ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳದೆ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವವನು ಬಹುತೇಕ ವ್ಯರ್ಥವಾಗಿ ಹುಡುಕುತ್ತಾನೆ. - ಡಿ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್

9.1 ಪರಿಚಯ

XI ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಪುಸ್ತಕದ 5 ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನೀಡಲಾದ ಫಲನ $f$ ಅನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಾಕ್ಷರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೇಗೆ ವಿಕಲಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನೀಡಲಾದ ಫಲನ $f$ ಗೆ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ $x$ ನಲ್ಲಿ $f^{\prime}(x)$ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಯಾವ ಫಲನದ ವಿಕಲಜವು ಫಲನ $g$ ಆಗಿರುವುದೋ ಅಂತಹ ಫಲನ $f$ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಯೂ ರೂಪಿಸಬಹುದು:

ನೀಡಲಾದ ಫಲನ $g$ ಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುವ ಫಲನ $f$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

ಹೆನ್ರಿ ಪೊಯಿಂಕರೆ $(1854-1912)$

(1) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಂತರ ನೀಡಲಾಗುವುದು.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಮಾನವಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೂವಿಜ್ಞಾನ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನವು ಎಲ್ಲಾ ಆಧುನಿಕ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ತನಿಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳು, ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರಚನೆ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕ - ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

9.2 ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು (1), (2) ಮತ್ತು (3) ಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿತ ಚರಾಕ್ಷರ(ಗಳನ್ನು) ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣ (4) ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಅವಲಂಬಿತ ಚರಾಕ್ಷರ $y$ ನ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಕಲಜವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅವಲಂಬಿತ ಚರಾಕ್ಷರದ ವಿಕಲಜ(ಗಳನ್ನು) ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಾಕ್ಷರ(ಗಳಿಗೆ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಲಂಬಿತ ಚರಾಕ್ಷರದ ವಿಕಲಜಗಳನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಾಕ್ಷರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ } $

ಸಹಜವಾಗಿ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಕಲಜಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳೂ ಇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಮುಂದೆ, ನಾವು ‘ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ’ ಗಾಗಿ ‘ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ’ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ

1. ನಾವು ವಿಕಲಜಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಕಲಜಗಳಿಗೆ, ಅನೇಕ ಗೀರುಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ಗಾತ್ರವಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಕಲಜ $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ ಗಾಗಿ $y_n$ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

9.2.1 ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಾಂಕ

ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅವಲಂಬಿತ ಚರಾಕ್ಷರದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಕಲಜದ ಕ್ರಮಾಂಕವನ್ನು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಾಂಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

ಸಮೀಕರಣಗಳು (6), (7) ಮತ್ತು (8) ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ವಿಕಲಜವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕ್ರಮಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1,2 ಮತ್ತು 3 ಆಗಿವೆ.

9.2.2 ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪದವಿ

ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪದವಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಕಲಜಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

ನಾವು ಗಮನಿಸುವಂತೆ, ಸಮೀಕರಣ (9) $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ ಮತ್ತು $y^{\prime}$ ಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣ (10) $y^{\prime}$ ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ($y$ ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ). ಅಂತಹ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣ (11) $y^{\prime}$ ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವು ವಿಕಲಜಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅದರ ಪದವಿಯಿಂದ ನಾವು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಕಲಜದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತ (ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸೂಚಿ) ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಗಮನಿಸಬಹುದು, ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು (6), (7), (8) ಮತ್ತು (9) ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ಪದವಿಯವಾಗಿವೆ, ಸಮೀಕರಣ (10) ಎರಡು ಪದವಿಯದ್ದಾಗಿದೆ ಆದರೆ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ (11) ನ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಗಮನಿಸಿ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮಾಂಕ ಮತ್ತು ಪದವಿ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕ್ರಮಾಂಕ ಮತ್ತು ಪದವಿಯನ್ನು (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

ಪರಿಹಾರ

(i) ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಕಲಜವು $\frac{d y}{d x}$ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಕ್ರಮಾಂಕ ಒಂದು. ಇದು $y^{\prime}$ ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\frac{d y}{d x}$ ಗೆ ಏರಿಸಲಾದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತವು ಒಂದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಪದವಿ ಒಂದು.

(ii) ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಕಲಜವು $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಕ್ರಮಾಂಕ ಎರಡು. ಇದು $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ಮತ್ತು $\frac{d y}{d x}$ ಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ಗೆ ಏರಿಸಲಾದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತವು ಒಂದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಪದವಿ ಒಂದು.

(iii) ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಕಲಜವು $y^{\prime \prime \prime}$ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಕ್ರಮಾಂಕ ಮೂರು. ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ವಿಕಲಜಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಪದವಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

9.3 ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳು

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

ಸಮೀಕರಣಗಳ (1) ಮತ್ತು (2) ನ ಪರಿಹಾರ ಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ವಾಸ್ತವಿಕ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ, ಅವು ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಅಂದರೆ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ $x$ ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ಎಡಭಾಗವು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಈ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಫಲನ $\phi$ ಆಗಿದೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ, ಫಲನ $\phi$ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ $y$ (ಅವಲಂಬಿತ ಚರಾಕ್ಷರ) ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ಎಡಭಾಗವು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುತ್ತದೆ.

ವಕ್ರರೇಖೆ $y=\phi(x)$ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ವಕ್ರರೇಖೆ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾದ ಫಲನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $a, b \in \mathbf{R}$. ಈ ಫಲನ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಕಲಜವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (3) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ (3) ನ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

$a$ ಮತ್ತು $b$ ಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ $a=2$ ಮತ್ತು $b=\frac{\pi}{4}$ ಎಂದು ನೀಡೋಣ, ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಫಲನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

ಈ ಫಲನ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಕಲಜವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (3) ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ. ಆದ್ದರಿಂದ $\phi_1$ ಕೂಡ ಸಮೀಕರಣ (3) ನ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಫಲನ $\phi$ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು (ಪರಾಮಿತಿಗಳು) $a, b$ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಫಲನ $\phi_1$ ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಪರಾಮಿತಿಗಳ $a$ ಮತ್ತು $b$ ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (ಪ್ರಾಚೀನ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಂದ ಮುಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರ ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಫಲನ $y=e^{-3 x}$ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ ನ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನೀಡಲಾದ ಫಲನವು $y=e^{-3 x}$ ಆಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಕಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

ಈಗ, (1) ಅನ್ನು $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಕಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ ಮತ್ತು $y$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಎಡಭಾಗ $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ ಬಲಭಾಗ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಫಲನವು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಫಲನ $y=a \cos x+b \sin x$, ಇಲ್ಲಿ, $a, b \in \mathbf{R}$ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ ನ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ ನೀಡಲಾದ ಫಲನವು

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು $x$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಕಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ಮತ್ತು $y$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಎಡಭಾಗ $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ ಬಲಭಾಗ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಫಲನವು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

9.4 ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕ, ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

9.4.1 ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕ-ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

$F(x, y)$ ಅನ್ನು $g(x) h(y)$ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಇಲ್ಲಿ, $g(x)$ ಒಂದು $x$ ನ ಫಲನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $h(y)$ ಒಂದು $y$ ನ ಫಲನವಾಗಿದೆ, ಆಗ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕಾರದ್ದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ (1) ನಂತರ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

$h(y) \neq 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿ, (2) ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

ಹೀಗೆ, (4) ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ, $H(y)$ ಮತ್ತು $G(x)$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\frac{1}{h(y)}$ ಮತ್ತು $g(x)$ ಗಳ ವಿರೋಧಿ ವಿಕಲಜಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು $C$ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (1) ನಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (2) ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

ಇದು ಸಮೀಕರಣ (1) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ $1+y^{2} \neq 0$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿ, ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ or }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

ಇದು ಸಮೀಕರಣ (1) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣ $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, $y=1$ ಆಗಿರುವಾಗ, $x=0$ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ $y \neq 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ or } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

$y=1$ ಮತ್ತು $x=0$ ಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, $C=-1$.

ಈಗ $C$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು $y=\frac{1}{2 x^{2}+1}$ ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7 ಬಿಂದು $(1,1)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವು $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$ ಆಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು

$\text{ or } \qquad dy $ $ =(\frac{2x^2+1}{x}) dx \\ dy =(2 x+\frac{1}{x}) d x $

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x $$

$ \begin{equation*} \text{ or }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $

ಸಮೀಕರಣ (2) ನೀಡಲಾದ ವಿಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ನಾವು ಬಿಂದು $(1,1)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕುಟುಂಬದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸದಸ್ಯರ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಆಸಕ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ $x=1, y=1$ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $C=0$.

ಈಗ $C$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು $y=x^{2}+\log |x|$ ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 ಬಿಂದು $(-2,3)$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು $(x, y)$ ನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು $\frac{2 x}{y^{2}}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು $\frac{d y}{d x}$ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು

$$ \begin{equation*} y^{2} d y=2 x d x \tag{2} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (2) ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \int y^{2} d y=\int 2 x d x $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\mathrm{C} \tag{3} \end{equation*} $$

$x=-2, y=3$ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (3) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $C=5$.

$C$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (3) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5 \quad \text{ or } \quad y=(3 x^{2}+15)^{\frac{1}{3}} $$

ಉದಾಹರಣೆ 9 ಒಂದು ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಮೊತ್ತವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವರ್ಷಕ್ಕೆ 5% ರಂತೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಎಷ್ಟು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ರೂ 1000 ತನ್ನದೇ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ ಯಾವುದೇ ಸಮಯ $t$ ನಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಮೊತ್ತವು $P$ ಆಗಿರಲಿ. ನೀಡಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ,

$$ \begin{align*} & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} \\ & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} \tag{1} \end{align*} $$

ಸಮೀಕರಣ (1) ನಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} \frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} \tag{2} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (2) ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{aligned} \text{ or } \qquad \log P & =\frac{t}{20}+C_1 \\ P & =e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{C_1} \end{aligned} $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} \quad\left(\text { where } e^{\mathrm{C} _{1}}=\mathrm{C}\right) \tag{3} \end{equation*} $$

ಈಗ $\qquad \mathrm{P}=1000, \quad \text { when } t=0$

$P$ ಮತ್ತು $t$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (3) ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $C=1000$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ (3), ನೀಡುತ್ತದೆ

$$ P=1000 e^{\frac{t}{20}} $$

ಮುಖ್ಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ದ್ವಿಗು