ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ $(C_3)$ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕದೊಂದಿಗೆ, ಏಕೆಂದರೆ $a _{13}$ $R_1$ ಮತ್ತು $C_3$ ರಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ,

ಅಂದರೆ, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

ಹಂತ 4 ಈಗ A ಯ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಅಂದರೆ $|A|$ ಅನ್ನು ಹಂತಗಳು 1,2 ಮತ್ತು 3 ರಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{or} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

ಗಮನಿಸಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಣೆ $(\mathbf{R} _2)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಣೆ $(C_1)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, (1), (2) ಮತ್ತು (3) ರಲ್ಲಿ $|A|$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. $|A|$ ಅನ್ನು $R_3, C_2$ ಮತ್ತು $C_3$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳು (1), (2) ಅಥವಾ (3) ರಲ್ಲಿ ಪಡೆದ $|A|$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಓದುಗರಿಗೆ ಒಂದು ವ್ಯಾಯಾಮವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

(i) ಸುಲಭವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ.

(ii) ವಿಸ್ತರಿಸುವಾಗ, $(-1)^{i+j}$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಬದಲು, $(i+j)$ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು +1 ಅಥವಾ -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು.

(iii) $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ ಮತ್ತು $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ, $A=2 B$ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಅಲ್ಲದೆ $|A|=0-8=-8$ ಮತ್ತು $|B|=0-2=-2$.

ಗಮನಿಸಿ, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ ಅಥವಾ $|A|=2^{n}|B|$, ಇಲ್ಲಿ $n=2$ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು $A$ ಮತ್ತು $B$ ನ ಕ್ರಮಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $A=k B$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲಿ $A$ ಮತ್ತು $B$ $n$ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $|A|=k^{n}$ $|B|$, ಇಲ್ಲಿ $n=1,2,3$

ಉದಾಹರಣೆ 3 ನಿರ್ಣಾಯಕ $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಪ್ರವೇಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ $(C_3)$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ

ಪರಿಹಾರ $R_1$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 5 $x$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$.

ಪರಿಹಾರ ನಮಗೆ $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ ಇದೆ

ಅಂದರೆ $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{i.e.}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಶೃಂಗಗಳು $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ ಮತ್ತು $(x_3, y_3)$ ಆಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

(i) ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ (1) ರಲ್ಲಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

(ii) ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.

(iii) ಮೂರು ಸರಳರೇಖೀಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 ಶೃಂಗಗಳು $(3,8),(-4,2)$ ಮತ್ತು $(5,1)$ ಆಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 7 $A(1,3)$ ಮತ್ತು $B(0,0)$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ABD ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 3 ಚ.ಘಟಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ $k$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $P(x, y)$ ಅನ್ನು $AB$ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಆಗ, ತ್ರಿಕೋನ ABP ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಏಕೆ?).

$\text{so}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{This gives}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { या } y=3 x $

ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ರೇಖೆ $AB$ ನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, ತ್ರಿಕೋನ ABD ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 3 ಚ.ಘಟಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಇದೆ

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ ಇದು $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ $k=\mp 2$.

4.4 ಮೈನರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಅಂಶಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೈನರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಒಂದು ಅಂಶ $a _{i j}$ ನ ಮೈನರ್ ಎಂದರೆ ಅಂಶ $a _{i j}$ ಇರುವ $i$ ನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು $j$ ನೇ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಅಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ನಿರ್ಣಾಯಕ. ಒಂದು ಅಂಶ $a _{i j}$ ನ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು $M _{i j}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಕ್ರಮಾಂಕ $n(n \geq 2)$ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಒಂದು ಅಂಶದ ಮೈನರ್ ಕ್ರಮಾಂಕ $n-1$ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 ನಿರ್ಣಾಯಕ $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ ನಲ್ಲಿ ಅಂಶ 6 ರ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ 6 ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಮೈನರ್ $M _{23}$ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (obtained by deleting } R_2 \text{ and } C_3 \text{ in } \Delta \text{ ). } $

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಒಂದು ಅಂಶ $a _{i j}$ ನ ಸಹಅಂಶ, $A _{i j}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, where } M _{i j} \text{ is minor of } a _{i j} \text{. } $

ಉದಾಹರಣೆ 9 ನಿರ್ಣಾಯಕ $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$ ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಮೈನರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ ಅಂಶ $a _{i j}$ ನ ಮೈನರ್ $M _{i j}$ ಆಗಿದೆ

ಇಲ್ಲಿ $a _{11}=1$. ಆದ್ದರಿಂದ $M _{11}=$ $a _{11}=3$ ನ ಮೈನರ್

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { Minor of the element } a _{12} =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { Minor of the element } a _{21} =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { Minor of the element } a _{22} =1 \end{aligned} $$

ಈಗ, $a _{i j}$ ನ ಸಹಅಂಶ $A _{i j}$ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 10 ನಿರ್ಣಾಯಕದಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳು $a _{11}, a _{21}$ ನ ಮೈನರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

ಪರಿಹಾರ ಮೈನರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಅಂಶಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಮಗೆ ಇದೆ

$a _{11}=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ ನ ಮೈನರ್
$a _{11}=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ ನ ಸಹಅಂಶ
$a _{21}=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$ ನ ಮೈನರ್
$a _{21}=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$ ನ ಸಹಅಂಶ

ಟಿಪ್ಪಣಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ $\Delta$ ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ 21 ರಲ್ಲಿ, $R_1$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, where } A _{i j} \text{ is cofactor of } a _{i j} \\ & =\text{ sum of product of elements of } R_1 \text{ with their corresponding cofactors } \end{aligned} $

ಅಂತೆಯೇ, $\Delta$ ಅನ್ನು ಇತರ ಐದು ವಿಸ್ತರಣಾ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು, ಅಂದರೆ $R_2, R_3$, $C_1, C_2$ ಮತ್ತು $C_3$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ.

ಆದ್ದರಿಂದ $\Delta$ = ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಹಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಗಮನಿಸಿ ಒಂದು ಸಾಲಿನ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್) ಸಹಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11} A _{21}+a _{12} A _{22}+a _{13} A _{23} \\ & =a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}=0 \text{ since } R_1 \text{ and } R_2 \text{ are identical } \end{aligned} $