ಒಂದು ಪರ್ವತಾರೋಹಿಯು ಪರ್ವತವನ್ನು ಏರುವಂತೆಯೇ - ಅದು ಅಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕೆ, ಒಳ್ಳೆಯ ಗಣಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಹೊಸ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ - ಅದು ಅಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕೆ. - ಜೇಮ್ಸ್ ಬಿ. ಬ್ರಿಸ್ಟಲ್

7.1 ಪರಿಚಯ

ವಿಕಲನ ಕಲನವು ವಿಕಲಜದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದೆ. ವಿಕಲಜದ ಮೂಲ ಪ್ರೇರಣೆಯು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ರೇಖೆಗಳ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿತ್ತು. ಸಮಾಕಲನ ಕಲನವು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆ $f$ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $I$ ವಿಕಲನೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ವಿಕಲಜ $f$ ’ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: I ನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ $f^{\prime}$ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದೇ? ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿಕಲಜವಾಗಿ ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳು (ಅಥವಾ ಆದಿಮ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ

ಜಿ.ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಲೀಬ್ನಿಟ್ಜ್ (1646 - 1716)

ಈ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಮಾಕಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ತತ್ಕ್ಷಣದ ವೇಗವನ್ನು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದೇ? ಸಮಾಕಲನದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿವೆ. ಸಮಾಕಲನ ಕಲನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ:

(ಎ) ಅದರ ವಿಕಲಜವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ,

(ಬಿ) ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ.

ಈ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸಮಾಕಲನಗಳಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನಗಳು, ಇವುಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸಮಾಕಲನ ಕಲನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನದ ನಡುವೆ ಕಲನದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಹಣಕಾಸು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಂತಹ ವಿವಿಧ ಶಿಸ್ತುಗಳಿಂದ ಬರುವ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮಾಕಲನದ ಕೆಲವು ತಂತ್ರಗಳು ಸೇರಿವೆ.

7.2 ವಿಕಲನದ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಮಾಕಲನ

ಸಮಾಕಲನವು ವಿಕಲನದ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿಕಲಿಸುವ ಬದಲು, ನಮಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಕಲಜವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆದಿಮ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು, ಅಂದರೆ, ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಮಾಕಲನ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿವಿಕಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

$\text{ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ ಮತ್ತು }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ, (1) ರಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯೆ $\cos x$ $\sin x$ ನ ವಿಕಲಿತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. $\sin x$ $\cos x$ ನ ಒಂದು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜ (ಅಥವಾ ಸಮಾಕಲನ) ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, (2) ಮತ್ತು (3) ರಲ್ಲಿ, $\frac{x^{3}}{3}$ ಮತ್ತು $e^{x}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $x^{2}$ ಮತ್ತು $e^{x}$ ಗಳ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳು (ಅಥವಾ ಸಮಾಕಲನಗಳು). ಮತ್ತೆ, ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $C$, ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವಿಕಲಜ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು (1), (2) ಮತ್ತು (3) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳು (ಅಥವಾ ಸಮಾಕಲನಗಳು) ಅನನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನಂತವಾದ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು $C$ ಅನ್ನು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದಿಂದ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ $C$ ಅನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ನಿರಂಕುಶ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, $C$ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಸಮಾಕಲನಗಳನ್ನು) ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆ $F$ ಇದ್ದರೆ ಅಂದರೆ $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (ಮಧ್ಯಂತರ), ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $C$ ಗೆ, (ಸಮಾಕಲನದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

ಹೀಗಾಗಿ, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಒಂದೇ ವಿಕಲಜಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಲು, $g$ ಮತ್ತು $h$ ಗಳು ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವಿಕಲಜಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ.

$f=g-h$ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$

ನಂತರ $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

ಅಥವಾ $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

ಅಂದರೆ, $f$ ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ I ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $f$ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ ಕುಟುಂಬವು $f$ ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಸಮರ್ಥನೀಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಒಂದು ಹೊಸ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು $\int f(x) d x$, ಇದು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, $f$ ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿಹ್ನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ $\int f(x) d x=F(x)+C$.

ಸಂಕೇತ $\frac{d y}{d x}=f(x)$ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ $y=\int f(x) d x$.

ಸೌಲಭ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಕೆಳಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು/ಪದಗಳು/ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ

ಕೋಷ್ಟಕ 7.1

ಅನೇಕ ಮುಖ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಕಲಜಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿವೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಮಾಕಲನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಇತರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಮಾಕಲನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$ \begin{array}{ll} \text{ವಿಕಲಜಗಳು} & \text{ಸಮಾಕಲನಗಳು (ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳು)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

ಗಮನಿಸಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿವಿಧ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

7.2.1 ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

(I) ವಿಕಲನ ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮಗಳಾಗಿವೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

ಮತ್ತು $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

ಪುರಾವೆ $F$ $f$ ನ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ ಆದ್ದರಿಂದ }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

ಇಲ್ಲಿ $C$ ನಿರಂಕುಶ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮಾಕಲನದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

(II) ಒಂದೇ ವಿಕಲಜವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನಗಳು ಒಂದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪುರಾವೆ $f$ ಮತ್ತು $g$ ಗಳು ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ ಅಂದರೆ

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

ಅಥವಾ $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

ಆದ್ದರಿಂದ $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, ಇಲ್ಲಿ $C$ ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ

ಅಥವಾ $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

ಆದ್ದರಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳು $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

ಮತ್ತು $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, $\int f(x) d x$ ಮತ್ತು $\int g(x) d x$ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಗಮನಿಸಿ $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ ಮತ್ತು $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ ಕುಟುಂಬಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ ಎಂದು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ.

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

ಪುರಾವೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (I) ರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

ಹೀಗಾಗಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣ (II) ರ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, (1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ ಗೆ

ಪುರಾವೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣ (I) ರಿಂದ, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$.

ಅಲ್ಲದೆ $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಲಕ್ಷಣ (II) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$.

(V) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (III) ಮತ್ತು (IV) ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ $f_1, f_2, \ldots, f_n$ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ $k_1, k_2, \ldots, k_n$ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ನೀಡುತ್ತದೆ

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದರ ವಿಕಲಜ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಂತರ್ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಣ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮಾಕಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಪರೀಕ್ಷಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

ಪರಿಹಾರ

(i) ನಾವು ಅದರ ವಿಕಲಜ $\cos 2 x$ ಆಗಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

ಅಥವಾ $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\cos 2 x$ ನ ಒಂದು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜ $\frac{1}{2} \sin 2 x$ ಆಗಿದೆ.

(ii) ನಾವು ಅದರ ವಿಕಲಜ $3 x^{2}+4 x^{3}$ ಆಗಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $3 x^{2}+4 x^{3}$ ನ ಒಂದು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜ $x^{3}+x^{4}$ ಆಗಿದೆ.

(iii) ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ ಮತ್ತು $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

ಮೇಲಿನವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$ $\frac{1}{x}$ ನ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾಕಲನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

ಪರಿಹಾರ

(i) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ by Property } V) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ are constants of integration } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, where } C=C_1-C_2 \text{ is another constant of integration. } \end{aligned} $$

ಗಮನಿಸಿ ಇಂದಿನಿಂದ, ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಮಾಕಲನದ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

(ii) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \\ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \\ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾಕಲನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

ಪರಿಹಾರ

(i) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \\ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \\ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \\ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \\ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 4 $F$ ನ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜ $f$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇದನ್ನು $f(x)=4 x^{3}-6$ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $F(0)=3$

ಪರಿಹಾರ $f(x)$ ನ ಒಂದು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜ $x^{4}-6 x$ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ

$$ \frac{d}{d x}(x^{4}-6 x)=4 x^{3}-6 $$

$$ F(x)=x^{4}-6 x+C \text{, where } C \text{ is constant. } $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿವಿಕಲಜ $F$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ನೀಡಿದಂತೆ $$ \begin{aligned} F(0) & =3, \text{ which gives } \\ 3 & =0-6 \times 0+C \text{ or } C=3 \end{aligned} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜವು ಅನನ್ಯ ಕ್ರಿಯೆ $F$ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ $\mathrm{F}(x)=x^{4}-6 x+3$

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

(i) $F$ $f$ ನ ಒಂದು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $F+C$ ಸಹ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $C$ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಪ್ರತಿವಿಕಲಜ $F$ $f$ ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು $f$ ನ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜಗಳನ್ನು $F$ ಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು $F(x)+C, C \in \mathbf{R}$ ನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ನಂತರ $C$ ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನನ್ಯ ಪ್ರತಿವಿಕಲಜವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

(ii) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, $F$ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಲಘುಗಣಿತೀಯ, ಘಾತೀಯ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $\int f(x) d x$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿರ್ಬಂಧಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\int e^{-x^{2}} d x$ ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ವಿಕಲಜ $e^{-x^{2}}$ ಆಗಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

(iii) ಸಮಾಕಲನದ ಚರಾಂಶವನ್ನು $x$ ಅಲ್ಲದೆ ಬೇರೆ ಚರಾಂಶದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದಾಗ, ಸಮಾಕಲನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

$$ \int y^{4} d y=\frac{y^{4+1}}{4+1}+C=\frac{1}{5} y^{5}+C $$

7.3 ಸಮಾಕಲನದ ವಿಧಾನಗಳು

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಮಾಕಲನಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಕಲಜಗಳಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದಾಗಿತ್ತು. ಇದು ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿತ್ತು, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆ $F$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು, ಅದರ ವಿಕಲಜ $f$ ಆಗಿದೆ, ಇದು ನಮಗೆ $f$ ನ ಸಮಾಕಲನಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಈ ವಿಧಾನವು ಅನೇಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಗಳಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಮಾಕಲನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತಂತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭ