ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕಾದುದು ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ಮೂಲಕವೇ ಪ್ರಕೃತಿಯನ್ನು ಸಾಮರಸ್ಯಪೂರ್ಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಿಸಬಹುದು. - ಬಿರ್ಖಾಫ್

8.1 ಪರಿಚಯ

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಆಯತಗಳು, ಸಮಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಇಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅನೇಕ ನೈಜ ಜೀವನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಅನೇಕ ಸರಳ ಆಕೃತಿಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವು ಅಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿವೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಸಮಾಕಲನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಸೀಮೆಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, $y=f(x)$ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ, $x=a$, $x=b$ ಲಂಬಗಳಿಂದ ಮತ್ತು $x$-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಸರಳ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶ, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳ, ಪರವಲಯಗಳು ಮತ್ತು

ಎ.ಎಲ್. ಕೌಚಿ (1789-1857) ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ (ಕೇವಲ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಗಳು) ಚಾಪಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮಾಕಲನಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನ್ವಯವನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಷಯವನ್ನೂ ಸಹ ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

8.2 ಸರಳ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶ

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನವನ್ನು ಮೊತ್ತದ ಸೀಮೆಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೇಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ, $y=f(x), x$ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ, $x=a$ ಮತ್ತು $x=b$ ಲಂಬಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 8.1 ರಿಂದ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬಹಳ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ತೆಳುವಾದ ಅನೇಕ ಲಂಬ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ನಾವು ಭಾವಿಸಬಹುದು. $y$ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು $d x$ ಅಗಲದ ಒಂದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಂತರ $d A$ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪಟ್ಟಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) $=y d x$, ಇಲ್ಲಿ, $y=f(x)$.

ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು $a$ ಮತ್ತು $b$ ನಡುವೆ $x$ ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾದ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಒಂದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ. $x$-ಅಕ್ಷ, $x=a, x=b$ ಲಂಬಗಳು ಮತ್ತು $y=f(x)$ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶದ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ A ಯನ್ನು PQRSP ಪ್ರದೇಶದಾದ್ಯಂತ ತೆಳುವಾದ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿ ನಾವು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೇತಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

$x=g(y), y$ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ, $y=c$, $y=d$ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $A$ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚಿತ್ರ 8.2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅಡ್ಡ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ

ಚಿತ್ರ 8.2

ಟಿಪ್ಪಣಿ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸ್ಥಾನವು $x$-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗಿದ್ದರೆ, ಚಿತ್ರ 8.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, $x=a$ ರಿಂದ $x=b$ ವರೆಗೆ $f(x)<0$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ, $x$-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಮತ್ತು $x=a, x=b$ ಲಂಬಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಪ್ರದೇಶದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದರ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, $|\int_a^{b} f(x) d x|$.

ಚಿತ್ರ 8.3

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವು $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಭಾಗವು $x$-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರಬಹುದು ಎಂದು ಚಿತ್ರ 8.4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, $A_1<0$ ಮತ್ತು $A_2>0$. ಆದ್ದರಿಂದ, $y=f(x), x$ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ, $x=a$ ಮತ್ತು $x=b$ ಲಂಬಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶ A ಅನ್ನು $A=|A_1|+A_2$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 8.4

ಉದಾಹರಣೆ 1 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಚಿತ್ರ 8.5 ರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶ $=4$ (ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ, $x$-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಮತ್ತು $x=0$ ಮತ್ತು $x=a$ ಲಂಬಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ AOBA ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ) [ವೃತ್ತವು $x$-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ನೀಡುತ್ತದೆ $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

ಚಿತ್ರ 8.5

AOBA ಪ್ರದೇಶವು ಮೊದಲ ಚರಣದಲ್ಲಿದ್ದರಿಂದ, $y$ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಕಲನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ವೃತ್ತದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

ವೈಕಲ್ಪಿಕವಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 8.6 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅಡ್ಡ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ವೃತ್ತದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(ಏಕೆ?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

ಚಿತ್ರ 8.6

ಉದಾಹರಣೆ 2 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ ಚಿತ್ರ 8.7 ರಿಂದ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು $x$-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು $y$-ಅಕ್ಷ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (ಲಂಬ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು)

ಈಗ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ನೀಡುತ್ತದೆ $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$, ಆದರೆ AOBA ಪ್ರದೇಶವು ಮೊದಲ ಚರಣದಲ್ಲಿದ್ದರಿಂದ, $y$ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರದೇಶವು

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (ಏಕೆ) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

ಚಿತ್ರ 8.7

ವೈಕಲ್ಪಿಕವಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 8.8 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅಡ್ಡ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

ಚಿತ್ರ 8.8

ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 3 $y=3 x+2$ ರೇಖೆಯಿಂದ, $x$-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಮತ್ತು $x=-1$ ಮತ್ತು $x=1$ ಲಂಬಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಚಿತ್ರ 8.9 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, $y=3 x+2$ ರೇಖೆಯು $x$-ಅಕ್ಷವನ್ನು $x=\frac{-2}{3}$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ ಗಾಗಿ $x$-ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತು $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ ಗಾಗಿ $x$-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರದೇಶ $=$ = $ACBA+$ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ADEA ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

ಚಿತ್ರ 8.9

ಉದಾಹರಣೆ 4 $y=\cos x$ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ $x=0$ ಮತ್ತು $x=2 \pi$ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ಚಿತ್ರ 8.10 ರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರದೇಶ $=$ = $OABO+$ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + $BCDB+$ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + DEFD ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ.

ಚಿತ್ರ 8.10

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

ಸಾರಾಂಶ

$y=f(x), x$ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ, $x=a$ ಮತ್ತು $x=b(b>a)$ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$. $x=\phi(y), y$ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ, $y=c, y=d$ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಟಿಪ್ಪಣಿ

ಸಮಾಕಲನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಆರಂಭಿಕ ಕಾಲಕ್ಕೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್ನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ದುರ್ಬಲೀಕರಣ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು, ಘನ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಘನಗಾತ್ರಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿತು. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ದುರ್ಬಲೀಕರಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಮಾಕಲನದ ಆರಂಭಿಕ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆರಂಭಿಕ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲೀಕರಣ ವಿಧಾನದ ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಯೂಡಾಕ್ಸಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 440) ಮತ್ತು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 300) ರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಯಿತು.

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ವಿಧಾನವು 17ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. 1665 ರಲ್ಲಿ, ನ್ಯೂಟನ್ ತನ್ನನ್ನು ಪ್ರವಾಹಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನ) ಅಥವಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವಿಲೋಮ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು.

1684-86 ರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಲೀಬ್ನಿಟ್ಜ್ ಆಕ್ಟಾ ಎರುಡಿಟೋರಮ್ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲೇಖನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಅದನ್ನು ಅವರು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಸಮ್ಮೇಟೋರಿಯಸ್ ಎಂದು ಕರೆದರು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅವರು ‘∫’ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರು. 1696 ರಲ್ಲಿ, ಜೆ. ಬರ್ನೌಲಿ ಮಾಡಿದ ಸಲಹೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಅವರು ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಇಂಟೆಗ್ರಾಲಿ ಎಂದು ಬದಲಾಯಿಸಿದರು. ಇದು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವಿಲೋಮ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿತ್ತು.

ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಟ್ಜ್ ಇಬ್ಬರೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದವು. ಲೀಬ್ನಿಟ್ಜ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಕಲನದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅವರು ಮೊದಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮನಗಂಡರು ಎಂಬುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಖಚಿತವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮಾಕಲನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು 17ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪಿ.ಡೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್, ಐ. ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಜಿ. ಲೀಬ್ನಿಟ್ಜ್ ರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಆದರೆ, ಸೀಮೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಈ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಎ.ಎಲ್. ಕೌಚಿಯ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಲೀ ಸೋಫಿಯಸ್ ಅವರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ:

“ಭೇದಾತ್ಮಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ತಮ್ಮ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್‌ಗೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಪ್ಲರ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್, ಕ್ಯಾವಲಿಯರಿ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಲಿಸ್ …. ರ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಂದ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಸಮಾಕಲನವು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಟ್ಜ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ”.