“ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ಕೀಲಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರಕೃತಿಯ ಕ್ರಮದ ವಿವರಣೆಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.” - ವೈಟ್ಹೆಡ್

6.1 ಪರಿಚಯ

ಅಧ್ಯಾಯ 5 ರಲ್ಲಿ, ಸಂಯುಕ್ತ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಲಘುಗಣಿತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಕಲನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿಕಲನದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಶಿಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ವಿಜ್ಞಾನ, ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಕಲನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ (i) ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, (ii) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಅಭಿಲಂಬದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, (iii) ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ತಿರುವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಇದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ) ಸಂಭವಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ವಿಕಲನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ವಿಕಲನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

6.2 ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ

$\\ \frac{ds}{dt} $ ವಿಕಲನದಿಂದ, ನಾವು ಅರ್ಥೈಸುವುದು ದೂರ $s$ ನ ಸಮಯ $t$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣ $y$ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮಾಣ $x$ ಜೊತೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ನಿಯಮ $y=f(x)$ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ $\frac{d y}{d x}$ (ಅಥವಾ $f^{\prime}(x)$) $y$ ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ ಅಥವಾ $.f^{\prime}(x_0))$ $y$ ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ $x=x_0$ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನಷ್ಟು, ಎರಡು ಚರಾಂಶಗಳು $x$ ಮತ್ತು $y$ ಮತ್ತೊಂದು ಚರಾಂಶ $t$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, $x=f(t)$ ಮತ್ತು $y=g(t)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿ ನಿಯಮದಿಂದ

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

ಹೀಗಾಗಿ, $y$ ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ $y$ ಮತ್ತು $x$ ಇವೆರಡರ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು $t$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಯಾವಾಗ $r=5 cm$.

ಪರಿಹಾರ ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ A ಅನ್ನು $A=\pi r^{2}$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ A ಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$. ಹೀಗಾಗಿ, ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು $10 \pi cm^{2} / s$ ದರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಒಂದು ಘನದ ಘನಫಲವು ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 9 ಘನ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ದರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ 10 ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ಆಗಿರುವಾಗ, ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ $x$ ಅನ್ನು ಬದಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿ, $V$ ಅನ್ನು ಘನಫಲವಾಗಿ ಮತ್ತು $S$ ಅನ್ನು ಘನದ ಪೃಷ್ಠ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿ ಇರಲಿ. ನಂತರ, $V=x^{3}$ ಮತ್ತು $S=6 x^{2}$, ಇಲ್ಲಿ $x$ ಸಮಯ $t$ ನ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಈಗ $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (ನೀಡಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

ಅಥವಾ $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

ಈಗ $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವಾಗ $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಒಂದು ಕಲ್ಲನ್ನು ಶಾಂತವಾದ ಸರೋವರದಲ್ಲಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲೆಗಳು ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ $4 cm$ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡ್ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಲೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ $10 cm$ ಆಗಿರುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಆವೃತ್ತ ಪ್ರದೇಶ ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $A$ ಅನ್ನು $A=\pi r^{2}$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ A ಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಸಮಯ $t$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

ಇದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ $\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

ಹೀಗಾಗಿ, ಆವೃತ್ತ ಪ್ರದೇಶವು $80 \pi cm^{2} / s$ ದರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಯಾವಾಗ $r=10 cm$.

ಗಮನಿಸಿ $\frac{d y}{d x}$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ $y$ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ $x$ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ $y$ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ $x$ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಆಯತದ ಉದ್ದ $x$ ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ $3 cm /$ ದರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಅಗಲ $y$ ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ $2 cm /$ ದರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ಯಾವಾಗ $x=10 cm$ ಮತ್ತು $y=6 cm$, ಆಗ (a) ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು (b) ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಉದ್ದ $x$ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಅಗಲ $y$ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(a) ಆಯತದ ಪರಿಧಿ $P$ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

ಆದ್ದರಿಂದ $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(b) ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $A$ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$ A=x \cdot y $

ಆದ್ದರಿಂದ $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { ಏಕೆಂದರೆ } x=10 \mathrm{~cm} \text { ಮತ್ತು } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 5 $x$ ಘಟಕಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚ $C(x)$ ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ, ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

3 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದಾಗ ಸೀಮಾಂತ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇಲ್ಲಿ ಸೀಮಾಂತ ವೆಚ್ಚ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪಾದನಾ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚದ ತತ್ಕ್ಷಣ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ.

ಪರಿಹಾರ ಸೀಮಾಂತ ವೆಚ್ಚವು ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} \text{ ಸೀಮಾಂತ } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ ಯಾವಾಗ } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸೀಮಾಂತ ವೆಚ್ಚ ₹ 30.02 (ಸುಮಾರು).

ಉದಾಹರಣೆ 6 $x$ ಘಟಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾರಾಟದಿಂದ ಪಡೆದ ಒಟ್ಟು ಆದಾಯ ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$. ಸೀಮಾಂತ ಆದಾಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಯಾವಾಗ $x=5$, ಇಲ್ಲಿ ಸೀಮಾಂತ ಆದಾಯ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟವಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಟ್ಟು ಆದಾಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ.

ಪರಿಹಾರ ಸೀಮಾಂತ ಆದಾಯವು ಮಾರಾಟವಾದ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಟ್ಟು ಆದಾಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} \text{ ಸೀಮಾಂತ ಆದಾಯ } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ ಯಾವಾಗ } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸೀಮಾಂತ ಆದಾಯ ₹ 66.

6.3 ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ವಿಕಲನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

$f$ ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ $f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪರವಲಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 6.1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಮೂಲದ ಎಡಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ನಾವು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದಂತೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಎತ್ತರ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ

ನಾವು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದಂತೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಎತ್ತರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಮೊದಲು ಮೂಲದ ಬಲಭಾಗದ ಗ್ರಾಫ್ (ಚಿತ್ರ 6.1) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದಂತೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಎತ್ತರ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಕ್ರಿಯೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $x>0$ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಮೂಲದ ಎಡಭಾಗದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದಂತೆ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಎತ್ತರ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕ್ರಿಯೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $x<0$ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 I ಅನ್ನು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ರಿಯೆ $f$ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ $f$ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ

(i) I ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದ್ದರೆ, $x_1<x_2$ ನಲ್ಲಿ $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ ಎಲ್ಲಾ $x_1, x_2 \in I$ ಗೆ.

(ii) $I$ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, $x_1, x_2$ ನಲ್ಲಿ $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ ಎಲ್ಲಾ $x_1, x_2 \in I$ ಗೆ.

(iii) $I$ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, $f(x)=c$ ಎಲ್ಲಾ $x \in I$ ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ $c$ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ.

(iv) I ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, $x_1<x_2$ ನಲ್ಲಿ $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ ಎಲ್ಲಾ $x_1, x_2 \in I$ ಗೆ.

(v) I ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, $x_1<x_2$ ನಲ್ಲಿ $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ ಎಲ್ಲಾ $x_1, x_2 \in I$ ಗೆ.

ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಚಿತ್ರ 6.2 ನೋಡಿ.

ಈಗ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 $x_0$ ಅನ್ನು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ರಿಯೆ $f$ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ $f$ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ $x_0$ ನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ I ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ $x_0$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ $f$ ಕ್ರಮವಾಗಿ I ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 $f(x)=7 x-3$ ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯು $\mathbf{R}$ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ $x_1$ ಮತ್ತು $x_2$ ಅನ್ನು $\mathbf{R}$ ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ರಿಂದ, $f$ $\mathbf{R}$ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ವಿಕಲನ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಅಧ್ಯಾಯ 5 ರಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1 $f$ ಅನ್ನು $[a, b]$ ಮೇಲೆ ಸತತವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ $(a, b)$ ಮೇಲೆ ವಿಕಲನೀಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ

(a) $f$ $[a, b]$ ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಯಾವಾಗ $f^{\prime}(x)>0$ ಪ್ರತಿ $x \in(a, b)$ ಗೆ

(b) $f$ $[a, b]$ ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ, ಯಾವಾಗ $f^{\prime}(x)<0$ ಪ್ರತಿ $x \in(a, b)$ ಗೆ

(c) $f$ $[a, b]$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಯಾವಾಗ $f^{\prime}(x)=0$ ಪ್ರತಿ $x \in(a, b)$ ಗೆ

ಪುರಾವೆ (a) $x_1, x_2 \in[a, b]$ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಇರಲಿ $x_1<x_2$.

ನಂತರ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ (ಅಧ್ಯಾಯ 5 ರ ಪ್ರಮೇಯ 8), ಒಂದು ಬಿಂದು $c$ ಇರುತ್ತದೆ $x_1$ ಮತ್ತು $x_2$ ನಡುವೆ ಅಂದರೆ

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

ಅಂದರೆ $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

ಅಂದರೆ $f(x_2)>f(x_1)$

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$

ಆದ್ದರಿಂದ, $f$ $[a, b]$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಭಾಗ (b) ಮತ್ತು (c) ನ ಪುರಾವೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಓದುಗರ ವ್ಯಾಯಾಮಕ್ಕಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

ಇನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ, ಅದು ಹೇಳುವುದು ಯಾವಾಗ $f \phi(x)>0$ $x$ ಗೆ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು $f$ ಆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $f$ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಯಾವಾಗ $f \phi(x)<0$ $x$ ಗೆ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು $f$ ಆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $f$ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 $f$ ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯು

$\mathbf{R}$ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

ಪರಿಹಾರ ಗಮನಿಸಿ

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯೆ $f$ $\mathbf{R}$ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9 $f(x)=\cos x$ ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯು

(a) $(0, \pi)$ ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ

(b) $(\pi, 2 \pi)$ ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಮತ್ತು

(c) $(0,2 \pi)$ ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ಗಮನಿಸಿ $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(a) ಪ್ರತಿ $x \in(0, \pi), \sin x>0$ ಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $f^{\prime}(x)<0$ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f$ $(0, \pi)$ ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

(b) ಪ್ರತಿ $x \in(\pi, 2 \pi)$ ಗೆ, $\sin x<0$, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $f^{\prime}(x)>0$ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f$ $(\pi, 2 \pi)$ ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

(c) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲಿನ (a) ಮತ್ತು (b) ರಿಂದ, $f$ $(0,2 \pi)$ ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 10 $f$ ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆ $f(x)=x^{2}-4 x+6$ ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ (a) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (b) ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ ಅಥವಾ \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

ಆದ್ದರಿಂದ, $f^{\prime}(x)=0$ ನೀಡುತ್ತದೆ $x=2$. ಈಗ ಬಿಂದು $x=2$ ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, $(-\infty, 2)$ ಮತ್ತು $(2, \infty)$ (ಚಿತ್ರ 6.3). ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$ $-4<0$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $f$ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆ $f$ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 11 $f$ ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆ $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ (a) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (b) ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \text{ or } \quad \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $f^{\prime}(x)=0$ ನೀಡುತ್ತದೆ $x=-2,3$. ಬಿಂದುಗಳು $x=-2$ ಮತ್ತು $x=3$ ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, $(-\infty,-2),(-2,3)$

ಚಿತ್ರ 6.4 ಮತ್ತು $(3, \infty)$.

ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ $(-\infty,-2)$ ಮತ್ತು $(3, \infty), f^{\prime}(x)$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $(-2,3)$, $f^{\prime}(x)$ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕ್ರಿಯೆ $f$ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ $(-\infty,-2)$ ಮತ್ತು $(3, \infty)$ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಆದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $(-2,3)$ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, $f$ $\mathbf{R}$ ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 12 $f(x)=\sin 3 x, x \in 0, \frac{\pi}{2}$ ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯು (a) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ (b) ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$f(x) =\sin 3 x $

ಅಥವಾ $\quad f(x) =3 \cos 3 x$

ಆದ್ದರಿಂದ, $f^{\prime}(x)=0$ ನೀಡುತ್ತದೆ $\cos 3 x=0$ ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ $3 x=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ ($x \in 0, \frac{\pi}{2}$ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ $3 x \in[0, \frac{3 \pi}{2}]$ ). ಆದ್ದರಿಂದ $x=\frac{\pi}{6}$ ಮತ್ತು $\frac{\pi}{2}$. ಬಿಂದು $x=\frac{\pi}{6}$ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ $0, \frac{\pi}{2}$ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ $[0, \frac{\pi}{6})$ ಮತ್ತು $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$.

ಚಿತ್ರ 6.5

ಈಗ, $f^{\prime}(x)>0$ ಎಲ್ಲಾ $x \in[0, \frac{\pi}{6})$ ಗೆ $0 \leq x<\frac{\pi}{6} \Rightarrow 0 \leq 3 x<\frac{\pi}{2}$ ಮತ್ತು $f^{\prime}(x)<0$ ಎಲ್ಲಾ $x \in(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ ಗೆ $\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{2}<3 x<\frac{3 \pi}{2}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $f$ $[0, \frac{\pi}{6})$ ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಹಾಗೆಯೇ, ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯು $x=0$ ಮತ್ತು $x=\frac{\pi}{6}$ ನಲ್ಲಿ ಸತತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ, $f$ $ [0, \frac{\pi}{6}]$ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 13 $f$ ನೀಡಿರುವ ಕ್ರಿಯೆ

$ f(x)=\sin x+\cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi $

ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

⟦16