ಪಿವೈಕ್ಯೂ ನೀಟ್- ಆವರ್ತನ ಚಲನೆ ಎಲ್-1

ಪ್ರಶ್ನೆ: ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $M$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ $R$ ಇರುವ ಒಂದು ಘನ ಗೋಳದ ತನ್ನದೇ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಿನ ತಿರುಗಣೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅನುಪಾತವು, ಅದೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ತೆಳು ಟೊಳ್ಳು ಗೋಳದ ಅದರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಿನ ತಿರುಗಣೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ :-#

A) $5: 3$

B) $2: 5$

C) $\sqrt{5}: \sqrt{3}$

D) $\sqrt{3}: \sqrt{5}$

ಉತ್ತರ: $\sqrt{3}: \sqrt{5}$#

ಪರಿಹಾರ:#

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಒಂದು ಘನ ಗೋಳದ $\left(\mathrm{K}_1\right)$ ತಿರುಗಣೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅದೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $M$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ $R$ ಇರುವ ತೆಳು ಟೊಳ್ಳು ಗೋಳದ $\left(\mathrm{K}_2\right)$ ತಿರುಗಣೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಒಂದು ಘನ ಗೋಳದ ತನ್ನದೇ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಿನ ಜಡತ್ವದ ಭ್ರಮಣಾಂಕ (I) ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ : $$ I_{\text {solid }}=\frac{2}{5} M R^2 $$

ತಿರುಗಣೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ $(\mathrm{K})$ ಅನ್ನು ಜಡತ್ವದ ಭ್ರಮಣಾಂಕ $(\mathrm{I})$ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ $(\mathrm{M})$ ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ : $$ I=M K^2 $$

ಆದ್ದರಿಂದ ಘನ ಗೋಳಕ್ಕೆ, ನಾವು $\mathrm{K}1$ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು : $$ \begin{aligned} & K_1^2=\frac{I{\text {solid }}}{M}=\frac{2}{5} R^2 \ & K_1=R \sqrt{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

ಈಗ, ಒಂದು ತೆಳು ಟೊಳ್ಳು ಗೋಳಕ್ಕೆ, ಅದರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಿನ ಜಡತ್ವದ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ : $$ I_{\text {hollow }}=\frac{2}{3} M R^2 $$

ನಾವು $\mathrm{K}2$ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು : $$ K_2^2=\frac{I{\text {hollow }}}{M}=\frac{2}{3} R^2 $$ $$ K_2=R \sqrt{\frac{2}{3}} $$

ಈಗ, ನಾವು ಅನುಪಾತ $K_1: K_2$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{R \sqrt{\frac{2}{5}}}{R \sqrt{\frac{2}{3}}} $$

R ಪದಗಳು ರದ್ದಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} $$

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸರಳೀಕರಿಸಿ : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{5} \sqrt{2}} $$

ಈಗ, 2 ರ ವರ್ಗಮೂಲದ ಪದಗಳು ರದ್ದಾಗುತ್ತವೆ, ನಮಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $$