12.1 ಪರಿಚಯ

ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಮತ್ತು ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಲಾವಿದರು, ವೃತ್ತಿಪರರು, ಬಟ್ಟೆ ಅಥವಾ ಆಭರಣಗಳ ವಿನ್ಯಾಸಕರು, ಕಾರು ತಯಾರಕರು, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಗಳು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕರು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಜೇನುಗೂಡುಗಳು, ಹೂವುಗಳು, ಮರದ ಎಲೆಗಳು, ಧಾರ್ಮಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ರಗ್ಗುಗಳು ಮತ್ತು ರುಮಾಲುಗಳು ಎಲ್ಲೆಡೆ ನೀವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ರೇಖಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ‘ಅನುಭವ’ ಪಡೆದಿದ್ದೀರಿ.

ಒಂದು ಆಕೃತಿಯು ರೇಖಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಮಡಚಿದಾಗ ಆಕೃತಿಯ ಎರಡು ಭಾಗಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ನೀವು ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಇಷ್ಟಪಡಬಹುದು. ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಿವೆ.

ನೀವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು (ಅಕ್ಷಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ಗುರುತಿಸುವುದನ್ನು ಆನಂದಿಸಿ.

ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಬಲಪಡಿಸೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. [ಚಿತ್ರ 12.1 (i) ರಿಂದ (iv)]

12.2 ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳು

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಹಲವಾರು ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯೆಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. (ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಇದೆಯೇ? ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ).

ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನ ಅಳತೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ಮೂರು ಬದಿಗಳ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೀವು ಹೆಸರಿಸಬಹುದೇ?

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನವು $60^{\circ}$ ಅಳತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 12.2).

ಚಿತ್ರ 12.2

ಚೌಕವೂ ಸಹ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, $90^{\circ}$ ). ಅದರ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 12.3).

ಚಿತ್ರ 12.3

ಒಂದು ಪಂಚಭುಜವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಅದರ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ನೀವು ನಂತರ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನದ ಅಳತೆಯು $108^{\circ}$ ಎಂದು ಕಲಿಯುವಿರಿ (ಚಿತ್ರ 12.4).

ಚಿತ್ರ 12.4

ಚಿತ್ರ 12.5

ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಷಡ್ಭುಜವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನವು $120^{\circ}$ ಅಳತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನೀವು ಈ ಆಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ನಂತರ ಕಲಿಯುವಿರಿ (ಚಿತ್ರ 12.5).

ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿವೆ,

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಅದರ ಬದಿಗಳಿರುವಷ್ಟು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ [ಚಿತ್ರ 12.6 (i) - (iv)]. ನಾವು ಹೇಳುವಂತೆ, ಅವುಗಳು ಬಹು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಬಹುಶಃ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಕಾಗದ ಮಡಚುವ ಮೂಲಕ ತನಿಖೆ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡಬಹುದು. ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ!

ರೇಖಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಆಕಾರವು ರೇಖಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅರ್ಧ ಭಾಗವು ಇನ್ನರ್ಧದ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದ್ದಾಗ (ಚಿತ್ರ 12.7). ಹೀಗೆ, ಒಂದು ಕನ್ನಡಿ ರೇಖೆಯು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 12.8).

ಆಕಾರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ!

ಈ ಪಂಚಿಂಗ್ ಆಟವನ್ನು ಆಡಿ!

ಮಡಿಕೆಯು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಅಕ್ಷ). ಮಡಚಿದ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಪಂಚ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ (ಚಿತ್ರ 12.10).

ಅಭ್ಯಾಸ 12.1

1. ಪಂಚ್ ಮಾಡಿದ ರಂಧ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆ(ಗಳನ್ನು) ನೀಡಿದರೆ, ಇತರ ರಂಧ್ರ(ಗಳನ್ನು) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

3. ಕೆಳಗಿನ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕನ್ನಡಿ ರೇಖೆ (ಅಂದರೆ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆ) ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಚುಕ್ಕೆಗಳ (ಕನ್ನಡಿ) ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ. (ಬಹುಶಃ ನೀವು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕನ್ನಡಿಯನ್ನು ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಕ್ಕಾಗಿ ಕನ್ನಡಿಯೊಳಗೆ ನೋಡಬಹುದು). ನೀವು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಆಕೃತಿಯ ಹೆಸರನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆಯೇ?

4. ಕೆಳಗಿನ ಆಕೃತಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅಂತಹ ಆಕೃತಿಗಳು ಬಹು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ಗುರುತಿಸಿ:

5. ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಿ.

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಕರ್ಣವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೆಲವು ಚೌಕಗಳನ್ನು ನೆರಳು ಮಾಡಿ, ಆಕೃತಿಯು ಕರ್ಣದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವಂತೆ ಮಾಡಿ. ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆಯೇ? ಆಕೃತಿಯು ಎರಡೂ ಕರ್ಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆಯೇ?

6. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕಾರವನ್ನು ಕನ್ನಡಿ ರೇಖೆ(ಗಳ) ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗುವಂತೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

7. ಕೆಳಗಿನ ಆಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸಿ:

(ಎ) ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

(ಬಿ) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

(ಸಿ) ಅಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

(ಡಿ) ಚೌಕ

(ಇ) ಆಯತ

(ಎಫ್) ಸಮಚತುರ್ಭುಜ

(ಜಿ) ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ

(ಹೆಚ್) ಚತುರ್ಭುಜ

(ಐ) ನಿಯಮಿತ ಷಡ್ಭುಜ

(ಜೆ) ವೃತ್ತ

8. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಯಾವ ಅಕ್ಷರಗಳು ಪ್ರತಿಬಿಂಬ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಅಂದರೆ, ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮ್ಮಿತಿ)

(ಎ) ಲಂಬ ಕನ್ನಡಿ

(ಬಿ) ಅಡ್ಡ ಕನ್ನಡಿ

(ಸಿ) ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಎರಡೂ ಕನ್ನಡಿಗಳು

9. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆ ಇಲ್ಲದ ಆಕಾರಗಳ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

10. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗೆ ನೀವು ಬೇರೆ ಯಾವ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಬಹುದು

(ಎ) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ?

(ಬಿ) ವೃತ್ತಕ್ಕೆ?

12.3 ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿ

ಗಡಿಯಾರದ ಮುಳ್ಳುಗಳು ಸುತ್ತುವಾಗ ನೀವು ಏನು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ?

ಅವುಗಳು ತಿರುಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ. ಗಡಿಯಾರದ ಮುಳ್ಳುಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ, ಗಡಿಯಾರ-ಮುಖದ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತವೆ.

ಗಡಿಯಾರದ ಮುಳ್ಳುಗಳ ಚಲನೆಯಂತೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೀಲಿಂಗ್ ಫ್ಯಾನ್ನ ಬ್ಲೇಡ್ಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಅವು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ಅಥವಾ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ತಿರುಗುತ್ತವೆಯೇ? ಅಥವಾ ಅವು ಎರಡೂ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತವೆಯೇ?

ನೀವು ಸೈಕಲ್ನ ಚಕ್ರವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡೂ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿರುಗಬಹುದು: ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ಮತ್ತು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ಎರಡೂ. (i) ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು (ii) ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

ಒಂದು ವಸ್ತು ತಿರುಗಿದಾಗ, ಅದರ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ವಸ್ತುವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಗಡಿಯಾರದ ಮುಳ್ಳುಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಯಾವುದು? ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 12.11

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ಕೋನವನ್ನು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದರೆ $360^{\circ}$ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. (i) ಅರ್ಧ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ? (ii) ಕಾಲು ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ ಏನು?

ಅರ್ಧ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದರೆ $180^{\circ}$ ತಿರುಗುವಿಕೆ; ಕಾಲು ತಿರುಗುವಿಕೆ ಎಂದರೆ $90^{\circ}$ ತಿರುಗುವಿಕೆ.

12 ಗಂಟೆಯಾಗಿದ್ದಾಗ, ಗಡಿಯಾರದ ಮುಳ್ಳುಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. 3 ಗಂಟೆಯ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ನಿಮಿಷದ ಮುಳ್ಳು ಮೂರು ಪೂರ್ಣ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿರುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ಗಂಟೆಯ ಮುಳ್ಳು ಕೇವಲ ಕಾಲು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಿರುತ್ತದೆ. 6 ಗಂಟೆಯ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

ನೀವು ಎಂದಾದರೂ ಕಾಗದದ ಗಿರಗಟ್ಟೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೀರಾ? ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಕಾಗದದ ಗಿರಗಟ್ಟೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 12.11); ಆದರೆ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಮಡಿಕೆಯು ನಿಮಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅರ್ಧ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ನೀವು ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ $90^{\circ}$ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಗಿರಗಟ್ಟೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಗಿರಗಟ್ಟೆಯು ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 12.12

ಪೂರ್ಣ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಗಿರಗಟ್ಟೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುವ ನಿಖರವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಾನಗಳಿವೆ (ಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ ತಿರುಗುವಿಕೆ $90^{\circ}$, $180^{\circ}, 270^{\circ}$ ಮತ್ತು $360^{\circ}$ ). ಇದರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅದು 4 ಕ್ರಮದ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

$P$ ಅನ್ನು ಅದರ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 12.13).

ಚೌಕದ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಕಾಲು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ, ಇದನ್ನು $\mathbf{x}$ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 12.13 (i) ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ $90^{\circ}$ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಚಿತ್ರ 12.13 (ii) ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ $P$ ನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮತ್ತೆ $90^{\circ}$ ಮೂಲಕ ತಿರುಗಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಚಿತ್ರ 12.13 (iii) ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನೀವು ನಾಲ್ಕು ಕಾಲು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದಾಗ, ಚೌಕವು ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಇದು ಈಗ ಚಿತ್ರ 12.13 (i) ನಂತೆಯೇ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು $P$ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸ್ಥಾನಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೋಡಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ ಚೌಕವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಬಗ್ಗೆ $\mathbf{4}$ ಕ್ರಮದ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ,

(i) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು ಚೌಕದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

(ii) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನವು $90^{\circ}$ ಆಗಿದೆ.

(iii) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದಿಕ್ಕು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ಆಗಿದೆ.

(iv) ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮವು 4 ಆಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. (ಎ) ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಈಗ ನೀವು ಹೇಳಬಹುದೇ? (ಚಿತ್ರ 12.14)

(ಬಿ) ತ್ರಿಕೋನವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುವ ಸ್ಥಾನಗಳು ಎಷ್ಟು ಇವೆ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ $120^{\circ}$ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ?

2. ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಆಕಾರಗಳು (ಚಿತ್ರ 12.15) ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಒಂದು-ABCD ಕಾಗದದ ತುಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು A’ B’ C’ D’ ಪಾರದರ್ಶಕ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ. ಅವುಗಳ ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ $O$ ಮತ್ತು $O^{\prime}$ (ಚಿತ್ರ 12.16). $O$ ಮೇಲೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿ, ಅಂದರೆ $A^{\prime}$ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ $A, B^{\prime}$ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ $B$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. $O^{\prime}$ ನಂತರ ಬೀಳುತ್ತದೆ

ಚಿತ್ರ 12.16

$O$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ ಪಿನ್ ಅಂಟಿಸಿ.

ಈಗ ಪಾರದರ್ಶಕ ಆಕಾರವನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿಸಿ.

ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಆಕಾರಗಳು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ?

ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮ ಏನು?

ನಾವು ಪಿನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವು 1 ಕ್ರಮದ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು $360^{\circ}$ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿ) ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹುಟ್ಟಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲೂ ಅನೇಕ ಆಕಾರಗಳಿವೆ, ಅವು ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಚಿತ್ರ 12.17).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಕೆಲವು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ತುಂಡು ಮಾಡಿದಾಗ, ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳು ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕಾರಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯಪಡಿಸಬಹುದು [ಚಿತ್ರ 12.17(i)].

ನಂತರ ಅನೇಕ ರಸ್ತೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿವೆ, ಅವು ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಮುಂದಿನ ಬಾರಿ ನೀವು ಜನನಿಬಿಡ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆದಾಗ, ಅಂತಹ ರಸ್ತೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ [ಚಿತ್ರ 12.17(ii)].

ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿ:

(i) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರ (ii) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ

(iii) ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು

(iv) ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮ.

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

$\times($ (ಚಿತ್ರ 12.17) ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಕೃತಿಗಳ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ 12.2

1. ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಆಕೃತಿಗಳು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕ್ರಮದ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

2. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕೃತಿಗೆ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿ:

12.4 ರೇಖಾ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿ

ನೀವು ಇದುವರೆಗೆ ಅನೇಕ ಆಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಿದ್ದೀರಿ. ಈಗ ನೀವು ಕೆಲವು ಆಕಾರಗಳು ಕೇವಲ ರೇಖಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಕೆಲವು ಕೇವಲ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರೇಖಾ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚೌಕದ ಆಕಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 12.19).

ಅದು ಎಷ್ಟು ರೇಖಾ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

ಅದು ಯಾವುದೇ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ?

‘ಹೌದು’ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮ ಏನು?

ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 12.19

ವೃತ್ತವು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಯಾವುದೇ ಕೋನದಲ್ಲಿ ತಿರುಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದು ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೆಯೂ (ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವ್ಯಾಸವೂ) (ಪ್ರತಿಬಿಂಬ) ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಕ್ಕೂ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಕೆಲವು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳು ಆಕರ್ಷಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಯಾವ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ($\mathbf{E}$ ನಂತೆ)? ಯಾವ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳು 2 ಕ್ರಮದ ಭ್ರಮಣ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (I ನಂತೆ)?

ಅಂತಹ ಸಾಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಯೋಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ: