೬.೧ ಪರಿಚಯ

ತ್ರಿಕೋನವು, ನೀವು ನೋಡಿದಂತೆ, ಮೂರು ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳು, ಮೂರು ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಕೋನಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ $\triangle ABC$ ಇದೆ (ಚಿತ್ರ ೬.೧). ಇದಕ್ಕೆ

$\text{Sides}:\qquad \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$

$\text{Angles}:\qquad \angle BAC, \angle ABC, \angle BCA$

$\text{Vertices}:\qquad A, B, C$

ಚಿತ್ರ ೬.೧

ಶೃಂಗ A ಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಬಾಹುವು $BC$ ಆಗಿದೆ. AB ಬಾಹುವಿಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೆಸರಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? (i) ಬಾಹುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ii) ಕೋನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

(i) ಬಾಹುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ: ಅಸಮಬಾಹು, ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಮತ್ತು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

(ii) ಕೋನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ: ಲಘುಕೋನ, ಗುರುಕೋನ ಮತ್ತು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು.

ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕೃತಿಗಳ ಕಾಗದದ ಕಟೌಟ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. $\triangle ABC$ ನ ಆರು ಅಂಶಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ, ೩ ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ೩ ಕೋನಗಳು) ಬರೆಯಿರಿ.

2. ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $\triangle PQR$ ನ ಶೃಂಗ $Q$ ಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಬಾಹು

(ii) $\triangle LMN$ ನ ಬಾಹು $LM$ ಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಕೋನ

(iii) $\triangle RST$ ನ RT ಬಾಹುವಿಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಶೃಂಗ

3. ಚಿತ್ರ ೬.೨ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ

(ಅ) ಬಾಹುಗಳು

(ಆ) ಕೋನಗಳು

ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ.

ಈಗ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

೬.೨ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಗೆರೆಗಳು

ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಕಾಗದ ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಲಂಬ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ಕಾಗದದ ತುಂಡಿನಿಂದ $ABC$ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ ೬.೩). ಅದರ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಬಾಹುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\overline{BC}$. ಕಾಗದ ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, $\overline{BC}$ ನ ಲಂಬ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಮಡಿಸಿದ ಮಡಿಕೆಯು $\overline{BC}$ ಅನ್ನು $D$, ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಭೇಟಿಯಾಗುತ್ತದೆ. $AD$ ಸೇರಿಸಿ.

ರೇಖಾಖಂಡ $A D$, $\overline{BC}$ ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಎದುರು ಶೃಂಗ $A$ ಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಗೆರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾಹುಗಳು $\overline{AB}$ ಮತ್ತು $\overline{CA}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಇನ್ನೆರಡು ಮಧ್ಯಗೆರೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಮಧ್ಯಗೆರೆಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಎದುರು ಬಾಹುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಮಧ್ಯಗೆರೆಗಳು ಇರಬಹುದು?

2. ಮಧ್ಯಗೆರೆಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆಯೇ? (ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಒಂದು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ).

೬.೩ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಗಳು (ಎತ್ತರಗಳು)

ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕಾರ್ಡ್ಬೋರ್ಡ್ ABC ತಯಾರಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಒಂದು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಿಸಿ. ತ್ರಿಕೋನವು ಎಷ್ಟು ‘ಎತ್ತರ’ವಾಗಿದೆ? ಎತ್ತರವು ಶೃಂಗ A ನಿಂದ (ಚಿತ್ರ ೬.೪ ರಲ್ಲಿ) ಪಾದ $\overline{BC}$ ಗೆ ಇರುವ ದೂರವಾಗಿದೆ.

$A$ ನಿಂದ $\overline{BC}$ ಗೆ, ನೀವು ಅನೇಕ ರೇಖಾಖಂಡಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು (ಮುಂದಿನ ಚಿತ್ರ ೬.೫ ನೋಡಿ). ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು

ಎತ್ತರವನ್ನು $A$ ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ, ನೇರವಾಗಿ $\overline{BC}$ ಗೆ ಕೆಳಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು $\overline{BC}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖಾಖಂಡದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖಾಖಂಡ $\overline{AL}$ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಲಂಬವಾಗಿದೆ (ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ).

ಲಂಬಕ್ಕೆ ಒಂದು ತುದಿಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿಯೂ ಮತ್ತೊಂದು ತುದಿಯು ಎದುರು ಬಾಹುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆಯೂ ಇರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ ೬.೫ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನು (ಎತ್ತರವನ್ನು) ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಲಂಬಗಳು (ಎತ್ತರಗಳು) ಇರಬಹುದು?

2. ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ (ಚಿತ್ರ ೬.೬) A ಯಿಂದ $\overline{BC}$ ಗೆ ಲಂಬಗಳ (ಎತ್ತರಗಳ) ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

3. ಲಂಬವು (ಎತ್ತರವು) ಯಾವಾಗಲೂ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆಯೇ? ಇದು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಒಂದು ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

4. ಎರಡು ಲಂಬಗಳು (ಎತ್ತರಗಳು) ಅದರ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಯೋಚಿಸಬಲ್ಲಿರಾ?

5. ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬ (ಎತ್ತರ) ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಗೆರೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬಹುದೆಯೇ?

(ಸೂಚನೆ: ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ ೪ ಮತ್ತು ೫ ಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಗೆಯ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೂ ಲಂಬಗಳನ್ನು (ಎತ್ತರಗಳನ್ನು) ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ).

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

(i) ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

(ii) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು

(iii) ಅಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

ಇವುಗಳ ಹಲವಾರು ಕಟೌಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಅವುಗಳ ಲಂಬಗಳನ್ನು (ಎತ್ತರಗಳನ್ನು) ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಗೆರೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಏನಾದರೂ ವಿಶೇಷತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಯೇ? ಅದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ ೬.೧

1. $\Delta PQR, D$ ರಲ್ಲಿ $\overline{QR}$ ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

$\overline{PM}$ _____ ಆಗಿದೆ.

$PD$ _____ ಆಗಿದೆ.

$QM=MR$ ಆಗಿದೆಯೇ?

2. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

(ಅ) $\triangle ABC, BE$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಧ್ಯಗೆರೆಯಾಗಿದೆ.

(ಆ) $\triangle PQR, PQ$ ರಲ್ಲಿ $PR$ ಮತ್ತು $\triangle X Y Z, Y L$ ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಗಳಾಗಿವೆ (ಎತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ).

(ಇ) $ABC$ ರಲ್ಲಿ $C$ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಂಬವಾಗಿದೆ (ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ).

3. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಗೆರೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ (ಎತ್ತರ) ಒಂದೇ ಆಗಿರಬಹುದೇ ಎಂದು ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

೬.೪ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

1. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ $\triangle ABC$ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಬಾಹುವನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ BC ಯನ್ನು, ಚಿತ್ರ ೬.೭ ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ವರ್ಧಿಸಿ. ಬಿಂದು $\triangle ABC$ ನಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ ACD ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಕೋನವು $C$ ನ ಹೊರಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು $\angle BCA$ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ $\angle ACD$ ಯು $\angle A$ ಗೆ ಅನುಲಗ್ನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಅಂದರೆ $\angle B$ ಮತ್ತು

ಚಿತ್ರ ೬.೭ $\angle ACD$ ಅನ್ನು $\angle A$ ನ ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡು ದೂರದ ಅಂತಃಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ $\angle B$ ಮತ್ತು $\angle ACD$ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ (ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಟ್ರೇಸ್ ನಕಲುಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ ೬.೮ ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ.

ಈ ಎರಡು ತುಂಡುಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ $m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆವರಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

ನೀವು ಇದನ್ನು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ

$ABC$ ?

2. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ $\angle ACD, \angle A$ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನ ACD ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಈಗ ಒಂದು ಪ್ರೊಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು $\angle B$ ಮತ್ತು $\angle A+\angle B$ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ.

ಮೊತ್ತ $\angle ACD$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು $\angle ACD$ ನ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ. $\angle A+\angle B$ ಯು $\triangle ABC$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷ ಇದ್ದರೆ ಸುಮಾರು ಸಮನಾಗಿದೆ) ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಾ?

ಚಿತ್ರ ೬.೮

ನೀವು ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಬಾಹ್ಯಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಹೇಳಲಾದ ಎರಡು ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನವು ಅದರ ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಹಂತ-ಹಂತದ ವಾದವು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ದೃಢಪಡಿಸಬಹುದು.

ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನವು ಅದರ ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $\angle ACD$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$m \angle ACD=m \angle A+m \angle B$ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನವಾಗಿದೆ.

ತೋರಿಸಬೇಕಾದದ್ದು: $C$

$\overline{CE}$ ಮೂಲಕ $\overline{BA}$ ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ $\angle 1=\angle x$ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ ೬.೯

ಯುಕ್ತತೆ

ಹಂತಗಳು: (ಅ) $\angle 2=\angle y$

(ಆ) $\angle 1+\angle 2=\angle x+\angle y$

(ಇ) $\angle x+\angle y=m \angle ACD$

(ಈ) ಈಗ, $\angle 1+\angle 2=\angle ACD$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\overline{BA} || \overline{CE}$

ಕಾರಣಗಳು

$\overline{AC}$ ಮತ್ತು $\overline{BA} || \overline{CE}$ ಒಂದು ಛೇದಕವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಕಾಂತರ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

$\overline{BD}$ ಮತ್ತು $x$ ಒಂದು ಛೇದಕವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.

ಚಿತ್ರ ೬.೯ ರಿಂದ

ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಕೋನಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೦)

ಬಾಹ್ಯಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇನ್ನೂ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಆ ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

2. ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಾಹ್ಯಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆಯೇ?

3. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಲಗ್ನ ಅಂತಃಕೋನದ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಚಿತ್ರ ೬.೧೧ ರಲ್ಲಿ ಕೋನ $=$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ $70^{\circ}$ ಬಾಹ್ಯಕೋನ

$ \begin{aligned} 50^{\circ}+x & =110^{\circ} \\ or \quad x & =60^{\circ} \end{aligned} $

ಚಿತ್ರ ೬.೧೧

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಬಾಹ್ಯಕೋನವು

(i) ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದ್ದಾಗ

(ii) ಗುರುಕೋನವಾಗಿದ್ದಾಗ

(iii) ಲಘುಕೋನವಾಗಿದ್ದಾಗ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

2. ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನವು ಸರಳಕೋನವಾಗಿರಬಹುದೇ?

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನದ ಅಳತೆ $25^{\circ}$ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನದ ಅಳತೆ $60^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಬಾಹ್ಯಕೋನದ ಎರಡು ಅಂತರಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು $80^{\circ}$ ಮತ್ತು $x$ ಆಗಿವೆ. ಬಾಹ್ಯಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಈ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೨) ಏನಾದರೂ ತಪ್ಪಿದೆಯೇ? ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.

ಚಿತ್ರ ೬.೧೨

ಅಭ್ಯಾಸ ೬.೨

1. ಕೆಳಗಿನ ನಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಬಾಹ್ಯಕೋನ $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಂತಃಕೋನ $180^{\circ}$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

೬.೫ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಿದೆ. ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ನೋಡಲಿದ್ದೀರಿ.

1. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ ೬.೧೩ (i), (ii) ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಿ. ಮೂರು ಕೋನಗಳು ಈಗ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೋನವು ಒಂದು ಸರಳಕೋನ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಳತೆ $180^{\circ}$ ಹೊಂದಿದೆ.

(i)

ಚಿತ್ರ ೬.೧೩

ಹೀಗಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $\triangle ABC$ ಆಗಿದೆ.

2. ಅದೇ ಸತ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಹ ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ನಕಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\angle 1+\angle 2+\angle 3$ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೪).

ಚಿತ್ರ ೬.೧೪

ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ ೬.೧೫ ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಿ.

$\triangle ABC$ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

(‘ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣ’ವನ್ನು ಸಹ ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಾ?)

ಚಿತ್ರ ೬.೧೫

3. ಒಂದು ಕಾಗದದ ತುಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $AM$ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೬).

$\triangle ABC$ ಅನ್ನು ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲಂಬ $A$ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಅದು $180^{\circ}$ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಮಡಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳು A, B ಮತ್ತು C ಗಳು M ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ.

(i)

(ii)

(iii)

ಚಿತ್ರ ೬.೧೬

ಮೂರು ಕೋನಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಒಂದು ಸರಳಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $\triangle ABC, \triangle PQR$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

4. ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್ಬುಕ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\triangle XYZ$ ಮತ್ತು $\Delta$.

ನಿಮ್ಮ ಪ್ರೊಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ.

ನಿಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ

ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪ ದೋಷಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್ ಯಾವಾಗಲೂ $180^{\circ}$ (ಅಥವಾ ಸುಮಾರು $180^{\circ}$) ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

ಪರಿಪೂರ್ಣ ನಿಖರತೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ, ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಅಳತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು $180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಈಗ ತಾರ್ಕಿಕ ವಾದದ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ಹೇಳಿಕೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದೀರಿ.

ಹೇಳಿಕೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟು ಅಳತೆಯು $\quad \angle 1, \angle 2, \angle 3$ ಆಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಯುಕ್ತಸಮ್ಮತಗೊಳಿಸಲು ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಚಿತ್ರ ೬.೧೭

ನೀಡಲಾಗಿದೆ $\triangle ABC($ ಗಳು $\angle 4$ ನ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೭).

$BC$ ವನ್ನು $D$ ಗೆ ವರ್ಧಿಸಿದಾಗ $\quad \angle 1+\angle 2=\angle 4$ ಬಾಹ್ಯಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಯುಕ್ತತೆ

$\angle 1+\angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 3$ (ಬಾಹ್ಯಕೋನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ)

$\angle 3$ (ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ $\angle 4$ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ)

ಆದರೆ $\angle 3$ ಮತ್ತು $180^{\circ}$ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು $\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $m \angle$.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಅನೇಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೮) $x$ P ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ,

ಆದ್ದರಿಂದ: $ m \angle P+47^{\circ}+52^{\circ}=180^{\circ} $

$ \begin{aligned} m \angle P & =180^{\circ}-47^{\circ}-52^{\circ} \\ & =180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ} \end{aligned} $

ಚಿತ್ರ ೬.೧೮

ಅಭ್ಯಾಸ ೬.೩

1. ಕೆಳಗಿನ ನಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ನಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತಗಳು $y$ ಮತ್ತು $30^{\circ}$ ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು $80^{\circ}$ ಮತ್ತು $80^{\circ}$ ಆಗಿವೆ. ಮೂರನೇ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಕೋನವು $1: 2: 1$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮ ಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಕೋನಗಳು $60^{\circ}$ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಲ್ಲಿರಾ?

2. ಎರಡು ಗುರುಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಲ್ಲಿರಾ?

3. ಎರಡು ಲಘುಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಲ್ಲಿರಾ?

4. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು $60^{\circ}$ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಲ್ಲಿರಾ?

5. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು $60^{\circ}$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಲ್ಲಿರಾ?

6. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು $60^{\circ}$ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಬಲ್ಲಿರಾ?

೬.೬ ಎರಡು ವಿಶೇಷ ತ್ರಿಕೋನಗಳು : ಸಮಬಾಹು ಮತ್ತು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಎರಡು ನಕಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (ಚಿತ್ರ ೬.೧೯). ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಇರಿಸಿ. ಎರಡನೇ ತ್ರ