ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು

ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು

ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳಿಗೆ 5-7 ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ:

ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳು

10 ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹುಯಾಚಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

Q1. (x+4)² = 49 ಆದರೆ, x ನ ಮೌಲ್ಯ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 3 B) -11 C) 3 ಅಥವಾ -11 D) 7 ಅಥವಾ -7

ಉತ್ತರ: C) 3 ಅಥವಾ -11

ಪರಿಹಾರ: (x+4)² = 49 ವರ್ಗಮೂಲ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು: x+4 = ±7 ಪರಿಸ್ಥಿತಿ 1: x+4 = 7 → x = 3 ಪರಿಸ್ಥಿತಿ 2: x+4 = -7 → x = -11

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ನೆನಪಿಡಿ √49 = ±7 (ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ)

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ವರ್ಗಮೂಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು

Q2. ಅಪವರ್ತನೀಕರಿಸಿ: x² - 9 A) (x-3)² B) (x+3)² C) (x+3)(x-3) D) (x-9)(x+1)

ಉತ್ತರ: C) (x+3)(x-3)

ಪರಿಹಾರ: ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ: a² - b² = (a+b)(a-b) ಇಲ್ಲಿ, x² - 9 = x² - 3² = (x+3)(x-3)

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವಾಗಲೂ (ಮೊತ್ತ)(ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಆಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಕರಿಸುತ್ತದೆ

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ

Q3. ಒಂದು ರೈಲು (x+20) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂಟೆ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು 300 ಕಿ.ಮೀ. ದೂರವನ್ನು 5 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದರೆ, x ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70

ಉತ್ತರ: A) 40

ಪರಿಹಾರ: ವೇಗ = ದೂರ/ಸಮಯ x+20 = 300/5 = 60 x = 60-20 = 40

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ವೇಗ-ದೂರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

Q4. x + 1/x = 5 ಆದರೆ, x² + 1/x² ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 23 B) 25 C) 27 D) 29

ಉತ್ತರ: A) 23

ಪರಿಹಾರ: ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ: (x + 1/x)² = 5² x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 25 x² + 2 + 1/x² = 25 x² + 1/x² = 25-2 = 23

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ನೆನಪಿಡಿ (a+b)² = a² + 2ab + b²

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳು

Q5. ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 84 ಆಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 41 B) 43 C) 45 D) 47

ಉತ್ತರ: B) 43

ಪರಿಹಾರ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x ಮತ್ತು x+2 ಆಗಿರಲಿ x + (x+2) = 84 2x + 2 = 84 2x = 82 x = 41 ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ = 41+2 = 43

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

Q6. (3x-2)(2x+5) = ax² + bx + c ಆದರೆ, a+b+c ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 25 B) 30 C) 35 D) 40

ಉತ್ತರ: C) 35

ಪರಿಹಾರ: (3x-2)(2x+5) = 6x² + 15x - 4x - 10 = 6x² + 11x - 10 ಆದ್ದರಿಂದ: a=6, b=11, c=-10 a+b+c = 6+11-10 = 7

ಸರಿಪಡಿಸುವಿಕೆ: ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ a+b+c = 6+11+(-10) = 7 ಉತ್ತರ ಇರಬೇಕು: ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಅಲ್ಲ (7)

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ

Q7. 200 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಒಂದು ಪ್ಲಾಟ್ಫಾರ್ಮ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೈಲುಗಳಿವೆ. ರೈಲು A (x ಮೀಟರ್) ಮತ್ತು ರೈಲು B (x+50 ಮೀಟರ್). ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ 550 ಮೀಟರ್ ಆದರೆ, x ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 200 B) 250 C) 300 D) 350

ಉತ್ತರ: B) 250

ಪರಿಹಾರ: x + (x+50) = 550 2x + 50 = 550 2x = 500 x = 250

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ರೈಲು ಉದ್ದದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

Q8. x² - 5x + 6 = 0 ಮತ್ತು y² - 5y + 6 = 0 ಆಗಿದ್ದು, x ≠ y ಆದರೆ, x+y ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

ಉತ್ತರ: A) 5

ಪರಿಹಾರ: ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ: x² - 5x + 6 = 0 ಅಪವರ್ತನೀಕರಿಸಿ: (x-2)(x-3) = 0 ಆದ್ದರಿಂದ: x = 2 ಅಥವಾ 3, y = 2 ಅಥವಾ 3 x ≠ y ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ x=2, y=3 ಅಥವಾ x=3, y=2 ಇರುತ್ತದೆ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ: x+y = 5

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು

Q9. (x+y)² = 36 ಮತ್ತು xy = 8 ಆದರೆ, x² + y² ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 20 B) 28 C) 36 D) 44

ಉತ್ತರ: B) 20

ಪರಿಹಾರ: (x+y)² = x² + 2xy + y² = 36 xy = 8 ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 2xy = 16 x² + y² + 16 = 36 x² + y² = 36-16 = 20

ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: x² + y² = (x+y)² - 2xy

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಾನತೆಗಳ ಅನ್ವಯ

Q10. ಮಂಜಿನಿಂದಾಗಿ ಒಂದು ರೈಲಿನ ವೇಗವು ಗಂಟೆಗೆ 10 ಕಿ.ಮೀ. ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. 270 ಕಿ.ಮೀ. ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಲು 3 ಗಂಟೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. A) 45 B) 50 C) 55 D) 60

ಉತ್ತರ: A) 45

ಪರಿಹಾರ: ಮೂಲ ವೇಗ = x ಕಿ.ಮೀ./ಗಂಟೆ ಆಗಿರಲಿ ಮೂಲ ಸಮಯ = 270/x ಗಂಟೆಗಳು ಹೊಸ ವೇಗ = (x-10) ಕಿ.ಮೀ./ಗಂಟೆ ಹೊಸ ಸಮಯ = 270/(x-10) ಗಂಟೆಗಳು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: 270/(x-10) - 270/x = 3 ಬಿಡಿಸುವುದು: 270x - 270(x-10) = 3x(x-10) 2700 = 3x² - 30x x² - 10x - 900 = 0 (x-45)(x+40) = 0 x = 45 (ವೇಗ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ)

ಪರಿಕಲ್ಪನೆ: ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು - ಸಮಯ-ವೇಗ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು

5 ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

PYQ 1. a+b = 10 ಮತ್ತು a-b = 4 ಆದರೆ, a² + b² ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ RRB NTPC 2021 CBT-1

ಉತ್ತರ: 58

ಪರಿಹಾರ: a+b = 10 ಮತ್ತು a-b = 4 ರಿಂದ: ಕೂಡಿಸಿ: 2a = 14 → a = 7 ಕಳೆಯಿರಿ: 2b = 6 → b = 3 a² + b² = 7² + 3² = 49 + 9 = 58

ಪರ್ಯಾಯ: a² + b² = ½[(a+b)² + (a-b)²] = ½[100 + 16] = 58

ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ a² + b² ಗಾಗಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ

PYQ 2. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಕರಿಸಿ: 4x² - 25 RRB Group D 2022

ಉತ್ತರ: (2x+5)(2x-5)

ಪರಿಹಾರ: 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x+5)(2x-5)

ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿ

PYQ 3. x + 1/x = 3 ಆದರೆ, x³ + 1/x³ ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ RRB ALP 2018

ಉತ್ತರ: 18

ಪರಿಹಾರ: ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ: a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x)(1/x)(x + 1/x) = 3³ - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18

ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: (a+b) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ a³ + b³ ಗಾಗಿರುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ

PYQ 4. ಬಿಡಿಸಿ: 3(x-2) + 5 = 2(x+1) - 1 RRB JE 2019

ಉತ್ತರ: x = 2

ಪರಿಹಾರ: 3x - 6 + 5 = 2x + 2 - 1 3x - 1 = 2x + 1 3x - 2x = 1 + 1 x = 2

ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: ಯಾವಾಗಲೂ ಮೊದಲು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ನಂತರ ಸಮಾನ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ

PYQ 5. ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ 168 ಆಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. RPF SI 2019

ಉತ್ತರ: 26

ಪರಿಹಾರ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x ಮತ್ತು x+2 ಆಗಿರಲಿ x(x+2) = 168 x² + 2x - 168 = 0 (x+14)(x-12) = 0 x = 12 (ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 12 ಮತ್ತು 14 ಮೊತ್ತ = 12 + 14 = 26

ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಲಹೆ: ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬೇರುಗಳೆರಡನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿ

ವೇಗದ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು

ತಪ್ಪು ಮಾಡದಿರಲು ಎಚ್ಚರಿಕೆಗಳು

ತ್ವರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಫ್ಲ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಡ್ಗಳು

ವಿಷಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು

ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಾಂಶಗಳು ಇತರ ಆರ್.ಆರ್.ಬಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ:

• ನೇರ ಸಂಪರ್ಕ: ಸರಳೀಕರಣ - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
• ನೇರ ಸಂಪರ್ಕ: ಸಂಖ್ಯಾ ಪದ್ಧತಿ - ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ
• ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು: ಬೀಜಗಣಿತ + ಲಾಭ ಮತ್ತು ನಷ್ಟ - ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಚ್ಚದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
• ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು: ಬೀಜಗಣಿತ + ಸಮಯ ಮತ್ತು ಕೆಲಸ - ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಲಸದ ದರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು
• ಆಧಾರ: ಸುಧಾರಿತ ಬೀಜಗಣಿತ - ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಶ್ರೇಢಿಗಳು ಈ ಮೂಲಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿವೆ
• ಆಧಾರ: ದತ್ತಾಂಶ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ - ನೀಡಲಾದ ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು