5.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖಾಕೃತಿಗಳು, ರೇಖಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಣಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಂಡಿರುವ ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಣಗಳನ್ನು ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಹುದೇ? (ಚಿತ್ರ 5.1)

ನೀವು ಕೋಣಗಳು ತೀವ್ರವಾಗಿವೆಯೇ, ದೀರ್ಘವಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಬಲವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದೇ?

ರೇಖಾಂಶವು ಎರಡು ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ರೇಖಾಂಶದ ಎರಡು ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ರೇಖನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು ರೇಖವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇತರಷ್ಟು, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಲ್ಲದ ರೇಖವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ (ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದು). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ:

ಇಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ 5.2 (i) ರೇಖಾಂಶವನ್ನು, ಚಿತ್ರ 5.2 (ii) ರೇಖವನ್ನು ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 5.2 (iii) ಬಿಂದುವಿಲ್ಲದ ರೇಖವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖಾಂಶ $PQ$ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆ $\overline{PQ}$ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ರೇಖ $AB$ ಚಿಹ್ನೆ $\overrightarrow{{}AB}$ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿಲ್ಲದ ರೇಖ OP ಚಿಹ್ನೆ $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೇಖಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿಲ್ಲದ ರೇಖಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಮತ್ತೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ ಕೋಣವು ರೇಖಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖಾಂಶಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕರೆದಾಡಿದಾಗ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 5.1ನಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಕೋನಗಳು ಎರಡು ರೇಖಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖಾಂಶಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡಾಗ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ:

ಚಿತ್ರ 5.3 (i)ನಲ್ಲಿ ರೇಖಾಂಶಗಳು $AB$ ಮತ್ತು $BC$ ಬಿಂದು $B$ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡು ಕೋಣ $A B C$ ಅನ್ನುವುದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದಾರೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ರೇಖಾಂಶಗಳು $B C$ ಮತ್ತು $A C$ ಬಿಂದು $C$ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡು ಕೋಣ $ACB$ ಅನ್ನುವುದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಎಂದರೆ, ಚಿತ್ರ 5.3 (ii)ನಲ್ಲಿ ರೇಖಗಳು $PQ$ ಮತ್ತು $RS$ ಬಿಂದು $O$ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡು ನಾಲ್ವರು ಕೋಣಗಳು POS, SOQ, QOR ಮತ್ತು ROP ಅನ್ನುವುದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಕೋಣ ABC ಚಿಹ್ನೆ $\angle ABC$ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿತ್ರ 5.3 (i)ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಂಡ ಮೂರು ಕೋಣಗಳು $\angle ABC, \angle BCA$ ಮತ್ತು $\angle BAC$, ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 5.3 (ii)ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಂಡ ನಾಲ್ವರು ಕೋಣಗಳು $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ ಮತ್ತು $\angle POR$. ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ

ಈ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಹತ್ತು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ, ದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಬಲ ಕೋಣಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ತೀವ್ರ, ದೀರ್ಘ ಅಥವಾ ಬಲ ಕೋಣವೆಂದು ಕೋಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಣ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ.

ಗಮನಿಸಿ: ಒಂದು ಕೋಣ $ABC$ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವಾಗ, ನಾವು $m \angle ABC$ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ $\angle ABC$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉಲ್ಲೇಖವು ನಾವು ಒಂದು ಕೋಣ ಅಥವಾ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

5.2 ಸಂಬಂಧಿತ ಕೋಣಗಳು

5.2.1 ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಕೋಣಗಳು

ಎರಡು ಕೋಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯು $90^{\circ}$ ಆಗಿರುವಾಗ, ಆ ಕೋಣಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಕೋಣಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಎರಡು ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳು?

ಚಿತ್ರ 5.4

ಇಲ್ಲ: ಎರಡು ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾದಾಗ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಣವೂ ಇಬ್ಬರ ಕೋಣಗಳ ಪೂರಕವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 5.4), ‘$30^{\circ}$ ಕೋಣ’ ಇತರ ಕೋಣ ‘$60^{\circ}$ ಕೋಣ’ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇವುಗಳ ಬದಲು.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಬಹುದೇ?

2. ಎರಡು ದೀರ್ಘ ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಬಹುದೇ?

3. ಎರಡು ಬಲ ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಬಹುದೇ?

ಈ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಜೋಡಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳು? (ಚಿತ್ರ 5.5)

2. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಣಗಳ ಪೂರಕಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಕೋಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $12^{\circ}$. ಆ ಕೋಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5.2.2 ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳು

ಈಗ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು (ಚಿತ್ರ 5.6) ನೋಡೋಣ:

ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿನ ಕೋಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯು $180^{\circ}$ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಾ? ಈ ರೀತಿಯ ಕೋಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾದಾಗ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಣವೂ ಇಬ್ಬರ ಕೋಣಗಳ ಪೂರಕವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಎರಡು ದೀರ್ಘ ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಬಹುದೇ?

2. ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಬಹುದೇ?

3. ಎರಡು ಬಲ ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಬಹುದೇ?

ಈ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

1. ಚಿತ್ರ 5.7ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾದ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಣದ ಪೂರಕವು ಯಾವುದು?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಕೋಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋಣದ ಮೌಲ್ಯವು ಕಡಿಮೆ ಕೋಣದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ $44^{\circ}$ ಹೆಚ್ಚಿದೆ. ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಬಾಕ್ಯ 5.1

1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಣದ ಪೂರಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಣದ ಪೂರಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(iii)

3. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. ಪೂರಕವು ಅದೇ ಆಗಿರುವ ಕೋಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. ಪೂರಕವು ಅದೇ ಆಗಿರುವ ಕೋಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, $\angle 1$ ಮತ್ತು $\angle 2$ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಕೋಣಗಳು.

$\angle 1$ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಎರಡೂ ಕೋಣಗಳು ಇನ್ನೂ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಿರಲು $\angle 2$ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಸಂಭವಿಸಬೇಕು.

7. ಎರಡು ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾಗಬಹುದೇ ಎಂದರೆ, ಅವುಗಳೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಇವುಗಳಂತೆ:

(i) ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆಯೇ?

(ii) ದೀರ್ಘವಾಗಿರುತ್ತವೆಯೇ?

(iii) ಬಲವಾಗಿರುತ್ತವೆಯೇ?

8. ಒಂದು ಕೋಣವು $45^{\circ}$ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪೂರಕ ಕೋಣವು $45^{\circ}$ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ $45^{\circ}$ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ $45^{\circ}$ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದ್ದರೆ?

9. ಖಾಲಿಯನ್ನು ತುಂಬಿರಿ:

(i) ಎರಡು ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾದರೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯು _______

(ii) ಎರಡು ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾದರೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಣಿಯು _______

(iii) ಎರಡು ಸಾಮೀಪ್ಯ ಕೋಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕಗಳಾದರೆ, ಅವುಗಳು _______ ಅನ್ನುವುದನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

10. ಸಂಪರ್ಕಿತ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಹೆಸರು ನೀಡಿ.

(i) ದೀರ್ಘ ಉಲ್ಲಂಘನಾ ಕೋಣಗಳು

(ii) ಸಾಮೀಪ್ಯ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಕೋಣಗಳು

(iii) ಸಮಾನ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಕೋಣಗಳು

(iv) ಅಸಮಾನ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕ ಕೋಣಗಳು

(v) ಸಾಮೀಪ್ಯ ಕೋಣಗಳು ಆಕಾರದ ಜೋಡಿಯನ್ನು ನೀಡದೆ ಇರುವುವು

5.3 ರೇಖಗಳ ಜೋಡಿಗಳು

5.3.1 ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖಗಳು

ಚಿತ್ರ 5.8

ಕಪ್ಪು ಬ್ಯಾಕ್‌ಬೋರ್ಡ್ ಅದರ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡ್, ರೇಖಾಂಶಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾದ ಅಕ್ಷರ Y ಮತ್ತು ಕಿಟಕಿಯ ಗ್ರೆಲ್-ಡೂರ್ (ಚಿತ್ರ 5.8) ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಮಾರ್ಗದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು? ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖಗಳು.

ಎರಡು ರೇಖಗಳು $l$ ಮತ್ತು $m$ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದರೆ ಅವುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ಸಹ ಬಿಂದು $O$ ಅವುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರದ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

ಚಿತ್ರ 5.9ನಲ್ಲಿ, $AC$ ಮತ್ತು $BE$ ಬಿಂದು $P$ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡಿವೆ.

$AC$ ಮತ್ತು $BC$ ಬಿಂದು $C, AC$ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು $EC$ ಬಿಂದು $C$ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡಿವೆ.

ಇನ್ನೂ ಹತ್ತು ಜೋಡಿಗಳ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಎರಡು ರೇಖಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖಾಂಶಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳ್ಳಬೇಕೆ? ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಗಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಬಹುದೇ?

ಎರಡು ರೇಖಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದೇ? ಇದನ್ನು ಯೋಚಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 5.9

ಈ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

1. ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನಲ್ಲಿ ರೇಖಗಳು ಬಲವಾದ ಕೋಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳ್ಳುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಸಮಾನ ಕೋಣದ ತ್ರಿಭುಜದ ತಿರುಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡ ರೇಖಗಳಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಂಡ ಕೋಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮಚತುರ್ಸ್ರವನ್ನು ಅವಲೋಕಿಸಿ ಅದರ ನಾಲ್ವರು ತಿರುಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಂಡ ರೇಖಗಳಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಂಡ ಕೋಣಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಎರಡು ರೇಖಗಳು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳ್ಳಿದರೆ, ಅವುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಲವಾದ ಕೋಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆಯೇ?

5.3.2 ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖ (Transversal)

ನೀವು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೇಖಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ರಸ್ತೆ ಅಥವಾ ರೈಲ್‌ವೇ ರೇಖವು ಇತರ ಕೆಲವು ರೇಖಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿರಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 5.10). ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೇಖಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ರೇಖವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖ ಅಥವಾ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ವರ್ಸಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.11ನಲ್ಲಿ, $p$ ರೇಖಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖವಾಗಿದೆ $l$ ಮತ್ತು $m$.

ಚಿತ್ರ 5.12ನಲ್ಲಿ ರೇಖ $p$ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖವಾಗಿಲ್ಲ, ಅದು ರೇಖಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೂ $l$ ಮತ್ತು $m$. ನೀವು ‘ಏಕೆ’ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದೇ?

5.3.3. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗೊಂಡ ಕೋಣಗಳು

ಚಿತ್ರ 5.13ನಲ್ಲಿ, ನೀವು ರೇಖಗಳು $l$ ಮತ್ತು $m$ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖ $p$ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಕೋಣಗಳ ಎಂಟು ಗುರುತುಗಳು 1 ರಿಂದ 8 ವರೆಗೆ ಅವುಗಳ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಚಿತ್ರ 5.13

ಈ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

1. ಎರಡು ರೇಖಗಳು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅವಲೋಕಿಸಬಹುದು?

2. ಒಂದು ರೇಖವು ಮೂರು ರೇಖಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ?

3. ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಗಮನಿಸಿ: ಸಂಬಂಧಿತ ಕೋಣಗಳು (ಚಿತ್ರ 5.14ನಲ್ಲಿ $\angle 1$ ಮತ್ತು $\angle 5$ ನಂತಹ) ಇವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದು

(i) ವಿಭಿನ್ನ ತಿರುಬಿಂದುಗಳನ್ನು

(ii) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖದ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಇರುವುದು ಮತ್ತು

(iii) ಎರಡು ರೇಖಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ‘ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ’ (ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ, ಎಡಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಬಲಕ್ಕೆ) ಇರುವುದು.

ಬದಲಾದ ಆಂತರಿಕ ಕೋಣಗಳು (ಚಿತ್ರ 5.15ನಲ್ಲಿ $\angle 3$ ಮತ್ತು $\angle 6$ ನಂತಹ)

(i) ವಿಭಿನ್ನ ತಿರುಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ

(ii) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖದ ಬದಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು

(iii) ಎರಡು ರೇಖಗಳ ನಡುವೆ ‘ಇರುತ್ತವೆ’.

ಚಿತ್ರ 5.15

ಈ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೋಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಹೆಸರು ನೀಡಿ:

5.3.4 ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖ

ನೀವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖಗಳು ಅಂತಹ ರೇಖಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ? ಅವುಗಳು ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖಗಳನ್ನು ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಹುದೇ? (ಚಿತ್ರ 5.16)

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿ