ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು ಇತರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು 18ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಯರ್-ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರ#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರವು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 18ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಯರ್-ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$P(X = x) = \frac{x + 1}{n + 1}$$

ಇಲ್ಲಿ:

$P(X = x)$ ಎಂಬುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ $X$ ಗೆ $x$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ

• $x$ ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಘಟನೆ $X$ ಸಂಭವಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ
• $n$ ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು, ಸರಳವಾಗಿ $x$ ಮತ್ತು $n$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಹೆಡ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನೀವು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 10 ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮಿ 5 ಹೆಡ್ ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸ್ಮೂತಿಂಗ್ ಸೂತ್ರವು ನಿಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

$$P(X = 5) = \frac{\binom{5}{5} \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \cdot 0.5^{10}}{252} \approx 0.0009766$$

ಇದರರ್ಥ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಹೆಡ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 0.5 ಅಥವಾ 50% ಎಂದು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ಲಾಭಗಳು ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲಗಳು#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರವು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಮಿತಿಗಳಿವೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ಮಿತಿಯೆಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು 100 ವರ್ಷ ಬದುಕುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನೀವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಎಷ್ಟು ಕಾಲ ಬದುಕಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿ ಇಲ್ಲ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರದ ಇನ್ನೊಂದು ಮಿತಿಯೆಂದರೆ, ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಬಹಳ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿರದೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಕೇವಲ ಎರಡು ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮಿ ಎರಡು ಹೆಡ್ ಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರವು ನಿಮಗೆ 1 ಅಥವಾ 100% ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸೂತ್ರವು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ, ಅದನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು ಅದರ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ.

ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ#

ಪರಿಚಯ

ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ವಿಧಾನವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ, ಬೇರುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿರದೆ ಹೋಗಬಹುದು. ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನವು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ವಿಧಾನದ ಒಂದು ಮಾರ್ಪಾಡಾಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ.

ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸೂತ್ರ

ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣ $$p(x) = 0$$ ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)}$$

ಇಲ್ಲಿ $x_n$ ಎಂಬುದು ಬೇರಿನ nನೇ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು $p’(x)$ ಎಂಬುದು $p(x)$ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ

ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p(x_n)p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ಇಲ್ಲಿ $p’’(x)$ ಎಂಬುದು $p(x)$ ನ ದ್ವಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಬೇರು $x=r$ ಸುತ್ತ $p(x)$ ನ ಟೇಲರ್ ಶ್ರೇಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ನಮಗೆ ಇದೆ:

$$p(x) = p(r) + p’(r)(x - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x - r)^2 + \cdots$$

ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$x_{n+1} = r - \frac{p(r) + p’(r)(x_n - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x_n - r)^2 + \cdots}{p’(r)}$$

ಸರಳೀಕರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$x_{n+1} = r - \left( x_n - r \right) - \frac{p’’(r)}{2p’(r)}(x_n - r)^2 + \cdots$$

ಪುನಃ ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)} (x_n - r) + \cdots \right)$$

$x_n$ ಎಂಬುದು ಬೇರು $r$ ಗೆ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, $(x_n - r)$ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಟೇಲರ್ ಶ್ರೇಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಬಹುದು:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ಇದು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಸೂತ್ರದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್‌ನಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗಿದೆ.

ಧ್ವನಿಯ ವೇಗಕ್ಕಾಗಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಉಷ್ಣ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗಾಗಿ ಅನಿಲದಲ್ಲಿ ಧ್ವನಿಯ ವೇಗವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1816 ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಿದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಯರ್-ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಹಿನ್ನೆಲೆ#

ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಧ್ವನಿಯ ವೇಗವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$

ಇಲ್ಲಿ:

• $c$ ಎಂಬುದು ಮೀಟರ್ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡ್ (ಮೀ/ಸೆ) ನಲ್ಲಿ ಧ್ವನಿಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ
• $K$ ಎಂಬುದು ಪಾಸ್ಕಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (Pa) ದ್ರವದ ಬೃಹತ್ ಮಾಪಾಂಕವಾಗಿದೆ
• $\rho$ ಎಂಬುದು ಕಿಲೋಗ್ರಾಂ ಪ್ರತಿ ಘನ ಮೀಟರ್ (ಕೆಜಿ/ಮೀ³) ನಲ್ಲಿ ದ್ರವದ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ

ಬೃಹತ್ ಮಾಪಾಂಕವು ದ್ರವದ ಸಂಕೋಚನದ ಪ್ರತಿರೋಧದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಪ್ರತಿ ಘನ ಘಟಕದ ದ್ರವದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಸಂಕೋಚನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಿಹೊಂದಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣವು:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}\left(1 + \frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}\right)}$$

ಇಲ್ಲಿ:

$\mu$ ಎಂಬುದು ಪಾಸ್ಕಲ್-ಸೆಕೆಂಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (Pa·s) ದ್ರವದ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ

ಪದ $\frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}$ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣ ವಾಹಕತೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗಾಗಿ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ-ವೇಗದ ಹರಿವುಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಉಷ್ಣ ಮತ್ತು ಸ್ನಿಗ್ಧ ಪರಿಣಾಮಗಳು ನಗಣ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿರಬಹುದು.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ದ್ರವಗಳಲ್ಲಿ ಧ್ವನಿಯ ವೇಗವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಊಹಿಸಲು ಒಂದು ಬೆಲೆಬಾಳುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಧ್ವನಿಯ ವೇಗಕ್ಕೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳ ತಿದ್ದುಪಡಿಯಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ಅನ್ವಯ#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು ಇತರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು 18ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಯರ್-ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಅನುಕ್ರಮ ನಿಯಮ#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್‌ನ ಅನುಕ್ರಮ ನಿಯಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ನಿಯಮವು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹಿಂದೆ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 10 ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮಲಾಗಿದ್ದು ಅದು 5 ಬಾರಿ ಹೆಡ್ ಬಂದಿದ್ದರೆ, ಮುಂದಿನ ಚಿಮ್ಮುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಾಣ್ಯವು ಹೆಡ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇನ್ನೂ 0.5 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಣ್ಣ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗಾಗಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ#

ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಅನುಕ್ರಮ ನಿಯಮವು ತಪ್ಪು ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು ಇತರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಕೇವಲ ಎರಡು ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮಲಾಗಿದ್ದು ಎರಡೂ ಬಾರಿ ಹೆಡ್ ಬಂದಿದ್ದರೆ, ಮುಂದಿನ ಚಿಮ್ಮುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಾಣ್ಯವು ಹೆಡ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 2/2 = 1 ಅಲ್ಲ. ಆದರೆ, ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಾಣ್ಯವು ಟೇಲ್ ಬರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಹಿಂದೆ ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 1 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 1 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು ಇತರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮಲಾಗಿದ್ದು ಎರಡೂ ಬಾರಿ ಹೆಡ್ ಬಂದಿದ್ದರೆ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಮುಂದಿನ ಚಿಮ್ಮುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಾಣ್ಯವು ಹೆಡ್ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು (2 + 1)/(2 + 2) = 3/4 ಗೆ ಸರಿಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಾಣ್ಯವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ಇತರ ಅನ್ವಯಗಳು#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಇತರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

• ಬೇಯ್ಸಿಯನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು: ಬೇಯ್ಸಿಯನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ಮುಂಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮುಂಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಖಚಿತತೆಯಿಂದ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು.
• ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ: ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕಾ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿಯಮಿತಗೊಳಿಸಲು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಮಾದರಿಗಳು ಡೇಟಾವನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ತಡೆಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು.
• ನಿರ್ಧಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತ: ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಖಚಿತತೆಯಿಂದ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳು ಇತರಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅಂಕಿಅಂಶ ಮತ್ತು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಬೆಲೆಬಾಳುವ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ದ್ವಿಪದಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಬಳಸುವ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜಿಗೆ ನಿರಂತರತಾ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1#

ನಾವು $n = 10$ ಮತ್ತು $p = 0.5$ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ 5 ಯಶಸ್ಸುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.

ದ್ವಿಪದಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$P(X = x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$$

ಇಲ್ಲಿ $X$ ಎಂಬುದು ಯಶಸ್ಸುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರವಾಗಿದೆ, $\mu = np$ ಎಂಬುದು ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ ಎಂಬುದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು $\mu = 10(0.5) = 5$ ಮತ್ತು $\sigma = \sqrt{10(0.5)(0.5)} = 1.5811$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಖರವಾಗಿ 5 ಯಶಸ್ಸುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜು:

$$P(X = 5) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}(1.5811)} e^{-(5-5)^2/(2(1.5811)^2)} = 0.3829$$

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಖರವಾಗಿ 5 ಯಶಸ್ಸುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿಖರ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5 = 0.2461$$

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜು ಬಹಳ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದಿ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 2#

ಈಗ, $n = 100$ ಮತ್ತು $p = 0.5$ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಾವು 45 ಮತ್ತು 55 ಯಶಸ್ಸುಗಳ ನಡುವೆ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.

ದ್ವಿಪದಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$P(a < X < b) = \int_a^b \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} dx$$

ಇಲ್ಲಿ $X$ ಎಂಬುದು ಯಶಸ್ಸುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರವಾಗಿದೆ, $\mu = np$ ಎಂಬುದು ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ ಎಂಬುದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು $\mu = 100(0.5) = 50$ ಮತ್ತು $\sigma = \sqrt{100(0.5)(0.5)} = 5$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 45 ಮತ್ತು 55 ಯಶಸ್ಸುಗಳ ನಡುವೆ ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜು:

$$P(45 < X < 55) = \int_{45}^{55} \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-(x-50)^2/2(5)^2} dx = 0.6826$$

45 ಮತ್ತು 55 ಯಶಸ್ಸುಗಳ ನಡುವೆ ಪಡೆಯುವ ನಿಖರ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

$$P(45 < X < 55) = \sum_{x=46}^{54} \binom{100}{x}(0.5)^x(0.5)^{100-x} = 0.6915$$

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದಿ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ದ್ವಿಪದಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂದಾಜು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ, ಮತ್ತು ಇದು ಕೆಲವು ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ FAQs#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಎಂದರೇನು?#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯು ಪಕ್ಷಪಾತಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಜವಾದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 18ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಯರ್-ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ?#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯನ್ನು ಹೊರಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಪಕ್ಷಪಾತವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೊರಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಉಳಿದ ಡೇಟಾದಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ?#

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಡೇಟಾಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಮೊತ್ತದ ಶಬ್ದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಶಬ್ದವು ಡೇಟಾವನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸೇರಿಸಲಾದ ಶಬ್ದದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮುಂಚಿನ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ನಿಖರತೆಯ ಮಟ್ಟದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ತಿದ#