2.1 ಪರಿಚಯ

ಅಧ್ಯಾಯಗಳು 6 ಮತ್ತು 8 (ವರ್ಗ XI) ರಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಬಾಹ್ಯ ಬಲವು ವಸಂತ ಬಲ ಅಥವಾ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲದಂತಹ ಬಲದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗುವಾಗ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದಾಗ, ಆ ಕೆಲಸವು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಬಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ, ವಸ್ತುವು ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಚಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಂರಕ್ಷಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಬಲಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಣ ಬಲಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಸಂತ ಬಲ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಬಲವು ಸಂರಕ್ಷಣ ಬಲಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಎರಡು (ಸ್ಥಿರ) ಆವೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ಕೂಲಂಬ್ ಬಲವೂ ಸಹ ಒಂದು ಸಂರಕ್ಷಣ ಬಲವಾಗಿದೆ. ಇದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ದೂರದ ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮ-ವರ್ಗ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅನುಪಾತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ - ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ನಿಯಮದಲ್ಲಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕೂಲಂಬ್ ನಿಯಮದಲ್ಲಿ ಆವೇಶಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯಂತೆ, ನಾವು ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಆವೇಶದ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಕೆಲವು ಆವೇಶ ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ $\mathbf{E}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾದ ಆವೇಶ $Q$ ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರ $\mathbf{E}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈಗ, ನಾವು ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶ $q$ ಅನ್ನು ಬಿಂದು $\mathrm{R}$ ನಿಂದ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಗೆ ಆವೇಶ $Q$ ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲಿನ ವಿಕರ್ಷಕ ಬಲದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ತರುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ಚಿತ್ರ 2.1 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, $Q$ ಮತ್ತು $q$ ಎರಡೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಶ್ಚಿತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು $Q, q>0$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚಿತ್ರ 2.1 ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾದ ಆವೇಶ $Q(>0)$ ನಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶ $q(>0)$ ಮೇಲಿನ ವಿಕರ್ಷಕ ಬಲದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬಿಂದು $\mathrm{R}$ ನಿಂದ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶ $q$ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮೂಲ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು, ಅಂದರೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿನ ಆವೇಶ $Q$ ಅನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು $Q$ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಲದಿಂದ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಇರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಆವೇಶ $q$ ಅನ್ನು $\mathrm{R}$ ನಿಂದ $\mathrm{P}$ ಗೆ ತರುವಾಗ, ನಾವು ವಿಕರ್ಷಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲ $\mathbf{F_\mathrm{E}}$ ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಎದುರಾಗಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾಹ್ಯ ಬಲ $\mathbf{F_\text {ext }}$ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ (ಅಂದರೆ, $\mathbf{F_\mathrm{ext}}=-\mathbf{F_\mathrm{E}}$ ). ಇದರರ್ಥ ಆವೇಶ $q$ ಅನ್ನು ⟦123⟅ ನಿಂದ $\mathrm{P}$ ಗೆ ತರುವಾಗ ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿವ್ವಳ ಬಲ ಅಥವಾ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಅತ್ಯಲ್ಪ ನಿಧಾನ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸದ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆವೇಶ $q$ ನ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾಗುತ್ತದೆ. $P$ ಗೆ ತಲುಪಿದಾಗ ಬಾಹ್ಯ ಬಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲವು ಆವೇಶವನ್ನು $Q$ ನಿಂದ ದೂರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗುತ್ತದೆ - $\mathrm{P}$ ನಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಶಕ್ತಿಯು (ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿ) ಆವೇಶ $q$ ಗೆ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಚಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಂರಕ್ಷಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಆವೇಶ $q$ ಅನ್ನು $\mathrm{R}$ ನಿಂದ $\mathrm{P}$ ಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಬಲಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು

$$ \begin{align*} \mathrm{W_\mathrm{RP}} & =\int_{\mathrm{R^{\mathrm{P}}}} \mathbf{F_\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\ & =-\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \mathbf{F\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \tag{2.1} \end{align*} $$

ಈ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ವಿಕರ್ಷಕ ಬಲದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹವಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಆವೇಶ $q$ ಹೊಂದಿರುವ ಕಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಬಿಂದುಗಳು $\mathrm{R}$ ಮತ್ತು $\mathrm{P}$ ನಡುವಿನ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

$$ \begin{equation*} \Delta U=U_{P}-U_{R}=W_{R P} \tag{2.2} \end{equation*} $$

(ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ, ಈ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $-W_{R P}$.)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆವೇಶ ವಿನ್ಯಾಸದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಆವೇಶ $q$ ಅನ್ನು (ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವಿಲ್ಲದೆ) ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕೆಲಸ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

(i) ಸಮೀಕರಣ (2.2) ನ ಬಲಭಾಗವು ಆವೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಆವೇಶವನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂರಕ್ಷಣ ಬಲದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಕೆಲಸವು ಮಾರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸದ ಮಾರ್ಗ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಕೂಲಂಬ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಈ ಸಾಕ್ಷಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಕೌಂಟ್ ಅಲೆಸ್ಸಾಂಡ್ರೊ ವೋಲ್ಟಾ

(1745 – 1827) ಇಟಾಲಿಯನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಪಾವಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ. ಲುಯಿಗಿ ಗಾಲ್ವಾನಿ (1737–1798) ಬೆಂಡೆಕಾಲಿನ ಅಂಗಾಂಶವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಲೋಹಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಪ್ರಾಣಿ ವಿದ್ಯುತ್, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಣಿ ಅಂಗಾಂಶಗಳ ಅಸಾಧಾರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಒದ್ದೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಲೋಹಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡಿದಾಗಲೂ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ವೋಲ್ಟಾ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಇದು ಅವರನ್ನು ಮೊದಲ ವೋಲ್ಟಾಯಿಕ್ ರಾಶಿ, ಅಥವಾ ಬ್ಯಾಟರಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಇದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒದ್ದೆ ಕಾರ್ಡ್ಬೋರ್ಡ್ (ವಿದ್ಯುದ್ವಿಚ್ಛೇದ್ಯ) ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಲೋಹದ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ (ವಿದ್ಯುದ್ಗ್ರಾಹಿಗಳ) ನಡುವೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡಿ ಕೂಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು.

(ii) ಸಮೀಕರಣ (2.2) ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣವಾದ ಕೆಲಸದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಸಂಕಲನ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡದಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದಲ್ಲ; ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾತ್ರ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಗೆ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕ $\alpha$ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ:

$$ \left(U_{P}+\alpha\right)-\left(U_{R}+\alpha\right)=U_{P}-U_{R} $$

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸುವಲ್ಲಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಿದೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಲು ಒಂದು ಅನುಕೂಲಕರ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಬಿಂದು $\mathrm{R}$ ಅನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣ (2.2) ರಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$$ \begin{equation*} W_{\infty P}=U_{P}-U_{\infty}=U_{P} \tag{2.3} \end{equation*} $$

ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ (2.3) ನಾವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಆವೇಶ $q$ ನ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಮಗೆ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಆವೇಶ $q$ ನ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯು (ಯಾವುದೇ ಆವೇಶ ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ) ಆವೇಶ $q$ ಅನ್ನು ಅನಂತದಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ತರುವಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ (ವಿದ್ಯುತ್ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ) ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ.

2.2 ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ವಿಭವ

ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿರ ಆವೇಶ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶ $q$ ನ ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಆವೇಶ $q$ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕೆಲಸವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ $q$ ಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಬಲವು $q \mathbf{E}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $\mathbf{E}$ ಎಂಬುದು ನೀಡಲಾದ ಆವೇಶ ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲಸವನ್ನು ಆವೇಶದ ಪ್ರಮಾಣ $q$ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಮಾಣವು $q$ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಏಕಮಾನ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಆವೇಶ ವಿನ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ನೀಡಲಾದ ಆವೇಶ ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ವಿಭವ $V$ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (2.1) ರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬಿಂದು $\mathrm{R}$ ನಿಂದ $\mathrm{P}$ ಗೆ ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಆವೇಶವನ್ನು ತರುವಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸ

$$ \begin{equation*} =V_{P}-V_{R} \quad=\frac{U_{P}-U_{R}}{q} \tag{2.4} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $V_{P}$ ಮತ್ತು $V_{R}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ $\mathrm{P}$ ಮತ್ತು $\mathrm{R}$ ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ವಿಭವಗಳಾಗಿವೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದು ವಿಭವದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಭವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭವವನ್ನು ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಆರಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (2.4) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ:

ಅನಂತದಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದು $=$ ಗೆ ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಆವೇಶವನ್ನು ತರುವಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ವಿಭವ $(V)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.2 ಯಾವುದೇ ನೀಡಲಾದ ಆವೇಶ ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶ $q$ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸ್ಥಾನಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ವಿಭವ $(V)$ ಎಂಬುದು ಅನಂತದಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಆವೇಶವನ್ನು (ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷವಿಲ್ಲದೆ) ತರುವಲ್ಲಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಿತಿಜ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲೇ ಮಾಡಿದ ಅರ್ಹತಾಪೂರ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ವಿಭವದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಏಕಮಾನ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶ $\delta q$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಅನಂತದಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ತರುವಲ್ಲಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸ $\delta W$ ಅನ್ನು ಪಡೆದು ಅನುಪಾತ $\delta W / \delta q$ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಹಾಗೆಯೇ, ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ ಬಾಹ್ಯ ಬಲವು ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶದ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು.

2.3 ಬಿಂದು ಆವೇಶದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಿಭವ

ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು ಆವೇಶ $Q$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 2.3). ನಿಶ್ಚಿತತೆಗಾಗಿ, $Q$ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ಮೂಲದಿಂದ ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶ $\mathbf{r}$ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ನಲ್ಲಿನ ವಿಭವವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಅನಂತದಿಂದ P ಬಿಂದುವಿಗೆ ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶವನ್ನು ತರುವಲ್ಲಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕು. $Q>0$ ಗಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶದ ಮೇಲಿನ ವಿಕರ್ಷಕ ಬಲದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಅನಂತದಿಂದ ಬಿಂದು $P$ ಗೆ ರೇಡಿಯಲ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ.

ಚಿತ್ರ 2.3 ಅನಂತದಿಂದ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಗೆ ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶವನ್ನು ತರುವಲ್ಲಿ, ಆವೇಶ $Q(Q>0)$ ನ ವಿಕರ್ಷಕ ಬಲದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಆವೇಶ $Q$ ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ $\mathrm{P}$ ನಲ್ಲಿನ ವಿಭವವಾಗಿದೆ.

ಮಾರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರ ಬಿಂದು $\mathrm{P}^{\prime}$ ನಲ್ಲಿ, ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಆವೇಶದ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಬಲವು $$ \begin{equation*} \frac{Q \times 1}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} \hat{\mathbf{r}}^{\prime} \tag{2.5} \end{equation*} $$

ಇಲ್ಲಿ $\hat{\mathbf{r^\prime}}$ ಎಂಬುದು $\mathrm{OP^\prime}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಏಕಮಾನ ಸದಿಶವಾಗಿದೆ. $\mathbf{r^\prime}$ ನಿಂದ $\mathbf{r^\prime}+\Delta \mathbf{r^\prime}$ ಗೆ ಈ ಬಲದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸ

$$ \begin{equation*} \Delta W=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{\prime 2}} \Delta r^{\prime} \tag{2.6} \end{equation*} $$

$\Delta r^{\prime}<0, \Delta W$ ಗಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಒಟ್ಟು ಕೆಲಸ (W) ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (2.6) ಅನ್ನು $r^{\prime}=\infty$ ನಿಂದ $r^{\prime}=r$ ಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ,

$$ \begin{equation*} W=-\int _{\infty}^{r} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} d r^{\prime}=\left.\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime}}\right| _{\infty} ^{r}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r} \tag{2.7} \end{equation*} $$

ಇದು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಆವೇಶ $Q$ ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ $\mathrm{P}$ ನಲ್ಲಿನ ವಿಭವವಾಗಿದೆ

$$ \begin{equation*} V(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{0} r} \tag{2.8} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣ (2.8) ಆವೇಶ $Q$ ನ ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ನಾವು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ $Q>0$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ. $Q<0, V<0$ ಗಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಅನಂತದಿಂದ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಗೆ ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶವನ್ನು ತರುವಲ್ಲಿ (ಬಾಹ್ಯ ಬಲದಿಂದ) ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನಂತದಿಂದ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಗೆ ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಆವೇಶವನ್ನು ತರುವಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ. [ಇದು ಹಾಗೇ ಇರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ $Q<0$ ಗಾಗಿ, ಏಕಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷಾ ಆವೇಶದ ಮೇಲಿನ ಬಲವು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಬಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರ (ಅನಂತದಿಂದ P ಗೆ) ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.] ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣ (2.8) ಅನಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭವವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 2.4 ಬಿಂದು ಆವೇಶ $Q$ ಗಾಗಿ ವಿಭವ $V$ ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $r$ [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-1}$ ಏಕಮಾನಗಳಲ್ಲಿ] (ನೀಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆ) ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $r$ [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-2}$ ಏಕಮಾನಗಳಲ್ಲಿ] (ಕಪ್ಪು ವಕ್ರರೇಖೆ).

ಚಿತ್ರ (2.4) ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ವಿಭವ $(\propto 1 / r)$ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ $\left(\propto 1 / r^{2}\right).$ ಗಳು $r$ ನೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.1

(a) $9 \mathrm{~cm}$ ದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುವ $4 \times 10^{-7} \mathrm{C}$ ಆವೇಶದಿಂದಾಗಿ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ನಲ್ಲಿನ ವಿಭವವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

(b) ಹೀಗಾಗಿ ಅನಂತದಿಂದ P ಬಿಂದುವಿಗೆ $2 \times 10^{-9} \mathrm{C}$ ಆವೇಶವನ್ನು ತರುವಲ್ಲಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಉತ್ತರವು ಆವೇಶವನ್ನು ತರಲಾಗುವ ಮಾರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ

(a) $V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}=9 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{C}^{-2} \times \frac{4 \times 10^{-7} \mathrm{C}}{0.09 \mathrm{~m}}$

$$ =4 \times 10^{4} \mathrm{~V} $$

(b) $W=q V=2 \times 10^{-9} \mathrm{C} \times 4 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

$$ =8 \times 10^{-5} \mathrm{~J} $$

ಇಲ್ಲ, ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಮಾರ್ಗ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು: ಒಂದು $\mathbf{r}$ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು $\mathbf{r}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ. ನಂತರದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2.4 ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಿಭವ

ಕಳೆದ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಲಿತಂತೆ, ಒಂದು ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವವು ಎರಡು ಆವೇಶಗಳು $q$ ಮತ್ತು $-q$ ಗಳನ್ನು ಒಂದು (ಚಿಕ್ಕ) ದೂರ $2 a$ ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿ ಕೂಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅದರ ಒಟ್ಟು ಆವೇಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ದ್ವಿಧ್ರುವ ಭ್ರಾಮಕ ಸದಿಶ $\mathbf{p}$ ನಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣವು $q \times 2 a$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು $-q$ ನಿಂದ $q$ ಗೆ ಇರುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2.5). ಸ್ಥಾನ ಸದಿಶ $\mathbf{r}$ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ದ್ವಿಧ್ರುವದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕೇವಲ ಪರಿಮಾಣ $r$ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಆದರೆ $\mathbf{r}$ ಮತ್ತು $\mathbf{p}$ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಮೇಲೆಯೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಹ