5.1 ಪರಿಚಯ

ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಬಾಹು × ಬಾಹು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ ‘ಬಾಹು’ ಎಂದರೆ ‘ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ’). ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ.

1, 4, 9, 16, … ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

5.2 ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಏಕಮ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 0, 1, 4, 5, 6, ಅಥವಾ 9 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

2. ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

4. ಮೊದಲ n ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ n² ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 1 + 3 + 5 = 3² = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16

5.3 ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿನ ಮಾದರಿಗಳು

ತ್ರಿಕೋಣಾಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 1, 3, 6, 10, 15, 21, … ತ್ರಿಕೋಣಾಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಸಂಬಂಧ: ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ತ್ರಿಕೋಣಾಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ = ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ 3 + 6 = 9 = 3² 6 + 10 = 16 = 4²

5.4 ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ವರ್ಗಮೂಲ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು:

1. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯವಕಲನ ವಿಧಾನ
2. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ
3. ಭಾಗಾಕಾರ ವಿಧಾನ

ವಿಧಾನ 1: ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯವಕಲನ

√36 ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: 36 - 1 = 35 (1ನೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ) 35 - 3 = 32 (2ನೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ) 32 - 5 = 27 (3ನೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ) 27 - 7 = 20 (4ನೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ) 20 - 9 = 11 (5ನೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ) 11 - 11 = 0 (6ನೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ)

ನಾವು 6 ಬಾರಿ ಕಳೆದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ √36 = 6

ವಿಧಾನ 2: ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ

√324 ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 324 = 2² × 3² × 3² 324 = (2 × 3 × 3)² √324 = 2 × 3 × 3 = 18

5.5 ದಶಮಾಂಶಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ: √2.56 ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಹಂತ 1: ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ → 256 ಹಂತ 2: √256 = 16 ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಹಂತ 3: ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ (2) ಹಂತ 4: ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಇರಿಸಿ → √2.56 = 1.6

5.6 ವರ್ಗಮೂಲಗಳ ಅಂದಾಜು

ಉದಾಹರಣೆ: √300 ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ: 17² = 289 ಮತ್ತು 18² = 324 300 ಎಂಬುದು 289 ಮತ್ತು 324 ನಡುವೆ ಇರುವುದರಿಂದ, √300 ಎಂಬುದು 17 ಮತ್ತು 18 ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ

5.7 ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1: 180 ರಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಪಡೆಯಲು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: 180 = 2² × 3² × 5 ಇದನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಮಾಡಲು, 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 180 × 5 = 900 = 30²

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಹೊಲದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 2025 ಮೀ² ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಬಾಹು = √2025 = 45 ಮೀ

ನೆನಪಿಡಬೇಕಾದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು:

• ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು 0, 1, 4, 5, 6, ಅಥವಾ 9 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ
• ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಸಮ, ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಬೆಸ
• ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳು: ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯವಕಲನ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ, ಭಾಗಾಕಾರ
• √(a × b) = √a × √b
• √(a ÷ b) = √a ÷ √b

📖 ಮುಂದಿನ ಹಂತಗಳು

1. ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು: ಅಭ್ಯಾಸ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ
2. ಅಧ್ಯಯನ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು: ಸಮಗ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ
3. ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಪತ್ರಿಕೆಗಳು: ಪರೀಕ್ಷಾ ಪ್ರಶ್ನೆಪತ್ರಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ
4. ದೈನಂದಿನ ಕ್ವಿಜ್: ಇಂದಿನ ಕ್ವಿಜ್ ನಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿ