ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ#

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿವಿಧ ಬಲಗಳ ಪ್ರಭಾವದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಊಹಿಸಲು ಗಣಿತೀಯ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿವೆ.

ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳು#

1. ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಮೊದಲ ನಿಯಮ (ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ): ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವು ಬಾಹ್ಯ ಬಲವೊಂದರಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದ ಹೊರತು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ.
2. ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ (ತ್ವರಣದ ನಿಯಮ): ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲಾದ ನಿವ್ವಳ ಬಲಕ್ಕೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

$$ F = ma $$

ಎಲ್ಲಿ:

• F ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ನ್ಯೂಟನ್ಗಳಲ್ಲಿ)
• m ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಕಿಲೋಗ್ರಾಂಗಳಲ್ಲಿ)
• a ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಮೀಟರ್ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ)

3. ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಮೂರನೇ ನಿಯಮ (ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮ): ಪ್ರತಿ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಎರಡನೇ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಬಲವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದಾಗ, ಎರಡನೇ ವಸ್ತುವು ಮೊದಲ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಸಮಾನ ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನ ಬಲವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ#

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲ, ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಅದರ ತ್ವರಣದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

$$ a = F/m $$

ಎಲ್ಲಿ:

• a ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಮೀಟರ್ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ)
• F ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ನ್ಯೂಟನ್ಗಳಲ್ಲಿ)
• m ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಕಿಲೋಗ್ರಾಂಗಳಲ್ಲಿ)

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಬಲವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದಾಗ ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಥವಾ ಬಯಸಿದ ತ್ವರಣವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಾನ, ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ವರಣದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಬಹುದು.

ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳು

ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳು:

1. ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಮೊದಲ ನಿಯಮ (ಜಡತ್ವದ ನಿಯಮ): ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವು ಬಾಹ್ಯ ಬಲವೊಂದರಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದ ಹೊರತು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ.
2. ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ (ತ್ವರಣದ ನಿಯಮ): ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲಕ್ಕೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
3. ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಮೂರನೇ ನಿಯಮ (ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮ): ಪ್ರತಿ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ $m$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಣವೊಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $x$ ಕಣದ ಸ್ಥಾನವಾಗಿರಲಿ, $v$ ಅದರ ವೇಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು $a$ ಅದರ ತ್ವರಣವಾಗಿರಲಿ.

ಕಣಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ma = F$$

ಇಲ್ಲಿ $F$ ಕಣದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲವಾಗಿದೆ.

ಬಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ತ್ವರಣವೂ ಸಹ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

$$v = u + at$$

$$x = ut + \frac{1}{2}at^2$$

ಇಲ್ಲಿ $u$ ಕಣದ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವಾಗಿದೆ.

ಬಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ತ್ವರಣವೂ ಸಹ ಚರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಲು ನಾವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣ $v = u + at$ ಅನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ವಿಕಲನ ಮಾಡಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$a = \frac{dv}{dt}$$

ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣ $ma = F$ ಗೆ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$m\frac{dv}{dt} = F$$

ಇದು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ $m$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಣದ ಚಲನೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಪರಿಚಯ

ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದು ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ತ್ವರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬಲಗಳು ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರಭಾವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

• ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ (m): ವಸ್ತುವಿನ ಜಡತ್ವದ ಅಳತೆ, ಅಥವಾ ಅದರ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿರೋಧ.
• ತ್ವರಣ (a): ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ದರ.
• ನಿವ್ವಳ ಬಲ (F): ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಲಗಳ ಸದಿಶ ಮೊತ್ತ.

ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಮೊದಲ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಬಹುದು.

ಹಂತ 1: ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ

ಆವೇಗ (p) ಅನ್ನು ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ (m) ಮತ್ತು ಅದರ ವೇಗದ (v) ಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

$$p = mv$$

ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ (dp/dt) ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲವನ್ನು (F) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ:

$$\frac{dp}{dt} = F$$

ಹಂತ 2: ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು

ವಿಕಲನದ ಗುಣಲಬ್ಧ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:

$$\frac{dp}{dt} = m\frac{dv}{dt} + v\frac{dm}{dt}$$

ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, dm/dt = 0. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ:

$$\frac{dp}{dt} = m\frac{dv}{dt}$$

ಹಂತ 3: ತ್ವರಣ ಮತ್ತು ದ್ವಿತೀಯ ವಿಕಲನ

ತ್ವರಣ (a) ಅನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಥಾನದ (x) ದ್ವಿತೀಯ ವಿಕಲನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

$$a = \frac{d^2x}{dt^2}$$

ವೇಗ (v) ಸ್ಥಾನದ ಮೊದಲ ವಿಕಲನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಆವೇಗ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ dv/dt ಅನ್ನು dx/dt ನೊಂದಿಗೆ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು:

$$\frac{dp}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2}$$

ಹಂತ 4: ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣ

ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿವ್ವಳ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಮೊದಲ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$F = ma$$

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲವು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಣಕ್ಕೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಮಹತ್ವ

ಮೊದಲ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ತ್ವವಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲ ತಿಳಿದಿರುವಾಗ ಅದರ ತ್ವರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚಲನೆಯಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳವರೆಗೆ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಊಹಿಸಲು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ#

ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದು ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ತ್ವರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವು ಬಾಹ್ಯ ಬಲವೊಂದರಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದ ಹೊರತು ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವ $m$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಸ್ತುವೊಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ನಿವ್ವಳ ಬಲ $F$ ಅನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದರೆ, ಅದು ತ್ವರಣಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣ $a$ ನಿವ್ವಳ ಬಲ $F$ ಗೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $m$ ಗೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

$$F = ma$$

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲವು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಣದ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ವಿವರಣೆ

ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆವೇಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆವೇಗವು ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸದಿಶ ರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲವು ಅದರ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ನಿವ್ವಳ ಬಲವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಆವೇಗ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿವ್ವಳ ಬಲವು ಹೆಚ್ಚಿದಷ್ಟೂ, ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವೂ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಹೆಚ್ಚಿದಷ್ಟೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿವ್ವಳ ಬಲಕ್ಕೆ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನ್ವಯಗಳು

ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

• ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು.
• ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಣದೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಚಲಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು.
• ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಲನೆಯಂತಹ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು.

ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ತ್ವರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ತ್ವವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ#

ಮೂರನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲವನ್ನು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲಕ್ಕೆ ನೇರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ನಿವ್ವಳ ಬಲ F ಯ ಪ್ರಭಾವದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ m ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಸ್ತುವೊಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣ, a, ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$F = ma$$

a ಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$a = \frac{F}{m}$$

ಇದು ಮೂರನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿವ್ವಳ ಬಲವನ್ನು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನ್ವಯಗಳು

ಮೂರನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

• ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ತ್ವರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು.
• ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ವರಣದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು.
• ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದು.
• ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಲೋಲಕಗಳಂತಹ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು.

ಮೂರನೇ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಬಲ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಮೂಲಭೂತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು#

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಸ್ಥಿರ ತ್ವರಣ#

ಒಂದು ಕಾರು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ 2 m/s$^2$ ನ ಸ್ಥಿರ ದರದಲ್ಲಿ ತ್ವರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. 10 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ಅದರ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಸ್ಥಿರ ತ್ವರಣಕ್ಕಾಗಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

$$v = u + at$$

ಎಲ್ಲಿ:

• v ಅಂತಿಮ ವೇಗವಾಗಿದೆ
• u ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವಾಗಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 0 m/s)
• a ತ್ವರಣವಾಗಿದೆ (2 m/s$^2$)
• t ಸಮಯವಾಗಿದೆ (10 s)

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$v = 0 + 2 \times 10 = 20 \text{ m/s}$$

ಆದ್ದರಿಂದ, 10 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ಕಾರಿನ ವೇಗ 20 m/s ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಚರ ತ್ವರಣ#

ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು 10 m/s ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 2 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ಅದರ ವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತ್ವರಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ತ್ವರಣವು -9.8 m/s^2 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಚೆಂಡಿನ ವೇಗವು ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ 9.8 m/s ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಚರ ತ್ವರಣಕ್ಕಾಗಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

$$v = u + at$$

ಎಲ್ಲಿ:

• v ಅಂತಿಮ ವೇಗವಾಗಿದೆ
• u ಆರಂಭಿಕ ವೇಗವಾಗಿದೆ (10 m/s)
• a ತ್ವರಣವಾಗಿದೆ (-9.8 m/s$^2$)
• t ಸಮಯವಾಗಿದೆ (2 s)

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$v = 10 - 9.8 \times 2 = -8.6 \text{ m/s}$$

ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ಚೆಂಡಿನ ವೇಗ -8.6 m/s ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು 8.6 m/s ವೇಗದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಚಲನೆ#

ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವನ್ನು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ 30 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದಲ್ಲಿ 100 m/s ಆರಂಭಿಕ ವೇಗದಿಂದ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 5 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಚಲನೆಗಾಗಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

$$x = u_x t + \frac{1}{2}a_xt^2$$

$$y = u_y t + \frac{1}{2}a_yt^2$$

ಎಲ್ಲಿ:

• $x$ ಅಡ್ಡಲಾದ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ
• $y$ ಲಂಬ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ
• $u_x$ ಆರಂಭಿಕ ಅಡ್ಡಲಾದ ವೇಗವಾಗಿದೆ (100 m/s * cos 30°)
• $u_y$ ಆರಂಭಿಕ ಲಂಬ ವೇಗವಾಗಿದೆ (100 m/s * sin 30°)
• $a_x$ ಅಡ್ಡಲಾದ ತ್ವರಣವಾಗಿದೆ (0 m/s$^2$)
• $a_y$ ಲಂಬ ತ್ವರಣವಾಗಿದೆ (-9.8 m/s$^2$)
• $t$ ಸಮಯವಾಗಿದೆ (5 s)

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$x = (100 \times \cos 30°) \times 5 + 0 = 433 \text{ m}$$

$$y = (100 \times \sin 30°) \times 5 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 5^2 = 122.5 \text{ m}$$

ಆದ್ದರಿಂದ, 5 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕದ ಸ್ಥಾನ (433 m, 122.5 m) ಆಗಿದೆ.

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ FAQs#

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?

ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗಣಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಾನ, ವೇಗ ಮತ್ತು ತ್ವರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಭವಿಷ್ಯದ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ವೇಗವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಲನೆಯ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುವು?

ಚಲನೆಯ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕಾರದ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಲನೆಯ ಸಮ