ಅಧ್ಯಾಯ 05 ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು

5.1 ಪರಿಚಯ

ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=$ ಬಾಹು $\times$ ಬಾಹು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ ‘ಬಾಹು’ ಎಂದರೆ ‘ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ’). ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ.

4, 9, 25, 64 ಮತ್ತು ಇತರ ಹಾಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಶೇಷತೆ ಏನು?

4 ಅನ್ನು $2 \times 2=2^{2}, 9$ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, 9 ಅನ್ನು $3 \times 3=3^{2}$ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

$1,4,9,16,25, \ldots$ ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $m$ ಅನ್ನು $n^{2}$ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಇಲ್ಲಿ $n$ ಕೂಡ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ $m$ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. 32 ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ?

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $5^{2}=25$ ಮತ್ತು $6^{2}=36$. 32 ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು 5 ಮತ್ತು 6 ರ ನಡುವಿನ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದರೆ 5 ಮತ್ತು 6 ರ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ 32 ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ, 1 ಮತ್ತು 100 ರ ನಡುವಿನ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದೇ? 100 ರವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಳಿದಿವೆಯೇ?

ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ.

$1,4,9,16 \ldots$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ನಡುವೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) 30 ಮತ್ತು 40 (ii) 50 ಮತ್ತು 60

5.2 ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು 1 ರಿಂದ 20 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂತ್ಯದ ಅಂಕೆಗಳು (ಅಂದರೆ, ಏಕಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳು) ಯಾವುವು? ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಏಕಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ $0,1,4,5,6$ ಅಥವಾ 9 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಏಕಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 2, 3, 7 ಅಥವಾ 8 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು $0,1,4,5,6$ ಅಥವಾ 9 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಂಡರೆ, ಅದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ? ಈ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ? ನಮಗೆ ಹೇಗೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ?

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928

(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061

ಅವುಗಳ ಏಕಕ ಅಂಕೆಯನ್ನು ನೋಡಿ ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾದ, ಅವು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವ ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

2. ಅವುಗಳ ಏಕಕ ಅಂಕೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಏಕಕ ಸ್ಥಾನ) ನೋಡಿ ಮಾತ್ರ ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗದ, ಅವು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗದ ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

• ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಎರಡರಲ್ಲೂ ಏಕಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 1

ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂಕೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಅಂಕೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ?

1 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಮುಂದಿನ ಎರಡು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಕಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 1 ಅಥವಾ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು 1 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುವಿರಿ.

• 6 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಏಕಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಅಂಕೆ 6 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು 6 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಂಡಾಗ, ಅದರ ವರ್ಗವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಕಕ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 4 ಅಥವಾ 6 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಕೋಷ್ಟಕ 1) ಇನ್ನಷ್ಟು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ “ಏಕಕ ಅಂಕೆ” ಯಾವುದಾಗಿರುತ್ತದೆ?

(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106

• ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ 3 ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಎಷ್ಟು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ?

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೇವಲ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

• ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ 1 ಅನ್ನು ನೋಡಿ.

ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ/ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಏಕೆ?

(i) 727 $\quad$ (ii) 158 $\quad$ (iii) 269 $\quad$ (iv) 1980

2. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುತ್ತವೆ? (i) 60 (ii) 400

5.3 ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ನಮೂನೆಗಳು

1. ತ್ರಿಕೋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು.

ತ್ರಿಕೋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಬಿಂದು ನಮೂನೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋಣಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ?

ನಾವು ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ತ್ರಿಕೋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಮಗೆ ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

2. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ನಮೂನೆಯಿದೆಯೇ ಎಂದು ಈಗ ನೋಡೋಣ.

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ ಎರಡು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಎರಡು ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು } 1(=1^2) \text{ ಮತ್ತು } 4(=2^2). & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{ಎರಡು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ನಾಲ್ಕು ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು } 4(=2^2) \text{ ಮತ್ತು } 9(3^2) & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ ಎರಡು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ 6 ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{8 ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎರಡು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ } 16(=4^2) \text{ ಮತ್ತು } 25(=5^2) & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ ಮತ್ತು $2^{2}(=4)$ ನಡುವೆ ಎರಡು (ಅಂದರೆ, $2 \times 1$ ) ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2,3 ಇವೆ.

$2^{2}(=4)$ ಮತ್ತು $3^{2}(=9)$ ನಡುವೆ ನಾಲ್ಕು (ಅಂದರೆ, $2 \times 2$ ) ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $5,6,7,8$ ಇವೆ.

ಈಗ, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ ಮತ್ತು $16(=4^{2})$ ನಡುವೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $10,11,12,13,14,15$ ಆಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಆರು ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇದು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ 1 ಕಡಿಮೆ.

ನಮಗೆ $\quad 4^{2}=16$ ಮತ್ತು $5^{2}=25$ ಇದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

16 $(=4^{2})$ ಮತ್ತು $25(=5^{2})$ ನಡುವೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $17,18, \ldots, 24$ ಆಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಎಂಟು ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇದು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ 1 ಕಡಿಮೆ.

$7^{2}$ ಮತ್ತು $6^{2}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. $6^{2}$ ಮತ್ತು $7^{2}$ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದೇ? ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $n$ ಮತ್ತು $(n+1)$ ಅನ್ನು ಯೋಚಿಸಿದರೆ, ಆಗ,

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

$n^{2}$ ಮತ್ತು $(n+1)^{2}$ ನಡುವೆ $2 n$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ 1 ಕಡಿಮೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $2 n$ ಮತ್ತು $n$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ $(n+1)$ ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. $n=5, n=6$ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. $9^{2}$ ಮತ್ತು $10^{2}$ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ? $11^{2}$ ಮತ್ತು $12^{2}$ ನಡುವೆ?

2. ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ವರ್ಗೇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ

(i) $100^{2}$ ಮತ್ತು $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ ಮತ್ತು $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ ಮತ್ತು $1001^{2}$

3. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

$ \begin{matrix} 1 \text{ [ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [ಮೊದಲ ಎರಡು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [ಮೊದಲ ಮೂರು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

ಹೀಗಾಗಿ ಮೊದಲ $n$ ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ $n^{2}$ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಇದನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಿದರೆ, ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು: ‘ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಬೇಕು.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 2, 3, 5, 6, … 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದೇ? ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. 25 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರಿಂದ $1,3,5,7,9, \ldots$ ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಳೆಯಿರಿ

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

ಇದರ ಅರ್ಥ, $25=1+3+5+7+9$. ಹಾಗೆಯೇ, 25 ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ.

ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ 38 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಂತೆ ಮಾಡಿ.

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

38 ಅನ್ನು 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ?

(i) 121

(ii) 55

(iii) 81

(iv) 49

(v) 69 ಹಾಗೆಯೇ, 38 ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಲ್ಲ ಎಂದೂ ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

4. ಅನುಕ್ರಮ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

2. ವಿಲೋಮವೂ ಸಹ ನಿಜವೇ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವೇ? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡಿ.

5. ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

ಹಾಗೆಯೇ $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

ಆದ್ದರಿಂದ, $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

ಅದೇ ರೀತಿ, $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

ಹೀಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

6. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ನಮೂನೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; $1,11,111 \ldots$ ಇತ್ಯಾದಿ. ಅವು ಒಂದು ಸುಂದರ ನಮೂನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ:

ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ನಮೂನೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \\ 67^{2} & =4489 \\ 667^{2} & =444889 \\ 6667^{2} & =44448889 \\ 66667^{2} & =4444488889 \\ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

ಇದು ಏಕೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರಲ್ಲಿಯೇ ಸಂತೋಷ. ಉತ್ತರಗಳು ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಬಂದರೂ ಸಹ ಇಂತಹ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ ಯೋಚಿಸುವುದು ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ನಮೂನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವರ್ಗವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

(i) $111111^{2}$

(ii) $1111111^{2}$

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಮೇಲಿನ ನಮೂನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

(i) $6666667^{2}$ $\quad$ (ii) $66666667^{2}$

ಅಭ್ಯಾಸ 5.1

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಏಕಕ ಅಂಕೆ ಯಾವುದಾಗಿರುತ್ತದೆ?

(i) 81 $\quad$ (ii) 272 $\quad$ (iii) 799 $\quad$ (iv) 3853

(v) 1234 $\quad$ (vi) 26387 $\quad$ (vii) 52698 $\quad$ (viii) 99880

(ix) 12796 $\quad$ (x) 55555

2. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲ. ಕಾರಣ ನೀಡಿ.

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928 $\quad$ (iv) 222222

(v) 64000 $\quad$ (vi) 89722 $\quad$ (vii) 222000 $\quad$ (viii) 505050

3. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ?

(i) 431 $\quad$ (ii) 2826 $\quad$ (iii) 7779 $\quad$ (iv) 82004

4. ಕೆಳಗಿನ ನಮೂನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$$ \begin{align*} 11^{2} & =121 \\ 101^{2} & =10201 \\ 1001^{2} & =1002001 \\ 100001^{2} & =1 \ldots \ldots . .2 . \tag{1}\\ 10000001^{2} & =\ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \end{align*} $$

5. ಕೆಳಗಿನ ನಮೂನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಿ.

$ \begin{aligned} & 11^{2}=121 \\ & 101^{2}=10201 \\ & 10101^{2}=102030201 \\ & 1010101^{2}= \\ & .^{2}=10203040504030201 \end{aligned} $

6. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಮೂನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$

$2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$

$3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$

$4^{2}+5^{2}+{ }^{2}=21^{2}$

$5^{2}+{ }^{2}+30^{2}=31^{2}$

$6^{2}+7^{2}++ _{-}^{2}=-^{2}$

ನಮೂನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು

ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಹೇಗೆ?

ನಾಲ್ಕನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಹೇಗೆ?

7. ಸೇರಿಸದೆ, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) $1+3+5+7+9$

(ii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

(iii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$

8. (i) 49 ಅನ್ನು 7 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

(ii) 121 ಅನ್ನು 11 ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

9. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ?

(i) 12 ಮತ್ತು 13 $\quad$ (ii) 25 ಮತ್ತು 26 $\quad$ (iii) 99 ಮತ್ತು 100

5.4 ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

$3,4,5,6,7, \ldots$ ಇತ್ಯಾದಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ನಾವು 23 ರ ವರ್ಗವನ್ನು ಅಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?