3.1 ಪರಿಚಯ

ರಮೇಶ್ ಬಳಿ 6 ಗೋಲಿಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸಲು ಅವನು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ, ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗೋಲಿಗಳಿರುವಂತೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸಿ, ಒಟ್ಟು ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾನೆ.

(i) ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 1 ಗೋಲಿ

ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=6$

ಒಟ್ಟು ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $\quad=1 \times 6=6$

(ii) ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 2 ಗೋಲಿಗಳು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=3$

ಒಟ್ಟು ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $\quad=2 \times 3=6$

(iii) ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 3 ಗೋಲಿಗಳು

ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $\quad=2$

ಒಟ್ಟು ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $\quad=3 \times 2=6$

(iv) ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 4 ಗೋಲಿಗಳು ಅಥವಾ 5 ಗೋಲಿಗಳಿರುವ ಯಾವುದೇ ಏರ್ಪಾಟು ಅವನಿಗೆ ತೋಚಲಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉಳಿದ ಏಕೈಕ ಸಾಧ್ಯ ಏರ್ಪಾಟು ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ 6 ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವುದು.

ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $\quad=1$

ಒಟ್ಟು ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=6 \times 1=6$

ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಂದ ರಮೇಶ್ ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆಂದರೆ, 6 ಅನ್ನು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

$ 6=1 \times 6 ; \quad 6=2 \times 3 ; \quad 6=3 \times 2 ; \quad 6=6 \times 1 $

$6=2 \times 3$ ರಿಂದ 2 ಮತ್ತು 3 ಗಳು 6 ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ಮತ್ತು 3 ಗಳು 6 ರ ನಿಖರ ಭಾಜಕಗಳು. ಇತರ ಗುಣಲಬ್ಧ $6=1 \times 6$ ರಿಂದ, 6 ರ ನಿಖರ ಭಾಜಕಗಳು 1 ಮತ್ತು 6 ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ, 1, 2, 3 ಮತ್ತು 6 ಗಳು 6 ರ ನಿಖರ ಭಾಜಕಗಳು. ಇವುಗಳನ್ನು 6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (ಅಂಶಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 18 ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಏರ್ಪಡಿಸಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು 18 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3.2 ಅಪವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳು

ಮೇರಿ 4 ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತಾಳೆ. ಅವಳು 4 ಅನ್ನು 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತಾಳೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ 4

ಶೇಷ 0

$4 = 1 \times 4$

ಭಾಗಲಬ್ಧ 2

ಶೇಷ 0

$4 = 2 \times 2$

ಭಾಗಲಬ್ಧ 1

ಶೇಷ 1

ಭಾಗಲಬ್ಧ 1

ಶೇಷ 0

$ 4=4 \times 1 $

ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಅವಳು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾಳೆ: $4=1 \times 4 ; 4=2 \times 2$; $4=4 \times 1$ ಮತ್ತು 1,2 ಮತ್ತು 4 ಗಳು 4 ರ ನಿಖರ ಭಾಜಕಗಳು ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾಳೆ.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 4 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರ ಭಾಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

4 ರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಪವರ್ತನವು 4 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಆಟ-1 : ಇದು ಎರಡು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, A ಮತ್ತು B, ಆಡುವ ಆಟವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ.

ಇದಕ್ಕೆ 1 ರಿಂದ 50 ರವರೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 50 ಕಾರ್ಡ್ ತುಂಡುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಕಾರ್ಡ್ ಗಳನ್ನು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿ.

ಹಂತಗಳು

(a) ಯಾರು ಮೊದಲು ಆಡುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, A ಅಥವಾ B.

(b) A ಮೊದಲು ಆಡಲಿ. ಅವನು ಮೇಜಿನಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಡ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ತನ್ನ ಬಳಿ ಇಡುತ್ತಾನೆ. A ಯ ಕಾರ್ಡ್ ನಲ್ಲಿ 28 ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

(c) ನಂತರ ಆಟಗಾರ B, A ಯ ಕಾರ್ಡ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಡ್ ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು (ಅಂದರೆ 28), ಅವುಗಳನ್ನು ತನ್ನ ಸಮೀಪದ ಒಂದು ರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತಾನೆ.

(d) ನಂತರ ಆಟಗಾರ B ಮೇಜಿನಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಡ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ತನ್ನ ಬಳಿ ಇಡುತ್ತಾನೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಡ್ ಗಳಿಂದ, A, B ಯ ಕಾರ್ಡ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಡ್ ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. A ಅವುಗಳನ್ನು ತಾನು ಮೊದಲು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಕಾರ್ಡ್ ಮೇಲೆ ಇಡುತ್ತಾನೆ.

(e) ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಡ್ ಗಳು ಉಪಯೋಗವಾಗುವವರೆಗೆ ಆಟ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

(f) A ತಾನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಕಾರ್ಡ್ ಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುತ್ತಾನೆ. B ಕೂಡ ತನ್ನ ಕಾರ್ಡ್ ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಟಗಾರ ಗೆಲ್ಲುವನು.

ಕಾರ್ಡ್ ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಆಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿಸಬಹುದು. ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರೊಂದಿಗೆ ಈ ಆಟವನ್ನು ಆಡಿ. ಗೆಲ್ಲಲು ಯಾವುದಾದರೂ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ನಾವು 20 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು $20=4 \times 5$ ಎಂದು ಬರೆಯುವಾಗ, 4 ಮತ್ತು 5 ಗಳು 20 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. 20 ಎಂಬುದು 4 ಮತ್ತು 5 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

$24=2 \times 12$ ನಿರೂಪಣೆಯು 2 ಮತ್ತು 12 ಗಳು 24 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 24 ಎಂಬುದು 2 ಮತ್ತು 12 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

45, 30 ಮತ್ತು 36 ರ ಸಾಧ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಪವರ್ತನದ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು

ಈಗ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

(a) 3 ಘಟಕಗಳ ಉದ್ದವಿರುವ ಹಲವಾರು ಮರ/ಕಾಗದದ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ.

(b) ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ತುದಿಯಿಂದ ತುದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.

ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದ $3=1 \times 3$ ಘಟಕಗಳು.

ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದ $3+3=6$ ಘಟಕಗಳು. ಹಾಗೆಯೇ, $6=2 \times 3$. ಮುಂದಿನ ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದ $3+3+$ $3=9$ ಘಟಕಗಳು, ಮತ್ತು $9=3 \times 3$. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ ನಾವು ಇತರ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು,

$ 12=4 \times 3 ; \quad 15=5 \times 3 $

$3,6,9,12,15$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 3 ರ ಗುಣಕಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

3 ರ ಗುಣಕಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು $18,21,24, \ldots$ ಎಂದು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಕವು 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

4 ರ ಗುಣಕಗಳು $4,8,12,16,20,24, \ldots$

ಪಟ್ಟಿಯು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ್ದಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು 4 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಪವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಏನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ:

1. ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿ ಬರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆಯೇ? ಹೌದು. ಅದು 1. ಉದಾಹರಣೆಗೆ $6=1 \times 6,18=1 \times 18$ ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

$\mathbf{1}$ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

2. 7 ಅದರ ಸ್ವಂತ ಅಪವರ್ತನವಾಗಬಹುದೇ? ಹೌದು. ನೀವು 7 ಅನ್ನು $7=7 \times 1$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. 10 ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಮತ್ತು 15?

ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಸ್ವಂತ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

3. 16 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಯಾವುವು? ಅವು 1, 2, 4, 8, 16. ಈ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ 16 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸದ ಯಾವುದೇ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ? $20 ; 36$ ಗಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಪ್ರತಿ ಅಪವರ್ತನವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

4. 34 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಯಾವುವು? ಅವು 1,2,17 ಮತ್ತು 34 ಸ್ವತಃ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಅಪವರ್ತನ ಯಾವುದು? ಅದು 34 ಸ್ವತಃ.

ಇತರ ಅಪವರ್ತನಗಳು 1, 2 ಮತ್ತು 17 ಗಳು 34 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ. ಇದನ್ನು 64, 81 ಮತ್ತು 56 ಗಳಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಪ್ರತಿ ಅಪವರ್ತನವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

5. 76 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 5 ಅಪವರ್ತನಗಳಿವೆ. 136 ಅಥವಾ 96 ಗೆ ಎಷ್ಟು ಅಪವರ್ತನಗಳಿವೆ? ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 10576, 25642 ಇತ್ಯಾದಿ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಇನ್ನೂ ಎಣಿಸಬಹುದು (ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು).

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

6. 7 ರ ಗುಣಕಗಳು ಯಾವುವು? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $7,14,21,28, \ldots$ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಕವು 7 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಯೇ? 6,9 ಮತ್ತು 10 ರ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪ್ರತಿ ಗುಣಕವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

7. 5 ರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅವು $5,10,15,20, \ldots$ ಈ ಪಟ್ಟಿಯು ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಾ? ಇಲ್ಲ! ಪಟ್ಟಿಯು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ್ದಾಗಿದೆ. 6,7 ಇತ್ಯಾದಿ ಗುಣಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

8. 7 ಅದರ ಸ್ವಂತ ಗುಣಕವಾಗಬಹುದೇ? ಹೌದು, ಏಕೆಂದರೆ $7=7 \times 1$. ಇದು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆಯೇ? 3,12 ಮತ್ತು 16 ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಸ್ವಂತ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು $1,2,3$ ಮತ್ತು 6. ಹಾಗೆಯೇ, $1+2+3+6=12=2 \times 6$. 6 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವು 6 ರ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. 28 ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನಗಳು 1,2, $4,7,14$ ಮತ್ತು 28. ಇವುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ, $1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$.

28 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವು 28 ರ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 6 ಮತ್ತು 28 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. 10 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ?

ಉದಾಹರಣೆ 1 : 68 ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ

$ \begin{matrix} 68=1 \times 68 \quad \quad & 68=2 \times 34 \\ 68=4 \times 17 \quad \quad & 68=17 \times 4 \end{matrix} $

ಇಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ 4 ಮತ್ತು 17 ಗಳು ಮೊದಲೇ ಸಂಭವಿಸಿವೆ.

ಹೀಗೆ, 68 ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನಗಳು 1, 2, 4, 17, 34 ಮತ್ತು 68.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : 36 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ :

$ \begin{array}{lll} 36=1 \times 36 & 36=2 \times 18 & 36=3 \times 12 \\ 36=4 \times 9& 36=6 \times 6 & \end{array} $

ಇಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಅಪವರ್ತನಗಳು (6) ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ. ಹೀಗೆ, ಅಪವರ್ತನಗಳು 1,2, $3,4,6,9,12,18$ ಮತ್ತು 36.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : 6 ರ ಮೊದಲ ಐದು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಕಗಳು: $6 \times 1=6,6 \times 2=12,6 \times 3=18,6 \times 4=24$, $6 \times 5=30$ ಅಂದರೆ $6,12,18,24$ ಮತ್ತು 30.

ಅಭ್ಯಾಸ 3.1

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ :

(a) 24
(b) 15
(c) 21
(d) 27
(e) 12
(f) 20
(g) 18
(h) 23
(i) 36

2. ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಮೊದಲ ಐದು ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ :

(a) 5
(b) 8
(c) 9

3. ನಿಲು 1 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿಲು 2 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿ.

ನಿಲು1 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ ನಿಲು2

(i) 35 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (a) 8 ರ ಗುಣಕ
(ii) 15 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) 7 ರ ಗುಣಕ
(iii) 16 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (c) 70 ರ ಗುಣಕ
(iv) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (d) 30 ರ ಅಪವರ್ತನ
(v) 25 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (e) 50 ರ ಅಪವರ್ತನ
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (f) (f) 20 ರ ಅಪವರ್ತನ

4. 100 ರವರೆಗಿನ 9 ರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3.3 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (a) ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಪವರ್ತನವಿದೆ (ಅಂದರೆ ಸ್ವತಃ).

(b) ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಅಪವರ್ತನಗಳು 1 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸ್ವತಃ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2, 3, 5, 7, 11 ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

1 ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಏಕೈಕ ಅಪವರ್ತನಗಳು 1 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸ್ವತಃ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

(c) 4, 6, 8, 9, 10 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

1 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ.

ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

15 ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? ಏಕೆ? 18 ಬಗ್ಗೆ ಏನು? 25?

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸದೆ, ನಾವು ಸುಲಭವಾದ ವಿಧಾನದಿಂದ 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೂರನೇ ಶತಮಾನ B.C. ನಲ್ಲಿ

ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎರಾಟೊಸ್ತನೀಸ್ ನೀಡಿದರು. ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

ಹಂತ 1 : 1 ಅನ್ನು ದಾಟಿಹಾಕಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ.

ಹಂತ 2 : 2 ಅನ್ನು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿ, 2 ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು 2 ರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ದಾಟಿಹಾಕಿ, ಅಂದರೆ 4, 6, 8 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಹಂತ 3 : ಮುಂದಿನ ದಾಟಿಹಾಕದ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ. 3 ಅನ್ನು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು 3 ರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ದಾಟಿಹಾಕಿ.

ಹಂತ 4 : ಮುಂದಿನ ದಾಟಿಹಾಕದ ಸಂಖ್ಯೆ 5. 5 ಅನ್ನು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು 5 ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು 5 ರ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ದಾಟಿಹಾಕಿ.

ಹಂತ 5 : ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸೇರಲ್ಪಟ್ಟವು ಅಥವಾ ದಾಟಿಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟವು ಆಗುವವರೆಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ.

ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸೇರಲ್ಪಟ್ಟ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ದಾಟಿಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, 1 ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಎರಾಟೊಸ್ತನೀಸ್ ಜರಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

$2 \times 3+1=7$ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ, 2 ರ ಗುಣಕಕ್ಕೆ 1 ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ?

ಉದಾಹರಣೆ 4 : 15 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಜರಡಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 2,3, 5, 7, 11 ಮತ್ತು 13 ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

$2,4,6,8,10,12,14, \ldots$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಾ? ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 2 ರ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $1,3,5,7,9,11, \ldots$ ಅನ್ನು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಮೂರು ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. 756482 ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಹೇಗೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ? ಅದನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಅದು ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲವೇ?

ಒಂದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ $0,2,4,6,8$ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 350, 4862, 59246 ಗಳು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. $457,2359,8231$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲವೂ ಬೆಸ. ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

(a) ಚಿಕ್ಕ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಅದು 2. ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಅದು ಮತ್ತೆ 2.

ಹೀಗೆ, 2 ಎಂಬುದು ಸಮವಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ.

(b) ಇತರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ⟦