“ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಜ್ಞಾನವು ದೈನಂದಿನ ಚಿಂತನೆಯ ಶುದ್ಧೀಕರಣವಲ್ಲದೆ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ.” - ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್

5.1 ಪರಿಚಯ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಮ್ಮ XI ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಕಲನದ ಅಧ್ಯಯನದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಬಹುಪದೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿಕಲಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೆವು. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾತತ್ಯ, ವಿಕಲನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಕಲನವನ್ನೂ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಘುಗಣಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೊಸ ವರ್ಗದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ವಿಕಲನದ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ನಾವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

5.2 ಸಾತತ್ಯ

ನಾವು ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಾತತ್ಯದ ಅನುಭವವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಎರಡು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ವಾಸ್ತವ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 5.1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಒಬ್ಬರು $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಪದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು $x=0$ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. 0 ಕ್ಕೆ ಸಮೀಪದ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, $-0.1,-0.01,-0.001$ ನಂತಹ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯ 1 ಆಗಿದೆ. 0 ಕ್ಕೆ ಸಮೀಪದ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, $0.1,0.01$ ನಂತಹ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ,

0.001 , ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯ 2 ಆಗಿದೆ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಮಿತಿಗಳ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು $f$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಲ) ಗೈ ಮಿತಿಯು 1 (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 2) ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಮಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಕಾಗದದ ಸಮತಲದಿಂದ ಪೆನ್ನನ್ನು ಎತ್ತದೆ, ನಾವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಎಡದಿಂದ 0 ಗೆ ಬಂದಾಗ ಪೆನ್ನನ್ನು ಎತ್ತಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸತತವಾಗಿಲ್ಲದಿರುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಈಗ, ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಮಿತಿಗಳೆರಡೂ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಆದರೆ $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಮಿತಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ನಾವು ಪೆನ್ನನ್ನು ಎತ್ತದೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸತತವಾಗಿಲ್ಲದಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಕಾಗದದ ಸಮತಲದಿಂದ ಪೆನ್ನನ್ನು ಎತ್ತದೆ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸತತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 $f$ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು $c$ ಅನ್ನು $f$ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಆಗ $f$ ಅನ್ನು $c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಆಗ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ, $x=c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿ, ಬಲಗೈ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, $f$ ಅನ್ನು $x=c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. $x=c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಲಗೈ ಮತ್ತು ಎಡಗೈ ಮಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು $x=c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಾತತ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮತ್ತೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು: $x=c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $x=c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು $x=c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಕ್ರಿಯೆಯು $x=c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ. $f$ ಅನ್ನು $c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, $f$ ಅನ್ನು $c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಸತತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು $c$ ಅನ್ನು $f$ ನ ಅಸಾತತ್ಯದ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 $f$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಿಯೆ $f(x)=2 x+3$ ಅನ್ನು $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾತತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಮೊದಲು, ಕ್ರಿಯೆಯು ನೀಡಲಾದ $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯ 5 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ನಂತರ $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

ಹೀಗಾಗಿ $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

ಆದ್ದರಿಂದ, $f$ ಅನ್ನು $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 $f$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಿಯೆ $f(x)=x^{2}$ ಅನ್ನು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಮೊದಲು, ಕ್ರಿಯೆಯು ನೀಡಲಾದ $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯ 0 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ನಂತರ $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

ಹೀಗಾಗಿ $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

ಆದ್ದರಿಂದ, $f$ ಅನ್ನು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 $f$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಿಯೆ $f(x)=|x|$ ಅನ್ನು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾತತ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ರಿಯೆಯು 0 ಮತ್ತು $f(0)=0$ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. $f$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯು

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

ಅಂತೆಯೇ, $f$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

ಹೀಗಾಗಿ, ಎಡಗೈ ಮಿತಿ, ಬಲಗೈ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $f$ ಅನ್ನು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 $f$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯು

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

ಆಗಿದ್ದು, ಅದು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಿಯೆಯು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯ 1 ಆಗಿದೆ. $x \neq 0$ ಆದಾಗ, ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಬಹುಪದದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

$f$ ನ $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಯು $f(0)$ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಕಾರಣ, ಕ್ರಿಯೆಯು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿಲ್ಲ. $x=0$ ಈ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಅಸಾತತ್ಯದ ಏಕೈಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 5 ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಕ್ರಿಯೆ $f(x)=k$ ಸತತವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು $k$ ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $c$ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಆಗ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $c$ ಗೆ $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯೆ $f$ ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 $f(x)=x$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ತತ್ಸಮ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸತತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $c$ ಗೆ $f(c)=c$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಲದೆ, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

ಹೀಗಾಗಿ, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾತತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ನಂತರ, ಈಗ ನಾವು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾತತ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲು ಸಹಜವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಕ್ರಿಯೆ $f$ ಅನ್ನು ಸತತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು $f$ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ ಸತತವಾಗಿದ್ದರೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿವರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. $f$ ಅನ್ನು ಒಂದು ಸಂವೃತ ಮಧ್ಯಂತರ $[a, b]$ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಭಾವಿಸೋಣ, ಆಗ $f$ ಸತತವಾಗಿರಲು, ಅದು $[a, b]$ ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಾದ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಸೇರಿದಂತೆ, ಸತತವಾಗಿರಬೇಕು. $f$ ನ $a$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾತತ್ಯ ಎಂದರೆ ಮತ್ತು $f$ ನ $b$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾತತ್ಯ ಎಂದರೆ

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

$\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ ಮತ್ತು $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, f ಅನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $f$ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಏಕೈಕ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, $f$ ಒಂದು ಸತತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 $f(x)=|x|$ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸತತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ ನಾವು $f$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಿಂದ, $f$ ಅನ್ನು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

$c$ ಅನ್ನು $c<0$ ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಆಗ $f(c)=-c$.

ಅಲ್ಲದೆ $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಈಗ, $c$ ಅನ್ನು $c>0$ ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಆಗ $f(c)=c$. ಅಲ್ಲದೆ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $f$ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 $f$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಿಯೆ $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ ನ ಸಾತತ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ $f$ ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $c$ ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು $c$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು $c^{3}+c^{2}-1$ ಆಗಿದೆ. ನಮಗೆ ಇದೂ ತಿಳಿದಿದೆ

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

ಹೀಗಾಗಿ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f$ ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸತತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ $f$ ಒಂದು ಸತತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 $f$ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆ $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ ನ ಸಾತತ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $c$ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ, ನಮಗೆ ಇದಿದೆ

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

ಅಲ್ಲದೆ, $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ ಗೆ, ನಮಗೆ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, $f$ ಅನ್ನು $f$ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ ಸತತವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $f$ ಒಂದು ಸತತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಈ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ನಾವು $f(x)=\frac{1}{x}$ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು $x=0$ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲು ನಾವು 0 ಗೆ ಸಮೀಪದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಾವು $f$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ (ಕೋಷ್ಟಕ 5.1) ರಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 5.1

$x$ ಬಲಭಾಗದಿಂದ 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪುನಃ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು: ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 0 ಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರವಾಗಿ ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $$

(ಓದುವುದು: $f(x)$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಅನಂತ). $+\infty$ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು (ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂತೆಯೇ, $f$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಸ್ವಯಂ ವಿವರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 5.2

ಕೋಷ್ಟಕ 5.2 ರಿಂದ, ಋಣಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 0 ಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರವಾಗಿ ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ $f(x)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $$

(ಓದುವುದು: $f(x)$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತ). ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, $-\infty$ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f$ ನ 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯು (ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 5.3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸಂಗತಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.3

ಉದಾಹರಣೆ 10 $f$ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾತತ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x \leq 1 \\ x-2, \text{ if } x1 > 1 \\ \end{cases}. $$

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಿಯೆ $f$ ವಾಸ್ತವ ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

ಪ್ರಕರಣ 1 $c<1$ ಆದರೆ, $f(c)=c+2$. ಆದ್ದರಿಂದ, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

ಹೀಗಾಗಿ, $f$ ಎಲ್ಲಾ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಕರಣ 2 $c>1$ ಆದರೆ, $f(c)=c-2$. ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-2)=c-2=f(c) $

ಹೀಗಾಗಿ, $f$ ಎಲ್ಲಾ $x>1$ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಕರಣ 3 $c=1$ ಆದರೆ, $f$ ನ $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯು

$$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $$

$f$ ನ $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು

$$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $$

$f$ ನ $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಮಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರದ ಕಾರಣ, $f$ ಅನ್ನು $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ

ಚಿತ್ರ 5.4

$x=1$ ಯು $f$ ನ ಏಕೈಕ ಅಸಾತತ್ಯದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 5.4 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 11 $f$ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಸಾತತ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<1 \\ 0, \text{ if } \quad x=1 \\ x-2, \text{ if } x>1 \end{cases}. $$

ಪರಿಹಾರ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ, $f$ ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $x \neq 1$ ಗೆ ಸತತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. $f$ ನ $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡಗೈ ಮಿತಿಯು

$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $

$f$ ನ $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲಗೈ ಮಿತಿಯು

$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $

$f$ ನ $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ಮಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರದ ಕಾರಣ, $f$ ಅನ್ನು $x=1$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ $x=1$ ಯು $f$ ನ ಏಕೈಕ ಅಸಾತತ್ಯದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 5.5 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.5

ಉದಾಹರಣೆ 12 ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾತತ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<0 \\ -x+2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಿಯೆಯು 0 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರವು

$ \begin{aligned} D_1 \cup D_2 \text{ where } D_1 & =\{x \in \mathbf{R}: x<0\} \text{ and } \\ & D_2=\{x \in \mathbf{R}: x>0\} \end{aligned} $

ಪ್ರಕರಣ 1

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2) \text= c + 2 = f (c)$ ಆದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f$ ಅನ್ನು $D_1$ ನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ

ಪ್ರಕರಣ 2

$ If c \in D_2, then \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x+2) =-c+2=f(c) $

ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f$ ಅನ್ನು $D_2$